Условие ортогональности двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называем число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначать операцию скалярного произведения векторов и будем символом . По определению,

. (1.13)

Например, для ортов по определению имеем:

.

Действительно, длина каждого из ортов равна единице, а угол между каждой парой равен или , тогда , или , тогда .

Понятие скалярного произведения возникло в механике в связи с вычислением работы , которая выполняется силой при перемещении материальной точки из положения в положение . Пусть сила образует угол с вектором перемещения (рис.9). Разложим силу на составляющие: . Составляющая имеет с вектором одинаковое направление, а составляющая перпендикулярна к нему. Работу выполняет только составляющая : .

Поскольку , то

(1.14)

Так как , то формуле (1.13) можно придать вид:

. (1.15)

Геометрические свойства скалярного произведения.

1) Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

2) Два ненулевых вектора образуют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение есть положительное (отрицательное) число.

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1)

2)

3)

4) для ,

Алгебраические свойства позволяют при скалярном умножении линейных комбинаций векторов раскрывать скобки, как при обычном умножении. Коммутативность скалярного произведения (свойство 1) позволяет не следить за порядком множителей.

Задача 1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если , а угол между векторами равен .

Решение. Используя алгебраические свойства скалярного произведения, запишем:

.

По условию, векторы ортогональны, значит, . Окончательно получаем

.¨

Если векторы определены своими декартовыми координатами

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений соответствующих координат, то есть

. (1.16)

Это следует из определения и свойств скалярного произведения.

Задача 2. Докажите формулу (1.16). ♦

Указание. Записать разложение векторов по базису , затем воспользоваться алгебраическими свойствами скалярного произведения.¨

Угол между векторами определяется формулой

или . (1.17)

Из формулы (1.17) следует, что условие ортогональности двух векторов в координатной форме имеет вид:

. (1.18)

Задача 3. Даны векторы . Найти скалярное произведение .

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1. Найдем координаты векторов и : , .

Скалярное произведение этих векторов найдем по формуле (1.16):

.

2. Вспомним алгебраические свойства скалярного произведения:

.

Найдем ,

,

,

.

Значит, = .¨

Задача 4. Даны векторы . Найти

1) , 2) 3) , 4) .

Ответ. 1) 22, 2) –200, 3) 129, 4)41.¨

Задача 5. Найти вектор , если известно, что он коллинеарен с вектором , имеет длину и образует с ортом острый угол.

Решение. По условию, векторы и коллинеарны, значит, пропорциональны: . Поэтому координаты вектора в раз больше соответствующих координат вектора : . По формуле (1.3) запишем длину вектора :

=15 .

Знак коэффициента т выясним, опираясь на геометрические свойства скалярного произведения. По условию, угол между вектором и ортом острый, т.е. скалярное произведение . Так как , то

Окончательно .¨

Задача 6. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения в положение .

Решение. Сначала вычислим координаты вектора : . Работу силы при перемещении материальной точки из начала вектора в его конец вычислим по формуле (1.14): . ¨

Задача 7. Вычислить работу, выполняемую силой , когда точка ее приложения перемещается из начала вектора в его конец.

Ответ. . ¨

Задача 8. При каком значении числа векторы и взаимно перпендикулярны?

Решение. Условие ортогональности (1.18) для векторов принимает вид , откуда находим . ¨

Задача 9. Даны вершины треугольника и . Найти его внутренний угол при вершине (рис. 10).

Решение. Найдем координаты векторов и :

.

Косинус угла при вершине найдем по формуле (1.17):

. ¨

Задача 10. Заданы векторы Найти .

Решение. Вычислим сначала вектор , потом скалярное произведение , наконец, найдем длину вектора : . Теперь, в соответствии с формулой (1.15) запишем , откуда находим . ¨

Если один из множителей – единичный вектор, то скалярное произведение в соответствии с (1.15) равно проекции второго множителя на направление первого. Значит, координаты произвольного вектора в декартовом базисе , определенные формулами (1.5), можно найти как скалярные произведения

Задача 11. Вектор перпендикулярен векторам и удовлетворяет условию , где вектор . Найти этот вектор.

Решение. Пусть . Для нахождения трех неизвестных координат имеем систему линейных уравнений:

Вычислим определители (см. раздел 1.6):

Теперь по формулам Крамера найдем

. ¨

Задача 12. Найти вектор , если известно, что он перпендикулярен к векторам , имеет длину и образует с осью тупой угол.

Решение. Пусть . По условию

Выразим из первых двух уравнений и через : . Воспользуемся условием : .

Из двух знаков надо выбрать "минус", так как по условию угол между искомым вектором и вектором тупой, то есть . Значит, , тогда , а вектор . ¨

Дата добавления: 2014-11-06