Задачи на формулу сложных процентов

Для выполнения заданий на проценты необходимо важное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем, а также полезны формулы:

1) если величину х увеличить на р %, получим х (.

2) если величину х уменьшить на р %, получим х (.

3) если величину х увеличить на р %, а затем уменьшить на q%, получим х (. (.

4) если величину х дважды увеличить на р %, процентов, получим х ( ².

5) если величину х дважды уменьшить на р %, процентов, получим х ( ² [11 – 15]

Воспользуемся ими для решения задач В13.

Прототип задания B13 (№ 99565). В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

40000(.( = 47088

Ответ: 47088.

Прототип задания B13 (№ 99566). В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд слабым учащимся, кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но это не так. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х рублей. К вечеру понедельника они подорожали на р % и стали стоить х (. Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на р % по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акций	х	х (	х (.(
Результат			= х (

х (.( х (, 1 = , , по смыслу задачи р >0, значит р =20.

Ответ: 20.

Прототип задания B13 (№ 99569). Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Холодильник стоил 20000 рублей, его цена два раза уменьшилась на р %. Для решения применим формулу х ( ² = 20000( ² , но «через два года был продан за 15842 рублей». Имеем

20000( ² = 15842,

( ² = ,

( ² = , по смыслу задачи = , р = 11.

Ответ: 11.

Прототип задания B13 (№ 99567). Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна х, стоимость куртки у. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 100 – 8 = 92% = от цены куртки, то есть 4 х = 0,92 у, х = 0,23 у, 5 х =1,15 у, но 1,15 = = 115%, т.е. 5 рубашек на 15% дороже куртки (т.к. цену куртки приняли за 100%).

Ответ: 15.

Прототип задания B13 (№ 99568). Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Заполним таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация А» и «ситуация В».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности	х	у	z	х + у + z
Ситуация А	2 х	у	z	1,67(х + у + z)
Ситуация В	х	у	z	0,96(х + у + z)

Но что мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти х, у и z по отдельности. Правда, нам это и не нужно. «Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?» Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму х + у + z. Получим

х = 0,67(х + у + z) Это значит, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение х + у + z, упростим и получим, что z = 0,06(х + у + z). Значит, стипендия дочери составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 100% 27% общего дохода.

Ответ: 27.

В моей работе я разобрала практически все типы задания В13, мной не рассмотрены задачи на прогрессии, т.к. для их решения применяется другие алгоритмы.

Заключение

В «Примерной программе основного общего образования по математике» дана «Общая характеристика учебного предмета», в которой отмечено, что «… одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления». А изучение основных типов текстовых задач и является одной из составляющих в развитии алгоритмизации мышления.

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому этому уделяется много внимания (уже в первом классе обучащиеся начинают решать текстовые задачи). Связи с ведением ЕГЭ в 11 классе и экзаменом в новой форме в 9 классе это стало ещё более актуальным. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и находить ответ для простейших из них.

Без конкретной программы деятельности для учащихся, без алгоритмов или общих указаний по поиску решения задач, трудно организовать процесс учения детей, т.к. этот процесс имеет своими составными частями подражание и последующее творчество. Неосознанные навыки быстро утрачиваются. Лишь те навыки, которые доведены до автоматизма, или сохранили теоретическую основу, надолго остаются действенными. Я придерживаюсь в своей деятельности такого метода работы над задачами, когда ученик твёрдо усвоил основные приёмы решения задач и знает их основные типы. Эти приёмы и способы вырабатываются в процессе изучения той или иной темы и только впоследствии используются как алгоритм решения. Как показала практика, этот метод хорош при работе со слабыми и средними по успеваемости учениками. Они запоминают по различным признакам схему решения образца, решают определённый класс задач. Для более подготовленных учеников этот этап работы проходит быстро, без затруднений, они уже на начальной стадии изучения способны «ухватить» метод и применить его в более сложных ситуациях. Им даются уже более сложные задания, требующие не только автоматического применения основных приёмов, но и нетрадиционного подхода, смекалки.

Список литературы

1. Дорофеев Г., М.Потапов, Н.Розов «Математика для поступающих в вузы». М., Дрофа, 2003.

2. «ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика. Все задания группы В. Закрытый сегмент» Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. М., «Экзамен», 2011.

3. «Единый государственный экзамен. Типовые экзаменационные варианты. Математика» Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. М., Национальное образование. 2011.

4. Зиганшина Н. «Они не умеют считать без калькулятора» 21.04.11, http://www.gazeta.ru/social/2011/04/21/3591189.shtml

5. Крамор В.С. «Задачи на составление уравнений и методы их решения». М., Оникс – Мир и образование, 2009.

6. Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа». М., Просвещение, 1990.

7. Соломинская И.С., Соломинский Л.И. «Математика. Решение текстовых задач. Экспресс-репетитор для подготовке к ЕГЭ». М., АСТ-Астрель, 2010.

8. Ткачук В.В. «Математика – абитуриенту. Все о вступительных экзаменах в вузы». М., МЦНМО, 2007.

9. Черкасов О., Якушев А. «Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену (скорая помощь абитуриентам)». М., Айрис-пресс, 2003.

10. Шарыгин И.Ф. «Математика для поступающих в вузы». М., Дрофа, 2006.

11. Шестаков С.А., Гущин Д.Д. Рабочая тетрадь «ЕГЭ 2011. Математика. Задача В12». Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. М., МЦНМО, 2010.

12. http://le-savchen.ucoz.ru

13. http://mathege.ru

14. http://www.ege-study.ru

15. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/«metodicheskie-rekomendatsii-obucheniya-uchashchikhsya-resheniyu-zadach-s-kra

16. http://festival.1september.ru/articles/103564/

Дата добавления: 2017-02-01