Определение произведения матриц и его некоммутативность

Свойства операции суммы

Произведение матриц

 

По определению, обозначим за и . Справедливы следующие три свойства:

1) (5.1)

Доказательство:

2) (5.2)

Доказательство: 3) (5.3)

Доказательство:

 

Положим: ; А: m .

Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение АВ не определено).

Тогда произведением матриц А и Вявляется матрица С, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя (матрицы А), а число столбцов ­– с числом столбцов второго множителя (матрицы В): С=АВ; С: mn; , и элементы которой определяются по формуле:

Пример: Пусть

тогда: .

Заметим, что . Мы показали, что, вообще говоря,, т.е. произведение матриц не коммутативно.