Уравнение плоскости в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве.

Пусть задана точка М₀ (x₀; y₀; z₀) с радиус вектором r₀ = (x₀; y₀; z₀) и вектор n = (А; В; С) ⊥ П (плоскость), и идущий из начало координат.

Для всех точек плоскости и только для них справедливо соотношение: n ⊥ М₀ М, где М (x; y; z) – произвольная точка плоскости П, с радиус вектором r =(x; y; z).

Как и при решении задачи о прямой получаем (r - r_0, n)=0 (6.1) –векторная форма уравнения плоскости.

В координатной форме можем записать

A(x – x₀) + B(y- y₀)+C(z-z₀)=0 (6.2) – координатная форма уравнения плоскости, проходящей через точку М₀(х₀;у_0;; z₀) и перпендикулярно n.

Или обозначая (-Ax₀ - By₀ – Cz₀)=D, получим

Ах + Ву +Сz +D =0 (6.3) – общее уравнение плоскости, где коэффициенты А, В, С – определяют координаты вектора

n – вектор нормали прямой.

Некоторые виды неполных уравнений плоскости, в зависимости от её расположение в пространстве:

условия	Вид уравнения	Расположение П
Д=0	Ах + Ву +Сz =0	П проходит через начало О
А=0	Ву +Сz +D =0	П ││Ох
А=0,В=0	Сz +D =0	П││Оху или П ⊥О z
А=0,В=0 Д=0	Сz =0	Z=0- Оху

Пусть Д ≠ 0, тогда введем новые обозначения и получим

x/a +y/b+z/c =1 (6.4) - уравнение плоскости в отрезках, где а - величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, аналогично в и с.

Имеем три точки М₁, М_2, М₃ Î П.

Возьмем произвольную точку М (x; y; z)ÎП.

Если три вектора компланарны, то выполняется условие

М₁М * М₂М * М₃М =0. Применяя все правила умножения векторов,

получим, что - (6.5)уравнение плоскости проходящей через три точки.

Замечание. Данное уравнение может изменяться в зависимости от того, из какой точки выходят вектора.

Вывод нормального уравнения плоскости аналогичен выводу нормального уравнения прямой (самостоятельно), и все условия выполняются для него:

(6.6)- нормальное уравнение плоскости.

Дата добавления: 2014-01-07