Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции

ТЕОРЕМА. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0 ) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрас­тает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f '(x) < 0) имеем признак строгой моно­тонности, т.е. функция возрастает (убывает).

Если углы наклона касатель­ных (рис.1)на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

Рис.1

Точки локального экстремума

Определение. Точка x₀ называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f (x), если для любого х ≠ x₀ в не­которой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x₀) > f(х) (f (x₀) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы указан на рис.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x₀ — точка возможного экстремума, т.е. f '(x₀) = 0, то она может ине быть точкой локального экстремума. Например, для функции f (x) = x³ (рис. 3) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 1 не является достаточным условием существования локального экстремума.

Рис.2

Рис.3

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x₀.

Пример: Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f (x) = х ³ — 7,5x ² + 18 x.

Решение. Сначала находим производную f '(x) = 3 x ² — 15 x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х ² — 5 х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x₁ = 2 и x₂ = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x₁ =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x₂ = 3 функция f' (х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис.4). Поскольку f'(x) > 0 при х (-,2), то в силу теоремы о признаке монотонности функция монотонно возрастает на этом интер­вале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f (x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, +) функция монотонно воз­растает (f '(x) > 0).

Рис.4

Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение. График функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой каса­тельной к графику функции на (а, b) (рис.5).

Рис.5

ТЕОРЕМА. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0 ) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение. Точка М (x₀, f (x₀)) называется точкой пере­гиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пре­делах которой график функции f (x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на дру­гую, т.е. "перегибается" через нее (рис.6).

ТЕОРЕМА 1(необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f (x) имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)) и функция f(x) имеет в точке x₀ непре­рывную вторую производную. Тогда

(8)

Условие f "(x₀) = 0 не всегда означает нали­чие точки перегиба на графике функции у = f (x). Например, график функции у = x ^{2 n} (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (8) является только необходимым условием пере­гиба. Точки графика, для которых условие (8) выполнено, называют критическими.

Рис.6

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки пе­региба). Пусть в некоторой окрестности точки x₀ вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x₀. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x₀, f(x₀)).

Рис.7

Пример: f (x) = ехр (- x ²).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2 x exp(—x²), f"(x) = 2 exp (-x²)(2 x ² — 1). Приравнивая вторую производ­ную к нулю, получаем критические точки х = ± 1 /. Вви­ду зависимости функции от х ² достаточно исследовать точку x = l/. Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следова­тельно, на левой ветви функции точка M ₁(-1 / , e ^-1/2) явля­ется точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис.8). На правой ветви в точке перегиба М ₂(1/, е ^-1/2) графика функции име­ет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

Рис.8

Асимптоты графика функции

Определение. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f (x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно +или -.

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам раз­рыва второго рода. Например, график функции у = е^1/x име­ет вертикальную асимптоту х = 0, так как f (x) при х 0+.

Определение. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при х ±, если f(x) можно представить в виде

(9)

где α(х) 0 при х ±.

(10)

Из равенства (9):

(11)

Пример: f (x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

Затем находим наклонные асимптоты:

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

Схема исследования графика функции

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чет­ность или нечетность функции. Функция f (x) называется чет­ной, если выполнено условие симметрии ее графика относи­тельно оси Оу:

(12)

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

(13)

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем ото­бразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (12) (рис. 9,а) или с центральной симметрией в случае (13) (рис.9,б).

Рис.9

3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­динат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f (0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, опреде­лить участки монотонности функции, направление выпуклос­ти графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [ а, b ], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного ис­следования.

Пример: Исследовать и построить график функции

(14)

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (-, 0) (0, ).

2. Функция (14) является нечетной, так как f (- x) = - f (x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересече­ния с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как пре­дел f(x) при х 0 бесконечен: f (x) +при х 0-, f(x) -при х 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f '(x) положительна.

6. f"(x) = — 2 /х ³ — критических точек нет.

7. Функция (14) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положитель­на. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f "(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не су­ществует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (14) приведен на рис.10.

Рис.10

Дата добавления: 2014-01-05