Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Уравнения второго порядка, не содержащие искомой функции

Основные определения

Уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

или

Общее решение уравнения второго порядка зависит от и двух произвольных постоянных

Частное решение определяется двумя начальными условиями и . Рассмотрим три вида уравнений, которые допускают понижение порядка.

2. Уравнения вида

Решение такого уравнения находится интегрированием n раз.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение.

Порядок такого уравнения можно понизить. Полагаем тогда . Для нахождения имеем уравнение первого порядка

Пусть его общее решение или . Проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения:

Пример. Найти частное решение уравнения если

Решение. Данное уравнение – уравнение, не содержащее искомой функции. Положим , тогда и уравнение примет вид: Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: Возвращаясь к первоначальной функции, получим уравнение первого порядка , из которого следует или .

Подберем и так, чтобы выполнились начальные условия. Поскольку и при , то т.е. , т.е. Искомое частное решение имеет вид

Уравнение приводится к уравнению первого порядка, если положить а за новый аргумент принять . В этом случае , и порядок уравнения понизился:

Если его общее решение , т.е. , то, разделяя переменные и интегрируя, найдем:

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Понизим порядок этого уравнения, , тогда и получаем или . Это дифференциальное уравнение распадается на два: и . Первое из них дает , т.е. . Во втором переменные разделяются: , откуда или т.е. Вновь разделяя переменные, получим После интегрирования получим или . Общее решение можно записать в виде .

Отметим, что найденное выше решение содержится в общем решении, так как получается из него при .

Дата добавления: 2017-01-13