Основні властивості індексів

1°. Усі індекси числа за простим модулем утворюють клас чисел за модулем . Точніше, якщо і — індекси числа за модулем (при будь-якій тій самій основі), то

.

2°. Для того щоб , необхідно і достатньо, щоб

.

Якщо значення чисел або індексів виходять за межі таблиць, то ці дві властивості дають змогу переходити до найменших невід'ємних лишків: для чисел — за модулем , для індексів — за модулем ;

3°. ;

4°. ;

5°. ;

6°. ;

7°. Якщо , то .

Зазначимо, що перехід від конгруенції між числами до конгруенції їхніх індексів називається індексацією, а зворотний перехід – потенціюванням. Якщо задано двочленну конгруенцію

го степеня за простим модулем

, , (5)

то її розв'язок знаходять з конгруенції

(6)

Задачі рекомендовані для розв‘язування в аудиторії

1. Знайти порядок числа за модулем , якщо:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Знайти порядки чисел за модулем , якщо:

а) ;

б) ;

в)

3. Скласти таблицю індексів для модуля 50, взявши за основу первісний корінь 3; з допомогою цієї таблиці розв‘язати конгруенції) ; б) .

4. Користуючись таблицями індексів, розв‘язати конгруенції:

а) ; б) ;

в) 4 г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

5. Скільки розв‘язків мають такі конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ?

6. Розв‘язати двочленні конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

з) ; к) .

7. Розв‘язати конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

8. Знайти найменшу натуральне число , яке задовольняє такі конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Задачі рекомендовані для розв‘язування дома

1. Знайти порядок числа за модулем , якщо:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Знайти порядки чисел за модулем , якщо:

а) ;

б) .

3. Знаючи, що 2 є первісним коренем за модулями 101 і 163, розв‘язати показникові конгруенції:

а) ; б) .

4. Скласти таблицю індексів для модуля 27, взявши за основу первісний корінь 2; з допомогою цієї таблиці розв‘язати конгруенції) ; б) .

5. Визначити число розв‘язків конгруенцій:

а) ; б) ; в) .

6. Користуючись таблицями індексів, розв‘язати конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) .

7. Розв‘язати конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

8. Скільки розв‘язків мають такі конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ?

9. Розв‘язати двочленні конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

з) ; к) ;

л) .

10. Розв‘язати конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

11. Знайти найменшу натуральне число , яке задовольняє такі конгруенції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Модуль 3

Практичне заняття 5

Арифметичні застосування теорії конгруенцій

Основні теоретичні відомості:

Теорія конгруенцій має ряд арифметичних застосувань. Основними з них є:

1) виведення ознак подільності;

2)обчислення остач при діленні;

3) перевірка результатів арифметичних дій;

4) визначення довжини періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий.

Нехай в -й системі числення число має вигляд

Позначимо через абсолютно найменші лишки числа за модулем , тобто , і . Тоді , де (ознака подільності Паскаля).

З конгруенції випливає, що при діленні на т числа і дають однакові остачі. Зокрема, число ділиться на тоді і тільки тоді, коли на ділиться . Покладаючи , , дістаємо конкретні ознаки подільності. З метою обчислення остач від ділення, крім ознаки Паскаля, використовують також теореми Ейлера і Ферма, властивості індексів тощо.

Якщо

(1)

де — многочлен від цілих чисел з цілими коефіцієнтами, то виконується конгруенція

(2)

де —будь-яке натуральне число, — остача від ділення на , . Конгруенція (2) є умова, необхідна для рівності (1), але не достатня. Інакше кажучи, якщо (2) не виконується, то не виконується й (1); якщо (2) виконується, наприклад, для або , то напевно помилки в обчисленнях (1) не виявлено. Так, виконуючи перевірку для , помилку не виявили, оскільки: 1) не було взято до уваги нуль у доданку або множнику; 2) в результаті цифри записані не в тому порядку; 3) неповні добутки перебувають не на своїх місцях; 4) взагалі, помилка становить число, кратне 9. Під час складних обчислень доцільно робити дві перевірки: одну за модулем 9, а другу — за модулем 11.

Нескоротний дріб виду , де , і , у скінчений

десятковий дріб не перетворюється.

Якщо — нескоротний дріб і , то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб. При цьому число цифр у періоді дорівнює порядку числа 10 за модулем .

Якщо — нескоротний дріб і , де , то цей дріб перетворюється в мішаний періодичний десятковий дріб. При цьому число цифр у періоді дорівнює , де — більше з чисел і ; число цифр у періоді дорівнює порядку числа 10 за модулем .

Задачі рекомендовані для розв‘язання в аудиторії

1. Знайти довжину періоду при перетворенні у десятковий дріб нескоротного звичайного дробу із знаменником: а) 37; б) 59; в) 73.

2. Знайти число цифр до періоду і довжину періоду при перетворенні звичайних дробів у десяткові:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Знайти дві останні цифри числа: а) ; б) , в) .

4. Знайти остачу від ділення:

а) на 12; б) на 41.

5. Знайти три останні цифри числа .

6. На основі ознаки подільності на 7, 11 і 13 дізнатися, чи діляться числа 769524 і 1353781 на 7, 11 або 13.

7. Перевірити правильність виконання арифметичних дій числами 9 і 11:

а) ; б) .

Задачі рекомендовані для розв‘язання дома

1. За допомогою таблиць індексів визначити кількість цифр у періоді розкладу дробів у нескінченний десятковий дріб.

2. Знайти остачу від ділення: а) на 21;

б) на 25; в) на 57;

г) на 243.

3. Перевірити правильність результату обчислень числом 9.

а) ;

б) .

4. Перевірити правильність результату обчислень числом 11:

а) ;

б) .

5. Перевірити правильність виконання арифметичних дій числами 9 і 11:

а) ; б) .

Модуль 4

Практичні заняття 1,2

Многочлени над полем . Дії над многочленами. Подільність

многочленів. Найбільший спільний дільник та

його лінійне зображення. Найменше спільне кратне.

Розклад многочлена на незвідні множники.

Дата добавления: 2017-02-01