Понятие базиса. Аффинные координаты

Понятие линейной зависимости векторов

Определение. Линейной комбинацией n векторов ….. называют сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражение вида:

, (1)

где - числа.

Определение. Векторы ….. называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация (1) обращается в ноль = 0.

Определение. Векторы ….. называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все = 0.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2-х векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости. Пусть 2 вектора и зависимы, докажем, что они коллинеарны.

По определению линейной зависимости векторов найдутся такие и , что + =0, пусть ,тогда разделим на , получим +

Последнее равенство означает, что векторы коллинеарны ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть и коллинеарны, то есть или это значит зависимы,ч.т.д.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3-х векторов является их компланарность.

Теорема 3. Любые 4-е вектора в линейно зависимы.

Определение. 3 линейно независимые вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , то есть

. (1)

Это разложение вектора в базисе .

Определение. Числа называются координатами вектора в базисе то есть координаты вектора это коэффициенты линейной зависимости, выражающие данный вектор через данный базис.

Определение. Базис , в котором векторы произвольны называется аффинным. 23

Теорема 1. Всякий вектор может единственным образом разложен в данном базисе.

Доказательство. Пусть

(1)

и ещё есть разложение

(2)

Вычтем из (1) (2) 0 = , так как - базис, то эта линейная комбинация выполняется тогда, когда отсюда , то есть разложения совпадают ч.т.д.

Определение. Три некомпланарных вектора с общим началом О называются аффинным базисом и обозначается { O, }.

= {

O

Определение. Вектор , соединяющий начало и точку М, называется радиусом вектором точки М.

Дата добавления: 2017-02-01