Основні теоретичні відомості

Задачі для самостійного розв’язування

1. Розкласти многочлен за степенями

2. Розкласти многочлен за степенями

3. Розкласти многочлен за степенями

.

4. Розкласти многочлен за степенями

.

5. Знайти числа при яких многочлен

ділиться на двочлен

6. При яких значеннях многочлен буде повним квадратом многочлена

7. а)

б)

8. При яких значеннях многочлен буде повним квадратом квадратного тричлена

9. При яких значеннях многочлен буде повним квадратом многочлена

10. Виконати ділення многочлена на в кільці .

11. Виконати ділення многочлена на в кільці

Модуль 4

Практичне заняття 3.

Відокремлення кратних множників многочлена

Ми знаємо, що всякий многочлен над полем можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижчих степенів, незвідних у полі:

(1)

Вивчати властивості многочленів, знаходити їх корені було б значно легше, якби для кожного многочлена був відомий канонічний розклад (1), тоді було б досить розглядати лише незвідні множники, степінь яких, як правило, значно нижчий за степінь даного многочлена.

Покажемо, як в даних випадках можна розробити загальний метод розкладання многочлена на множники, хоч цей розклад не буде таким повним, як зображено у (1).

Виберемо у розкладі (1) ті незвідні множники кратність яких і позначимо добуток цих множників через

Далі утворимо добуток тих множників кратність яких і позначимо добуток цих множників через

Зауважимо, означає добуток самих незвідних множників кратності 2, а не їх квадратів, так що в розклад входить

Аналогічно через позначимо добуток незвідних множників у розкладі (1), що мають кратність 3, і так далі.

Тоді розклад (1) можна записати у такому вигляді:

(2)

або спрощено: (3)

Якщо множників кратності у розкладі (1) немає, природно вважати

Задача зображення многочлена у вигляді (2) називається виділенням кратних множників.

Теорема 14. Якщо незвідний у даному полі многочлен є множником кратності для многочлена то він є множником кратності для похідної

Якщо є множником першої кратності многочлена то він не входить у розклад похідної на незвідні множники.

Наслідок. Для того, щоб многочлен не мав кратних множників, необхідно і достатньо, щоб був взаємно простий із своєю похідною .

Як ми знаємо будь-який многочлен у даному полі можна подати у вигляді (3).

Наше завдання полягатиме в тому, щоб, знаючи лише коефіцієнти визначити

Оскільки є добутком незвідних множників многочлена , які мають кратність то в жодний з цих множників (за теоремою 14) входити не буде. - добуток незвідних множників кратності У усі ці множники входять з кратністю 1, тобто має своїм множником усіх цих незвідних множників у першому степені.

Аналогічно, якщо має множником то матиме множник

Таким чином, можемо записати

де

Тоді за (6)

Знайдемо

Аналогічно можна обчислити:

(4)

вже не містять непотрібних нам множників Наша мета, полягає в тому, щоб знайти окремо.

Для цього поділимо на Дістанемо:

(5)

Із (4) і (5) шукані множники дістаємо безпосередньо:

(6)

Висновок. У довільного многочлена над полем можна відокремити кратні множники за допомогою скінченного числа раціональних дій над деякими многочленами.

В означенні: [ Елемент називається - кратним коренем многочлена , якщо але не ділиться на ]ми розглянули поняття кореня кратності У ряді випадків буває зручно користуватися ознакою кратності кореня, яку ми розглянемо як теорему А.

Теорема А. Для того, щоб був коренем кратності необхідно і достатньо, щоб

Теорема А показує, що, знаючи корінь многочлена, легко визначити його кратність. Тому на практиці дослідження многочленів, які мають кратні корені, у більшості випадків зводить до дослідження многочленів нижчих степенів, що вже не мають кратних коренів. Це завжди можна зробити відокремленням кратних множників методами, описаними вище.

Методичні рекомендації до розв‘язання задач

Приклад 1. Відокремити кратні множники у многочлені

Розв’язання. 1. Знайдемо спочатку і

Застосуємо алгоритм Евкліда, а також практичний спосіб для спрощення обчислень

_

Далі, ділимо на

Ділимо на

Ділимо на

Ділимо на

Ділимо на

3. ; , ; .

Приклад 2. Відокремити кратні множники многочлена

Розв’язання. Знаходимо і .

(ділимо на 2)

Отже,

Аналогічно знаходимо:

Обчислимо тепер

Шукані многочлени дорівнюють:

Приклад 3. Відокремити кратні корені многочлена

Розв‘язання.

Тут , ,

, , ;

, , .

Многочлен має прості корені і 3-х кратний корінь – 2.

Отже,

.

Задачі рекомендовані для розв‘язування в аудиторії

Відокремити кратні множники многочленів:

1.

2.

3.

4. .

Задачі рекомендовані для розв‘язування дома

Відокремити кратні множники многочленів:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. .

Модуль 4

Практичне заняття 4

Розклад раціональних дробів на елементарні

Дата добавления: 2017-02-01