Другой метод нахождения ранга матрицы

ПОНЯТИЕ О РАНГЕ МАТРИЦЫ

Пусть имеем матрицу из m строк и n столбцов Определение. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из данной матрицы выделением произвольных k строк и k столбцов.

Например:

А = - минор 3-го порядка.

= - минор 2-го порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля её миноров.

Обозначается: rang A = 3 или

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка чем r равен нулю.

Пример. Найти rang матрицы. A = . Начинаем искать миноры не равные нулю с наибольшего порядка. = ; = 7 0.

Делаем вывод, что , так как минор 3-го порядка отличен от нуля.

Этот метод нахождения ранга матрицы достаточно трудоёмкий, так как

приходится вычислять много определителей.

Определение. Элементарными называются следующие преобразования:

1). Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

2). Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

3). Перемена местами строк (столбцов) матрицы.

4). Отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получаемые одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

Эквивалентные матрицы не равны друг другу, но ранги их равны.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Пример. Вычислить ранг матрицы А.

A =

, rang(A) = 2.

Вывод. Ранг матрицы равен числу единиц, стоящих по диагонали матрицы, если все остальные элементы нули.

Дата добавления: 2017-02-01