Линейные однородные системы

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

ЗАДАЧА. Решить систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

Решение. Умножим обе части первого уравнения на , а 2-го на и вычтем из 1-го уравнения 2-е.

+

. Числитель этой дроби равен определителю –
. Знаменатель равен - , обозначим = , а через , тогда = . Аналогичными действиями можно получить , где . Решение системы запишем в виде:

, . Для системы, состоящей из трёх уравнений с тремя неизвестными эти формулы примут вид:

, это и есть формулы Крамера, где

, , =

. - главный определитель; , , - побочные.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. = = 79 0.Система совместна. = =395, =-158, = = 237.

= = 5; = ; = . Ответ. .

Из формул Крамера следует:

1). 0 система имеет единственное решение.

2). = 0, но хотя бы один из 0, то система не имеет решения.

3). = , то система имеет бесчисленное множество решений или совсем не имеет решения.

18

Определение. Система m уравнений с n неизвестными вида:

(1)

называется линейной однородной системой.

Следуя формулам Крамера, можно сделать вывод:

1). 0, m=n система имеет единственное нулевое решение.

2). , m n система имеет бесчисленное множество решений и среди этих решений могут быть и ненулевые.

Теорема. Для того, чтобы система (1) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы её определитель = 0.

Доказательство необходимости.

Пусть система (1) имеет ненулевое решение, но

По формулам Крамера имеем:

, = = = , так как есть ненулевое решение, предположим, что это то = , а это возможно только тогда, когда .

Доказательство достаточности.

Пусть = 0, тогда в формулах Крамера , .

Возьмём r(A) < n и по теореме Кронекера – Капелли система (1) имеет бесчисленное множество решений в том числе и ненулевое.

Вывод. Однородная система уравнений всегда совместна и имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель системы равен нулю .

Пример. Решить систему уравнений.

= 0. →

Ранг матрицы последней системы равен 2-м, а число неизвестных равно 3-м, поэтому, следуя теореме Кронекера – Капелли, 3-2=1 свободное неизвестное. Систему перепишем так: и решаем её по формулам Крамера. Для этого найдём , 2z+18z=20z, =

=-27z-z=-28z. X = = = 5z; Y = = .

Ответ. X = 5z; Y = -7z, где z любое число.

Дата добавления: 2017-02-01