Свойства операции суммы
Произведение матриц
По определению, обозначим за
и
. Справедливы следующие три свойства:
1)
(5.1)
Доказательство:
2)
(5.2)
Доказательство:
3)
(5.3)
Доказательство:

Положим:
; А: m
.
Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А
В не определено).
Тогда произведением матриц А и Вявляется матрица С, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя (матрицы А), а число столбцов – с числом столбцов второго множителя (матрицы В): С=А
В; С: m
n;
, и элементы которой
определяются по формуле: 
Пример: Пусть 
тогда:
.
Заметим, что
. Мы показали, что, вообще говоря,
, т.е. произведение матриц не коммутативно.