Кубічні рівняння з дійсними коефіцієнтами в полі комплексних чисел

Нехай дано неповне кубічне рівняння:

(10)

з дійсними коефіцієнтами. З’ясуємо, що можна сказати про корені цього рівняння. У цьому випадку вираз , що стоїть у формулі Кардано під знаком квадратного кореня, є дійсне число. Вираз називається дискримінантом кубічного рівняння. (10). Цей дискримінант може бути додатним, дорівнювати нулю або бути від’ємним. Розглянемо кожну з цих можливостей.

1.Нехай . У цьому випадку у формулі Кардано під знаком кожного з квадратних коренів стоїть додатне число, а тому під знаком кожного з кубічних коренів стоїть дійсне число. Отже, кожен з кубічних коренів u і v матиме одне дійсне значення й два –комплексні спряжені.

Позначимо символом дійсне значення радикала u. Тоді відповідне йому значення радикала v також буде дійсним, оскільки добуток повинен дорівнювати .

Таким чином корінь

Рівняння (10) буде дійсним числом. Два інші корені цього рівняння знайдемо за формулами (9):

Оскільки є дійсні значення різних кубічних радикалів, то ,

і таким чином, корені є спряженими комплексними числами.

Отже, якщо то рівняння (10) має один дійсний і два комплексні спряжені корені.

2.Нехай .У цьому випадку

, .

Нехай – дійсне значення радикала U. Відповідні йому значення радикала V також є дісним числом, бо . Але оскільки

має лише одне дійсне значення, то . Тому

Отже, якщо , то всі корені рівняння (10) дійсні, причому два з них рівні між собою.

3.Нехай . У цьому випадку в формулі Кардано під знаком кожного з квадратних радикалів стоїть дійсне від’ємне число. Отже, під знаком кубічних радикалів стоятимуть u і v стоятимуть комплексні числа, а тому всі значення радикалів u і v будуть комплексними числа.

Покажемо, що в цьому випадку у формулі Кардано значення радикала v повинно бути спряжене відповідному значенню радикала u. Нехай -,будь-яке із значень радикала u, а відповідне йому значення радикала v. Тоді відповідно до правила добування кореня n-го степеня:

і тому

.

Тобто

Таким чином, за формулами (9)

Як бачимо, у цьому випадку рівняння (10) має три різні дійсні корені.

Останній випадок переконливо доводить, що практична цінність формули Кардано невелика. Справді, хоч у цьому випадку всі корені рівняння з дійсними коефіцієнтами дійсні, проте відшукання їх за формулою Кардано вимагає добування кубічного кореня з комплексного числа, для чого треба записувати ці числа в тригонометричній формі. Отже, запис коренів кубічного рівняння за допомогою радикалів втрачає практичне значення.

Приклад. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Отже, ми маємо незвідний випадок. Радикал у цьому випадку записується так:

Щоб добути кубічний корінь з комплексного числа , запишемо це число в тригонометричній формі. Знайдемо його модуль ρ і його аргумент γ:

.

, .

Звідси

.

І за формулами (6)

.

Застосовуючи формули ділення аргументу пополам, знаходимо:

.

Підставивши знайдені значення і у записані вище рівності, матимемо:

Відповідь: .

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Приклад 4. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Підстановка зводить рівняння до виду:

.

Тут .

Тобто дане рівняння має один дійсний корінь і два комплексні спряжені:

,

.

Тоді .

Два інших корені знайдемо за формулою (9)

.

У відповідності з підстановкою, знаходимо:

Відповідь: .

Задачі рекомендовані для розв‘язання аудиторії

1. Знайти раціональні корені многочленів:

а) ;

б) ;.

в) ;

г) ;

д) .

2. Розв’язати рівняння:

а) ; б) .

в) ; г) .

д) ; е) ;

є) ; ж) .

Задачі рекомендовані для розв‘язання дома

1. Знайти раціональні корені многочленів:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) .

д) ; е) ;

є) ; ж) .

Дата добавления: 2017-02-01