Формула Ньютона-Лейбница

Методы вычислений

Геометрический смысл определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл

Пусть — функция, определенная на отрезке , и пусть Î — n + 1 точек, таких, что , кроме того, пусть , Î для всех k = 1.. n. Тогда сумма

называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Числа соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

1.

2. где постоянная.

3. 4.

5. Если – нечетная функция, т.е. то

Если – четная функция, т.е. то

Если на отрезке , то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми: , и .

Если меняет знак на отрезке , то дает алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных линиями , , , . Причем площади, расположенные выше оси , входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси , – со знаком минус.

Если – некоторая первообразная для функции , то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Эта формула устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралами.

Примеры. Вычислить интегралы.

1.

Дата добавления: 2017-01-13