Метод подстановки

Метод интегрирования по частям

Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида Если хотя бы одно из чисел или целое нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы

оставшуюся четную степень, приходим к табличному интегралу.

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

2. Если и – четные неотрицательные числа, то используют формулы понижения степени:

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

3. Для отыскания интегралов вида , , используют следующие формулы:

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

4. При вычислении интегралов вида где используются формулы ; ; ; .

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

.

Если и дифференцируемые функции, то справедлива формула

которая называется «формулой интегрирования по частям».

Типичные интегралы, которые вычисляются по этой формуле, следующие.

1. и , где многочлен степени n. Целесообразно положить оставшуюся часть принять за .

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

Из этих примеров видно, что интегрирование по частям можно применять несколько раз.

2. ; и т.п.

Здесь полагаем (или , или ).

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

Справедливо равенство , где –дифференцируемая функция. После вычислений интеграла надо сделать обратную подстановку . Конечно, этим методом целесообразно пользоваться, если после подстановки интеграл упрощается.

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Выбор подстановки требует определенного опыта и искусства, но для некоторых классов функций можно дать рекомендации.

1.Интегрирование линейных иррациональностей

где R – рациональная функция своих аргументов. Интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби подстановкой где

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

2. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки

Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональной функции относительно с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла , для второго и для третьего .

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

.

3. Универсальная тригонометрическая подстановка

Под интегралом имеем рациональное выражение относительно и . Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В этом случае:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Дата добавления: 2017-01-13