Критерій Ейзенштейна незвідності многочлена з цілими коефіцієнтами.

Якщо коефіцієнти многочлена в кільця діляться на деяке просте число , причому не ділиться на а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі раціональних чисел.

Отже, у кільці многочленів над полем раціональних чисел є многочлени довільного степеня, які незвідні у полі

Нехай - деяке числове поле. Число називають алгебраїчним відносно поля , якщо воно є коренем деякого многочлена над полем . Число, яке не є алгебраїчним відносно поля , називають трансцендентним відносно . Зокрема, алгебраїчні і трансцендентні числа і відносно поля раціональних чисел називають відповідно просто алгебраїчним і трансцендентними.

Якщо є алгебраїчним числом відносно поля , то в кільці існує єдиний незвідний зведений многочлен , який має своїм коренем, а його степінь є найменшим серед степенів усіх многочленів з коренем . При цьому многочлен називають мінімальним многочленом числа , а його степні - степенем алгебраїчного числа відносно поля .

Мінімальне розширення поля , яке містить число називають простим розширенням поля , утвореним приєднанням числа , і позначають через . Якщо є алгебраїчним (трансцендентним) відносно поля , то називають простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням.

Поле , утворене з поля приєднанням кореня незвідного у полі многочлена -го степеня

Складається з усіх чисел виду

де

Нехай - деяке підполе поля . Тоді можна розглядати як векторний простір над полем . При цьому розширення поля називають скінченим, якщо є скінченно-вимірним векторним простором над . При цьому розмірність простору називають степенем розширення над полем .

Просте алгебраїчне розширення є скінченним розширенням поля , а степінь розширення над полем дорівнює степеню числа відносно .

Розширення поля , утворене за допомогою кількох послідовно виконаних простих алгебраїчних розширень, називають складеним алгебраїчним розширенням. Розширення поля називають алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля .

Будь-яке скінченне розширення поля є його алгебраїчним та складеним розширенням. Кожне складене алгебраїчне розширення поля є простим розширенням цього поля.

Методичні рекомендації до розв‘язування задач

Приклад 1. Розв‘язати рівняння

.

Розв‘язання. Знайдемо спочатку раціональні корені цього рівняння (якщо вони є). Раціональними коренями тут можуть бути такі числа:

(*)

Знайдемо межі дійсних коренів заданого рівняння. Оскільки і , то . Отже, всі дійсні корені знаходяться в інтервалі . Серед чисел ряду (*) у цей інтервал входять такі числа:

(**)

Для заданого рівняння маємо: і . Поставимо умову, щоб числа були цілими. Тоді залишаться числа:

(***)

Так як , то 1 є корінь рівняння.

Застосуємо схему Горнера для перевірки того, яке з чисел ряду (***) є коренем заданого рівняння.

					– 7	– 12	– 4
– 2
–
–
–
		4
–		– 8

У схемі виділено коефіцієнти повних часток. отже, задане рівняння має чотири раціональних корені: . Решту коренів рівняння знайдемо, прирівнюючи останню частку до нуля. Матимемо:

.

У цьому рівнянні комплексні корені . Тому задане рівняння має шість різних коренів: .

Дата добавления: 2017-02-01