Основні теоретичні відомості

Для будь-якого поля існує (з точністю до ізоморфізму) поле , яке містить кільце многочленів над полем і кожен елемент якого можна подати як частку

, де . (1)

Зауважимо, що відповідно до загальної теорії елементом поля є не кожна окрема частина (1), а клас часток, які дорівнюють одна одній.

Дві частки дорівнюють одна одній, якщо

. Як правило, раціональний дріб подають часткою , для якої

Нехай раціональні дроби задано нескоротними частками і старший коефіцієнт знаменника дорівнює 1.

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь менше степеня . У противному разі раціональний дріб називається неправильним.

Елементарним дробом над полем називається раціональний дріб виду де - незвідний многочлен над полем ,

Якщо - правильний раціональний дріб над полем і многочлени - попарно взаємно прості, то в кільці існують многочлени такі, що

і кожен з дробів у правій частині є правильним.

Правильний дріб над полем виду де - незвідний над многочлен і можна подати як суму елементарних дробів над цим полем.

.

Правильні дроби над полем можна подати як суму елементарних дробів над цим полем і до того єдиним способом.

Неправильний дріб можна подати як суму многочлена і правильного дробу.

Основна теорема теорії многочленів

Теорема. Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами

має хоча б один комплексний корінь.

Методичні рекомендації до розв’язування задач

Приклад 1. Розкласти в суму простіших дробів дійсний правильний дріб , де

Легко перевірити, що причому кожний із многочленів незвідний. Шуканий розклад повинен мати вигляд

(1)

де числа треба ще знайти.

Многочлен можна розкласти:

(2)

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях невідомого із обох частин рівності (2), ми отримали б систему із п’яти лінійних рівнянь відносно п’яти невідомих , при чому, ця система має рішення і притому лише одне. Ми підемо, однак, іншим шляхом.

Нехай у рівності (2) , тоді маємо, що звідки (3)

Ставлячи, в (2) , ми отримаємо , тобто (4)

Після цього підставимо в рівність (2) послідовно Використовуючи (6) і (7), ми отримаємо рівняння

(5)

Звідси (6). Підставимо в рівність (2) Використовуючи (3), (4) і (5), ми прийдемо до рівняння яке разом з першим із рівнянь (8) дає

Таким чином,

Задачі рекомендовані до розв‘язування в аудиторії

І. Розкладіть вирази на прості дроби над полем

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

Задачі рекомендовані до розв‘язування в аудиторії

І. Розкладіть вирази на прості дроби над полем

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7.

ІІ. Розкладіть на прості дроби над полем

Модуль 4

Практичне заняття 5

Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами.

Критерій Ейзенштейна. Алгебраїчні і трансцендентні числа.

Будова простого алгебраїчного розширення поля

Нехай - многочлен з цілими коефіцієнтами.

Якщо нескоротній дріб є коренем многочлена , то є дільником вільного члена , а - дільником старшого коефіцієнта цього многочлена.

Якщо , то раціональні корені многочлена є цілими числами. Оскільки многочлени і мають однакові корені, то знаходження раціональних коренів многочлена можна за допомогою заміни звести до відшукання цілих коренів многочлена.

Існують інші необхідні умови для того, щоб раціональне число було коренем многочлена з цілими коефіцієнтами. Зокрема, щоб нескоротний дріб був раціональним коренем многочлена , необхідно, щоб при довільному цілому число ділилося на де Така умова на практиці найчастіше використовується для , при цьому числа мають бути цілими.

Многочлен з цілими коефіцієнтами є звідним у полі раціональних чисел тоді і тільки тоді, коли існують многочлени ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що тобто коли многочлен є звідним у кільці

Дата добавления: 2017-02-01