Взаимное расположения прямой и плоскости в пространстве, угол между ними

Прямая и плоскость в пространстве могут быть расположены по отношению друг к другу:

1) могут не иметь общих точек, те параллельны между собой, в этом случае S_l ⊥ n_п, те Am+Bn+Cp =0.

2) пересекаются в одной точке под произвольным углом.

Опр. 6.1. За угол между плоскостью и прямой, принимается угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

При этом за данный угол берут наименьший из углов, которые прямая образует с этой плоскостью, 0<α<π/2.

Угол между нормалью П и направляющим прямой обозначим –φ.

Тогда φ+α=π/2 => φ =π/2-α.

Из формул тригонометрии имеем cosφ = sinα (sinα >0).

Но скалярное произведение может получиться отрицательным, поэтому поменяв cosφ на sinα в числителе ставится модуль.

Частный случай: прямая перпендикулярна плоскости, тогда

3) Для нахождения точки М- пересечения нужно решить систему из уравнений прямой и плоскости:

Для этого записывают уравнение прямой в параметрическом виде и подставляют значения точки М в уравнение плоскости.

А(х₀ – mt) + В(у₀-nt) +С(z₀+pt) +D =0.

Решаем это уравнение относительно t и подставляем найденные значения в систему ; получаем координаты точки М.

4) Прямая может лежать в плоскости. Те иметь в пересечении бесчисленное множество точек.

Условия принадлежности прямой плоскости:

1. S_l ⊥ n_п, те Am+Bn+Cp =0
2. координаты точек прямой должны удовлетворять уравнению плоскости: Ах₀ + Ву₀ +Сz₀ +D =0

Таким образом условия принадлежности прямой плоскости запишем в систему

Если выполняется (1) условие – то плоскость и прямая пересекаются в одной точке, если выполняется (2) условие то плоскость и прямая параллельны.

Дата добавления: 2014-01-07