ЛЕКЦИЯ 6. Длина вектора. Направляющие косинусы.

Декартова система координат (д.с.к.)

Определение. Аффинный базис { O, }, у которого векторы лежат на взаимно ортогональных осях и длины равны единицы, называется декартовым ортогональным базисом, принято обозначать { 0, }.

В силу теоремы о разложении вектора в базисе для д.с.к.

X,Y,Z – координаты вектора, – орты.

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора равны ортогональным проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно.

Доказательство. Сделаем рисунок

Z

M = +

_xOM;

k _y OM;

o j y _z OM;

i по построению.

P

x 24

; ; , так как коллинеарны.

_xOM = ^° = ; _y OM=

_z OM = ч. т. д.

Определение. Проекции вектора на оси координат называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.

Теорема Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их одноимёнными координатами.

Пример. Найти координаты вектора , если ;

Решение. По теореме x_c=1+3 =1; y_c =2+3 -13; z_c = 3+3 3= 12

Ответ. = {1, -13, 12}.

Определение. Радиус вектор – это вектор, соединяющий начало координат и точку А, обозначается = { X,Y,Z}.

Пусть вектор , так как он является диагональю параллелограмма, то по теореме из школы ² = ² = ² = ² или ² = X² +Y² +Z² отсюда

(1)

Рассмотрим вектор ; точки А( и В (

z A

B ; ; ={ },

^k так как и - проекции, то

x i j y = { , a модуль вектора

Обозначим углы наклона вектора c осями координат ox,oy,oz соответственно .

Определение. Косинусы углов, образованных между вектором и осями координат, называются направляющими косинусами вектора

z Если вектор ={ x,y,z}, то x = ;

y= ; z = , как проекции,отсюда

x o y , или

= ; = ; = (1)

Возведём в квадрат обе части равенств (1) и сложим, получим

co + co +co = + + = 1.

условие того, что углы вектора с осями координат.

Дата добавления: 2017-02-01