Линейные дифференциальные уравнения

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение будем называть уравнением с разделяющимися переменными, если может быть разложено на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной: .

(II)

Производную можно рассматривать как отношение дифференциалов: , уравнение (II) примет вид Умножая обе части на и деля на , приведём уравнение к виду (переменные разделены). Интегрируя левую часть равенства по а правую часть по получаем общий интеграл (общее решение) уравнения (II):

Пример. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем его в виде: . Разделим переменные, поделив почленно на и умножив на . Проинтегрируем: , Обозначим произвольную постоянную через , что допустимо, т.к. (при ) может принимать любое значение от до . Следовательно, или – общий интеграл.

Уравнение вида (III)

называют линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным.

Линейные неоднородные уравнения могут быть решены методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки где и две неизвестные функции, исходное уравнение (III) преобразуется к виду

или . (IV)

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана совершенно произвольно, за выбираем любое частное решение уравнения при этом из (IV) остаётся

Общее решение исходного уравнения находится умножением на v:

.

Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Положим , тогда . Подставим и в данное уравнение Сгруппируем члены, содержащие : Подберём так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: или тогда проинтегрировав, имеем , т.е. Решим оставшееся уравнение, подставив в него найденное :

Общее решение данного уравнения имеет вид .

Дата добавления: 2017-01-13