КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определители второго и третьего порядка
Задачи . Смешанным(векторно-скалярным) произведением трех векторов называем произведение,где векторы и множатся векторно, а полученный вектор множится скалярно на вектор. Смешанное произведение - скалярная величина. Двойное векторное произведение. Например, . Заметим, что смешанное произведение векторов, два из которых совпадают, равно нулю. В самом деле, если , то , потому что векторный квадрат . Если , то вектор по определению векторного произведения перпендикулярен к вектору , а скалярное произведение такого вектора на вектор равно нулю: . Пусть векторы заданы своими декартовыми координатами Смешанное произведение этих векторов определяется формулой: (1.24) Докажите эту формулу, опираясь на определение смешанного произведения, формулы (1.16), (1.23) и материал раздела (1.6). Число по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах . Знак числа – "плюс" или "минус" в зависимости от того, правую или левую тройку образуют векторы . Действительно, пусть . Здесь – площадь параллелограмма, построенного на векторах вектор - орт векторного произведения . Тогда , но , где - высота параллелепипеда. Значит, . Рис.14 На рис. 14 изображен случай, когда тройка – правая, то есть . Необходимое и достаточное условие компланарности векторов – равенство нулю их смешанного произведения. В декартовой системе координат условие компланарности трех векторов принимает вид: (1.25)
Задача 1. Доказать, что . Указание. Показать, что эти числа равны по модулю и имеют одинаковые знаки. ¨ Заметим, что теперь имеем право смешанное произведение обозначать , не указывая, какая пара векторов множится векторно.
Задача 2. Чему равно смешанное произведение векторов ? Решение. По определению имеем . Вычислим сначала векторное произведение С учетом алгебраических свойств векторного произведения получаем . Осталось вычислить скалярное произведение
. Напоминаем, что тройки и имеют разную ориентацию, а тройки и ориентированы одинаково. Поэтому . Ответ. ¨
Задача 3. Определить, правой или левой является тройка , если 1) 2) . Решение. Вычислим смешанное произведение по формуле (1.24). В случае 1) тройка левая. В случае 2) тройка правая. ¨ Задача 4. Вектор ортогонален к векторам и , угол между векторами равен 30о, . Вычислить смешанное произведение . Решение. Найдем сначала вектор . Если обозначим орт вектора через , то . Следовательно, . Теперь найдем , тут , – угол между векторами и . Вектор по определению векторного произведения ортогонален каждому из векторов и и направлен так, что тройка правая. Вектор также ортогонален векторам и (по условию), следовательно, он коллинеарен вектору , поэтому . Знак "плюс" относится к случаю, когда векторы и одинаково направлены, то есть тройка правая. Знак "минус" - когда векторы и направлены противоположно, то есть тройка левая. Значит, . ¨
Задача 5. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах . Решение. Найдем смешанное произведение векторов по формуле (1.24): .¨
Задача 6. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах . Ответ. , то есть данные векторы компланарны ¨ Задача 7. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках . Решение. Сначала найдем координаты векторов : . Теперь вычислим смешанное произведение этих векторов, а затем и объем параллелепипеда: . Объем тетраэдра в шесть раз меньше (почему?): . ¨ Задача 8. Проверить, являются ли заданные векторы линейно зависимыми . Решение. Найдем по формуле (1.24) смешанное произведение данных векторов:
. Следовательно, векторы компланарны, поэтому линейно зависимы.¨
Задача 9. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки . Решение. Точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (рис. 15). Рис.15 Запишем координаты векторов: . Вычислим смешанное произведение по формуле (1.24):
Видим, что условие компланарности не выполняется, значит, точки не лежат в одной плоскости ¨
Задача 10. Доказать, что векторы компланарны, если . (1.26) Решение. Умножим обе части равенства (1.26) скалярно, например, на вектор : . По свойствам скалярного произведения последнее равенство приобретает вид: . По определению смешанного произведения получили . Но тройка содержит два одинаковых вектора, поэтому , также . Остается векторы компланарны. ¨
Двойным векторным произведением трех векторов называем произведение , где сначала векторы перемножаются векторно, а вектор множится на результат снова векторно. Следовательно, двойное векторное произведение - это вектор. Двойное векторное произведение можно вычислить по формуле (1. 27)
Задача 11. Проверить справедливость равенства . Решение. Каждое из слагаемых вычислим по формуле (1.27) (по формуле "бац минус цаб"): , , . Учитывая коммутативность скалярного произведения, получаем: . ¨
1) ; ; 2) ; ; . Здесь – взаимно перпендикулярные единичные векторы.
1) , , , 2) , , .
1) , , , ; 2) , , , .
1) длину ребер ; ; ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды; 5) длину высоты, опущенной из вершины на грань . 9. При каких значениях параметра векторы , , компланарны?
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 403; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |