Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы линейных уравнений. В этом разделе приведем вспомогательный материал из линейной алгебры, содержащий краткие сведения об определителях второго и третьего порядков




В этом разделе приведем вспомогательный материал из линейной алгебры, содержащий краткие сведения об определителях второго и третьего порядков. Излагается также метод решения систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) неизвестными. Этот материал существенно используется как в предыдущих, так и в последующих разделах.

Прямоугольную таблицу чисел

называем матрицей. Здесь – число строк, – число столбцов, – элемент матрицы, который находится в -ой строке и -ом столбце.

Если , то матрица называется квадратной, – ее порядок.

Квадратной матрице второго порядка ставится в соответствие определитель (детерминант), который будем обозначать одним из символов и вычислять по правилу

(1.27)

Задача 1. Вычислить определители

.

Решение. По формуле (1. 27) находим:

,

. ¨

 

Задача 2. Решить уравнение

1) , 2) .

Ответ. 1) , 2) . ¨

 

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(1.28)

Исключим неизвестную ,для чего умножим первое уравнение системы на , второе на , а затем сложим преобразованные равенства. Получим

.

Теперь исключим неизвестную , для чего умножим первое уравнение на , а второе на . После сложения получим:

.

Введем обозначения .

С учетом этих обозначений (1.28) превращается в эквивалентную систему:

.(1.29)

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы, определители получаются из определителя заменой первого (второго) столбца столбцом из свободных членов системы.

Если , то система (1.29), а вместе с ней и исходная система (1.28) имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера:

. (1.30)

Если , то система (1.29) имеет множество решений (не определена). Еслиже , а, по крайней мере, один из определителей или отличен от нуля, то система не имеет ни одного решения (несовместна).

Этот результат имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим две прямые и . Если эти прямые пересекаются в одной точке, то система (1.28) имеет единственное решение. Если прямые сливаются в одну, то система имеет множество решений. Наконец, если прямые параллельны, система не имеет ни одного решения (см. часть 2 "Линейные образы"). ¨

 

Задача 3. Решить систему .

Решение. Вычислим определитель системы

и определители : .

По формулам Крамера находим . ¨

 

Задача 4. Исследовать, при каких значениях параметра система

а) определена, б) не определена, в) несовместна.

Решение. Вычислим определитель системы:

.

Уравнение имеет два корня: и . Вычислим



.

Следовательно, когда , то система определена. Ее единственное решение находим по формулам Крамера:

.

Когда , то есть когда , система не определена (имеет множество решений). Наконец, когда , а или , то есть при , система несовместна. ¨

Квадратной матрице третьего порядка ставится в соответствие определитель третьего порядка:

(1.31)

Конструкцию слагаемых и их знаки легко запомнить с помощью простой схемы

(правило треугольника):

 

Со знаком "+" Со знаком "-"


Задача 5. Вычислить определитель 3-го порядка .

Решение. По правилу треугольника находим:

¨

Задача 6.Показать, что . ¨

Решение. Перегруппируем слагаемые в выражении (1.31), выделяя, например, элементы первой строки:





Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 66; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:





studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.198.2.110
Генерация страницы за: 0.009 сек.