Задачи на растворы, смеси и сплавы

Задачи на проценты

Основными типами задач на проценты являются следующие:

1) задачи на растворы, смеси и сплавы,

2) задача «о продуктах» (о процентном содержании какого – либо вещества),

3) задачи на формулу сложных процентов.

Тип задач на растворы, смеси, сплавы встречаются не только в математике, но и в химии. Самый простой способ их решения – это при решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью таблицы. Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач с использованием аналогий.

Прототип задания B13 (№ 99571). В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

После первого прочтения задачи строим таблицу.

	Всё количество, л (100%)	Часть количества (чистое вещество), л	% содержание чистого вещества
I (вещество)
II (вода)
I + II (раствор)

Разбиваем текст на логические части и анализируем. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества. I-го вещества 5 л, % содержание – 12%

	Всё количество, л (100%)	Часть количества (чистое вещество), л	% содержание чистого вещества
I (вещество)
II (вода)
I + II (раствор)

Заполнены две ячейки строки, необходимо заполнить последнюю ячейку. Задачи на пропорции даже слабые учащиеся решают хорошо, поэтому, не запоминая формул, составляем пропорцию:

5 л – 100% , х = . Лучше пока не сокращать дробь.

х л – 12% Продолжаем заполнение таблицы.

	Всё количество, л (100%)	Часть количества (чистое вещество), л	% содержание чистого вещества
I (вещество)
II (вода)
I + II (раствор)

Фраза «добавили 7 литров воды» говорит о том, что она имеет 0% концентрации, т.е. в ней не содержится чистого вещества. Значит, в строке II (вода) кроме первой ячейки (7 л), следует поставить «0». Ответ на вопрос задачи «Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?» поможет найти слово «добавили», т.е. речь идет о сумме I + II (раствор). Заполняем таблицу.

	Всё количество, л (100%)	Часть количества (чистое вещество), л	% содержание чистого вещества
I (вещество)
II (вода)
I + II (раствор)	5+7=12	+ 0 =	?

Важно постоянно напоминать обучающимся, что в смесях, растворах и сплавах % содержание не является средним арифметическим (аналогия со средней скоростью, определением времени при общей работе и т.п.). Опять используем умение решать задачи на пропорции.

12 л – 100% , у = , у = 5.

л – у %

Ответ: 5.

Прототип задания B13 (№ 99572). Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

«Сплетничаем»: Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Вспомним, что если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти - работа принимается за единицу. Аналогично, если объем раствор не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти – объем раствора принимается за единицу х. Пусть масса первого раствора равна 1. Масса второго – тоже 1.

	Всё количество, (100%)	Часть количества (чистое вещество)	% содержание чистого вещества
I	1 +	+
II	+ 1 =	+ =
I + II	= 2	=	х?

Составляем пропорцию.

2– 100% х = , х = 17.

– х % Ответ: 17.

Прототип задания B13 (№ 99575). Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

«Сплетничаем»: Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Пусть масса первого сплава равна х, т.к. I + II 200 кг, тогда масса II сплава (200 – х) кг.

	Всё количество, кг (100%)	Часть количества (никель), кг	% содержание никеля
I	х	х +
II	200 – х	+
I + II		= 50

х + 50, х – х+ 60=50, 0,2 х = 10, х = 50.

В таблице нет знака вопроса, значит, ответа на вопрос задачи мы не получили. Читаем вопрос: «На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?»

1) 200 – 50 = 150 (кг) – масса второго сплава.

2) 150 – 50 = 100 (кг).

Ответ: 100.

Прототип задания B13 (№ 99577). Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

	Всё количество, кг (100%)	Часть количества (чистое вещество), кг	% содержание чистого вещества
I (кислота)	х?	х +
II (кислота)	у	+ у +
III (вода)		+ 0 =
I + II + III	х + у + 10	=
I (кислота)	х?	х +
II (кислота)	у	+ у +
III (кислота)		+ 5
I + II + III	х + у + 10	=

5 х + 5 у = 450, х + у = 90, у = 90 – х. Из первого уравнения системы 4 у – х = 60,

360 – 4 х – х = 60, х = 60.

Ответ: 60.

3.2. Задачи «о продуктах»

Если встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог – на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. [5, 6, 7, 11 – 15]

Прототип задания B13 (№ 99574). Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». «Сухое вещество» остается неизменным.

	Всё количество, кг (100%)	Часть количества (сухое вещество), кг	% содержание сухого вещества
виноград	х?	х=	100 – 90 = 10
изюм		=	100 –5 = 95

х = , х= 190.

Ответ: 190.

Дата добавления: 2017-02-01