Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Векторная алгебра

В физике встречаются величины скалярные – масса, время, температура, которые характеризуются только числовым значением, и векторные – сила, скорость, ускорение. Векторные величины кроме числового значения имеют определенное направление в пространстве. Геометрически векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков – векторов.

Если начало отрезка находится в точке , а конец его – в точке , то соответствующий вектор обозначается символом , – точка приложения вектора. Значит, вектор можно определить как упорядоченную пару точек, где первая точка – это начало вектора, вторая – его конец. Длина (модуль) вектора – это длина направленного отрезка. Вектор, конец которого совпадает с началом, называем нулевым, длина такого вектора равна нулю. Этот вектор не имеет определенного направления. Вектор, длина которого равна 1, называем единичным. Вектор можно обозначать также сокращенно символом а, его длину обозначают . Единичный вектор называется ортом вектора .

Векторы а и называем коллинеарными, ║ , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы а и равны, , если они

1) коллинеарны: ,

2) направлены в одну сторону: ,

3) имеют одинаковую длину: = .

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то . Очевидно, все нулевые векторы равны.

В математике точку приложения вектора можно выбрать произвольно. Иначе, векторы определяются с точностью до точки приложения (свободные векторы).

Линейными операциями называют сложение векторов а, и умножение вектора а на число .

При сложении векторов а и пользуются правилом треугольника: к концу вектора а прилагают начало вектора , тогда вектор суммы а + идет из начала вектора а в конец вектора . Можно складывать векторы по правилу параллелограмма: векторы а и прилагают к общему началу, тогда вектор суммы а + совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах а и (рис. 1 ).

Рис. 1

Задача 1. К одной точке приложены две силы и , которые действуют под углом , | | = | | =7 кг. Найти величину равнодействующей данных сил (рис. 2).

Решение. Складывая равные по величине силы

Рис.2 и по правилу параллелограмма, получаем, что их равнодействующая направлена по диагонали ромба, поэтому делит угол между силами пополам. Значит, величина равнодействующей | | = 7 кг как сторона равностороннего треугольника. ¨

Задача 2. Три силы и приложены к одной точке и имеют взаимно перпендикулярные направления. Вычислить величину их равнодействующей и выразить вектор черезвекторы и , если известно .

Решение. Пусть силы приложены к точке (рис.3). Тогда По правилу параллелограмма , . Осталось найти диагональ параллелепипеда, построенного на векторах и :

. ¨

Правило параллелограмма дает и разность векторов а – это диагональ, которая идет из конца вектора в конец вектора а. По правилу треугольника легко проверяем (см. рис.1): .

Сумму нескольких векторов удобно находить по правилу многоугольника: к концу предыдущего слагаемого прилагают начало следующего, тогда сумма векторов идет из начала первого в конец последнего слагаемого. Этим правилом часто пользуются в механике при определении равнодействующей нескольких сил.

Компланарными называем векторы, которые расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Задача 3. Найти равнодействующую шести равных по величине компланарных сил, если угол между двумя последовательными силами равен .

Решение. Складывая векторы по правилу многоугольника, получаем (рис. 4) замкнутый шестиугольник. Значит, равнодействующая данных сил равна нулю. ¨

Задача 4. Найти равнодействующую пяти компланарных сил, равных по величине, если угол между двумя последовательными силами равен 108˚.

Ответ. Равнодействующая равна 0. ¨

При умножении вектора на число получаем вектор , который

1) ;

2) , если , , если ;

3) .

Геометрический смысл этой операции – "растяжение" вектора в раз. Собственно, при – растяжение, при – сжатие, а при – изменение направления с растяжением или сжатием в зависимости от величины .

Значит, пропорциональные векторы а и коллинеарны. Верно и обратное: если векторы а и коллинеарны, то они пропорциональны, то есть существует такое число , что (при условии ).

При умножении произвольного вектора на число 0 получаем нулевой вектор, при умножении -вектора на произвольное число также получаем -вектор.

Задача 5. С помощью параллелограмма, построенного на векторах а и , проверьте на рисунке справедливость тождеств:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) . ¨

Задача 6. Может ли вектор быть направленным по биссектрисе угла между слагаемыми и ? ¨

Дата добавления: 2014-11-06