Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Способы доказательства тождеств





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Законы поглощения: АÈ (АÇВ)=А; АÇ(АÈВ)=А.

7). Закон инволютивности: .

8) Закон противоречия: АÇ=Æ.

9) Закон «третьего не дано» (исключенного третьего): АÈ=U.

10) Свойства универсального множества: АÈU=U; АÇU=А.

11) Свойства пустого множества: АÈÆ=А; АÇÆ=Æ.

 

Дополнительные тождества для операций объединения, пересечения и дополнения множеств:

12) Законы склеивания:

13) Законы сокращения (законы Порецкого):

Следствия из законов сокращения:

14) Дополнительные тождества (законы) для операции разности (относительного дополнения) множеств: A\(B\C)=(A\B) È (AÇC); (A\B)\C=(A\C)\(B\C);

A\(BÈC)=(A\B)\C; A\(BÈC)=(A\C)\(B\C).

15) Дополнительные тождества (законы) для операции симметрической разности:

AΔ(BΔC)=(AΔB) ΔC; AÇ(BΔC)=(AÇB) Δ(AÇC).

Замечание. Практически все основные тождества (законы) множеств представлены парами, которые характеризуются своей симметричностью в отношении операций объединения и пересечения. Подобное свойство законов называется дуальностью (двойственностью). С учетом этого свойства можно выразить один закон пары из другого путем замены операции объединения на операцию пересечения и наоборот. Это относится к законам 1-6. Что касается законов 8-11, то их также можно представить парами, но в отличии от законов 1-6 один закон пары получается из другого не только заменой операций, но и стандартных множеств (универсума и пустого) на противоположное.

Кроме того, свойством дуальности обладают также законы 12 и 13.

Огастес де Морган, (1806-1871) шотландский математик и логик.   Порецкий Платон Сергеевич (1846 -1907) русский математик, астроном и логик.

Убедиться в справедливости тождеств можно с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Для этого необходимо изобразить на диаграммах левую и правую части тождеств и сравнить их. Такой способ доказательства принято называть геометрическим. Этот способ является наглядным, но не обладает достаточной строгостью.



Пример 6.Проверим первый дистрибутивный закон: АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС) (рис.4).

Диаграммы левой и правой частей тождества совпадают,

значит оно справедливо.

ВÇС АÈ(ВÇС)

 

АÈВ АÈС (АÈВ)Ç(АÈС)

Рис. 4. Проверка дистрибутивного закона на диаграммах Эйлера-Венна

Пример 7.Проверим справедливость правила де Моргана на диаграммах Эйлера-Венна (рис. 5).

Диаграммы левой и правой

частей тождества совпадают,

значит оно справедливо.

 

АÈВ

Ç

Рис. 5. Проверка правила де Моргана на диаграммах Эйлера-Венна

 

Доказательство справедливости проверяемых тождеств можно проводить одним из двух методов:

- методом взаимного включения;

- алгебраическим методом.

 

Метод взаимного включения базируется на определении равенства двух множеств, между которыми существует отношение взаимного включения: А=В ÛАÍВиВÍА.

 

Пример 8.Докажем первый дистрибутивный закон: АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС).

Обозначим левую часть тождества АÈ(ВÇС) через Dl, а правую – (АÈВ)Ç(АÈС) через Dr.

В соответствии с принятым методом доказательство разделяется на две части:

1) берется произвольный элемент множества Dl (хÎDl) и доказывается, что он принадлежит также и множеству Dr, откуда следует: DlÍDr;

2) берется произвольный элемент множества Dr и доказывается, что он принадлежит также и множеству Dl, откуда следует: DrÍ Dl.

1. Пусть элемент хÎ Dl, т.е. хÎ АÈ(ВÇС), тогда по определению операции объединения (хÎА) или (хÎВÇС).

а) Если элемент хÎА, то, по определению операции объединения множеств,

(хÎАÈВ) и (хÎАÈС), следовательно х Î (АÈВ)Ç(АÈС), т.е. хÎDr;

б) Если элемент хÎВÇС, то, по определению операции пересечения множеств,

(хÎВ) и (хÎС), отсюда, по определению операции объединения,

(хÎАÈВ) и (хÎАÈС), следовательно хÎ(АÈВ)Ç(АÈС), т.е. хÎDr;.

Так как для любого хÎDl следует, что хÎDr, то, по определению отношения включения DlÍDr.

  1. Пусть элемент хÎDr, т.е. (хÎАÈВ) и (хÎАÈС), откуда по определению операции объединения (хÎАилихÎВ) и (хÎАилихÎС), следовательно, хÎАили (хÎВихÎС), откуда, хÎАили (хÎBÇС), т.е. хÎ АÈ(ВÇС) или хÎDl, откуда DrÍDl.

Таким образом, между множествами Dl и Dr существуют отношение взаимного включения, значит Dl=Dr, что и требовалось доказать.

 

Пример 9.Докажем первый закон двойственности:

Обозначим Dl=и Dr=Ç.

1. Пусть элемент xÎ Dl , т.е. xÎ . Тогда xÎ (x АÈВ), значит xАихВ (тонкий момент в доказательстве: х не принадлежит ни А, ни В), следовательно хÎихÎ, т.е. хÎÇ. Значит Dl Í Dr.

2. Пусть теперь элемент хÎ Dr , т.е. хÎ Ç. Тогда (хÎ) и (хÎ), значит xÎUиx одновременно не принадлежит ни А, ни В, т.е. х(А илиВ), следовательно

х АÈВ, т.е. х Î . Из этого следует, что Dr Í Dl.

Таким образом, между множествами Dl и Dr существуют отношение взаимного включения, значит Dl=Dr, что и требовалось доказать.

 

Алгебраический метод доказательства проверяемых тождеств базируется на преобразовании алгебраического выражения из левой части тождества к виду, представляющему правую часть. Как вариант модификации метода можно осуществить преобразование алгебраических выражений из обеих частей тождества путем приведения их к одному и тому же виду.

Пример 10.Докажем второй закон поглощения: АÇ(АÈВ)=Апутем преобразования левой части тождества к правой с использованием других тождеств:

 

АÇ(АÈВ) = (АÈÆ)Ç(АÈВ) = (АÈ(ÆÇB)) = АÈÆ = А.

Ý Ý Ý Ý

свойство пустого по дистрибутивному свойства пустого

множества закону множества





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 4245; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.034 сек.