Условие компланарности векторов

Координатная форма смешанного произведения

Cвойства смешанного произведения

Cмешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением 3-х векторов , называется скалярное произведение вектора [ на вектор , ([ .

Обозначается: ( или (

1). ([ = (;

2). ( = - ( = ( = - ( = +(;

3). (α , .

Доказательство этих свойств следует из свойств определителей, что мы и увидим в дальнейшем.

Геометрический смысл смешанного произведения (

= [

S. По определению ([ =

h = = S =

={h = } = S = V.

Угол может быть < и > , то есть < 0 или >0, поэтому

Вывод: Смешанное произведение векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах сомножителях.

Пусть вектор = { X₁, Y₁ Z₁ }; вектор = { X₂,Y₂ ,Z₂ }; вектор = {X₃ ,Y₃ , Z₃ }.

[ ] = = - + . Известно, что скалярное произведение - это произведение одноимённых координат, поэтому

( X₃ - Y₃ + Z₃ , c другой стороны - это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

= ( (

Используя формулу (, можно доказать все свойства (1,2,3) смешанного произведения.

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках: О (0,0,0); А(5,2,0); В (2, 5, 0); С (1,2,4).

Решение. Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, то есть = V_пир. = V_пар. = , = = ( 100 -16) = 84 куб.ед.

Ответ: V_пир. = 84 куб. ед.

Теорема. Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство необходимости. Пусть компланарны, значит построить параллелепипед на них нельзя, то есть объём равен нулю V=0, а это значит и =0 ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть ( = 0 это значит, что V=0 и векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны ч.т.д.

Вывод: Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения = 0

Пример. Проверить лежат ли четыре точки в одной плоскости. А (2,-1,1); В(5,5,4); С(3,2,-1); Д(4,1,3).

Решение. Надо проверить лежат ли 3 вектора в одной плоскости, для этого найдём координаты этих векторов {3,6,3}; { 1,3,-2};

( = 18 -24 +6 -18-12+ 12= 18 . Вывод. Эти точки

не лежат в одной плоскости.

Определение. Двойным векторным произведением векторов называется векторное произведение [ или [ .

Дата добавления: 2017-02-01