Основные понятия. Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения

Вычисление площадей плоских фигур

Интегрирование по частям

Замена переменных в определенном интеграле

Если функция непрерывна на отрезке , а функция дифференцируема на отрезке , причем , , то

Обратите внимание, при замене переменной в определенном интеграле меняют пределы интегрирования, а к старым переменным не возвращаются.

Примеры. Вычислить интегралы.

1.

.

2. .

3.

где непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

Примеры. Вычислить интегралы.

1.

2.

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой двумя прямыми и отрезком оси , вычисляется по формуле (I)

Если фигура ограничена непрерывными кривыми и , для всех , и прямыми и то её площадь равна (II)

Если фигура заключена между кривыми и , то находим абсциссы точек пересечения данных кривых и вычисляем площадь фигуры по формуле (II).

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения данных кривых: . По формуле (II):

Уравнение или (I)

связывающее независимую переменную х, искомую функцию и её производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением дифференциального уравнения (I) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения (I) называется функция, зависящая от х и одной произвольной постоянной и обладающая следующими свойствами:

1) она является решением уравнения при любых значениях постоянной С,

2) для любого начального условия существует единственное , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2017-01-13