Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диффе­ренцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет пер­вообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем спра­ведлива формула

(2)

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (2) часто используют в форме

(3)

Равенство (2) (или (3)) называется формулой интегри­рования по частям.

Пример: d x.

Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (2) получаем

В общем случае интегралы вида ln х dx, где п ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = ln x, xⁿdx = dv, т.е. v = хⁿ⁺¹ / (п + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида arctg x dx.

Пример 9. dx.

Решение. В этом случае и = х, e^хdx = dv = d(e^x), тогда по формуле (2) имеем

Интегралы вида dx, где п > 0 — целое число и k ≠ 0 — любое число, берутся n -кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится е^kx, т.е. e^kxdx = dv = d(е^kx).

Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функ­ция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:

cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = -d (cos kx) и т.д.

В данном случае мы имеем

Дата добавления: 2014-01-05