Ol — V2X 8 страница

где go, gi—кратности вырождения компонент дублета, Д — рас­стояние между ними. К свободной энергии соответственно при­бавится «электронная» часть, равная

Р_зл = -NTln (g, (50,3)

Выпишем также «электронную» теплоемкость, которая должна быть добавлена к остальным частям теплоемкости:

§1 е-^^т] go J

_________ (Д/Л²

1 +

(50,4)

!, £о_ед/г Bi

В обоих пределах Т —► 0 и Т —>■ оо с_эл, естественно, обращается в нуль, а при некоторой температуре Т ~ А имеет максимум.

Задача

Определить поправку к свободной энергии кислорода, обусловленную пер­вым Возбужденным электронным термом молекулы О_а (см. сноску). Темпера­тура велика по сравнению с колебательным квантом, но мала по сравнению с расстоянием А между нормальным термом ³2 и возбужденным ¹Д.

Решение. Статистическая сумма

₂₌₃тт1___А/тт ^тг

+ +о ¹

1ш fa 1m' fa '

где первый и второй члены представляют собой статистические суммы для основного и возбужденного термов, каждая из которых есть произведение элек­тронного, колебательного и вращательного множителей. Поэтому искомая по­правка к свободной энергии

Л_д = - NT In (l + -^V в-^д/Л«- NT ^ е-*'⁷,

где со, r₀ и со', r'₀—частоты и равновесные расстояния между ядрами в нор­мальном и возбужденном электронных состояниях.

§ 51. Многоатомный газ

Свободную энергию многоатомного газа, как и двухатомного, можно представить в виде суммы трех частей—поступательной, вращательной и колебательной. Поступательная часть по-преж­нему характеризуется теплоемкостью и химической постоянной, равными

Благодаря большой величине моментов инерции многоатомных молекул (и соответственно малости их вращательных квантов) их вращение можно всегда рассматривать классически*). Многоатом­ная молекула обладает тремя вращательными степенями свободы и тремя в общем случае различными главными моментами инер­ции 1_г, /₂, /₃; поэтому ее кинетическая энергия вращения есть

.Л^'^

e_Bp = 27^ + 2jr+277, (51,2)

где I, г), £—координаты вращающейся системы, оси которой со­впадают с главными осями инерции молекулы (мы оставляем пока в стороне особый случай молекул, составленных из атомов, рас­положенных на одной прямой). Это выражение должно быть под­ставлено в статистический интеграл

Z_Bp=S'e-V^rdT_Bp, (51,3)

где

^dx*v ⁼ /о «,» ^т^ ^йМч dAfс ^d(Pl Жр„ йу_ь

а штрих у интеграла означает, как обычно, что интегрирование должно производиться лишь по тем ориентациям молекулы, кото­рые физически отличны друг от друга.

Если молекула обладает какими-либо осями симметрии, то по­вороты вокруг этих осей совмещают молекулу саму с собой и сво­дятся к перестановке одинаковых атомов. Ясно, что число физи­чески неразличимых ориентации молекулы равно числу допускае­мых ею различных поворотов вокруг осей симметрии (включая тождественное преобразование—поворот на 360°). Обозначив это число посредством о²), можно производить интегрирование в (51,3) просто по всем ориентациям, одновременно разделив все выра­жение на а.

^J) Эффекты квантования вращения могли бы наблюдаться лишь у метана СН₄, где они должны появиться при температурах около 50° К (см. задачу к этому параграфу). ²) Так, у Н₂6 (равнобедренный треугольник) а = 2; у NH₃ (треугольная правильная пирамида) а=3; у СН₄ (тетраэдр) а=12; у С₆Н₆ (правильный шестиугольник) а=12.

В произведении dtpidcp^dcpg трех бесконечно малых углов пово­рота можно рассматривать dcpidcpr, как элемент do^ телесного угла для направлений оси £. Интегрирование по do^ производится не­зависимо от интегрирования по поворотам dcp£ вокруг самой оси £ и дает 4я. После этого интегрирование по dcpg дает еще 2п. Интегрируя также и по dM%dM_ndM$ (в пределах от —оо до +оо), найдем в результате

Отсюда свободная энергия

F = — i-NTlnT — NTln (^8я/1^/2/з)^1/а _{t (51)4)}

² aft³

Таким образом, для вращательной теплоемкости имеем в соот­ветствии с § 44

с_вр=|-, (51,5)

а химическая постоянная

g_{Ep = ln}, _(51>6)

Если все атомы в молекуле расположены на одной прямой (линейная молекула), то она обладает, как и двухатомная моле­кула, всего двумя вращательными степенями свободы и одним моментом инерции /. Вращательные теплоемкость и химическая постоянная равны, как и у двухатомного газа,

Св_Р=1, ^_P = lnjp-, (51,7)

где о=1 для несимметричной молекулы (например, NNO) и а = 2 для молекулы, симметричной относительно своей середины (на­пример, ОСО).

Колебательная часть свободной энергии многоатомного газа вычисляется аналогично тому, как это было сделано нами для двухатомного газа. Разница заключается в том, что многоатомная молекула обладает не одной, а несколькими колебательными сте­пенями свободы. Именно, и-атомная (нелинейная) молекула обла­дает, очевидно, г_К0Л=Зп— 6 колебательными степенями свободы; для линейной же n-атомной молекулы г_К0Я = Зп—5 (см. § 44). Число колебательных степеней свободы определяет число так называемых нормальных колебаний молекулы, каждому из которых соответ­ствует своя частота т_а (индекс а нумерует нормальные колеба­ния). Надо иметь в виду, что некоторые из частот со_а могут совпадать друг с другом; в таких случаях говорят о кратной частоте.

В гармоническом приближении, когда мы считаем колебания малыми (только такие температуры мы и рассматриваем), все нор­мальные колебания независимы, и колебательная энергия есть сумма энергий каждого колебания в отдельности. Поэтому коле­бательная статистическая сумма распадается на произведение статистических сумм отдельных колебаний, а для свободной энергии Р_кол получается сумма выражений типа (49,1)

F^NT^lnil-e-^a/T). (51,8)

а

В эту сумму каждая частота входит в числе раз, равном ее крат­ности. Такого же рода суммы получаются соответственно для колебательных частей других термодинамических величин.

Каждое из нормальных колебаний дает в своем классическом предельном случае (Т ^>fm_a) вклад в теплоемкость, равный с^_л=1; при Т, большем наибольшего из ^со_а, получилось бы

^кол ⁼ ''кол- (51,9)

Фактически, однако, этот предел не достигается, так как много­атомные молекулы обычно распадаются при значительно более низких температурах.

Различные частоты со_а многоатомной молекулы разбросаны обычно в очень широком интервале значений. По мере повышения температуры постепенно «включаются» в теплоемкость различные нормальные колебания. Это обстоятельство приводит к тому, что теплоемкость многоатомных газов в довольно широких интервалах температуры часто можно считать примерно постоянной.

Упомянем о возможности своеобразного перехода колебаний во вращение, пример которого представляет молекула этана С₂Н_в. Эта молекула построена из двух групп СН₃, находящихся на определенном расстоянии друг от друга и определенным образом взаимно ориентированных. Одно из нормальных колебаний моле­кулы представляет собой «крутильное колебание», при котором одна из групп СН₃ поворачивается относительно другой. При увеличении энергии колебаний их амплитуда растет и в конце концов, при достаточно высоких температурах, колебания пере­ходят в свободное вращение. В результате вклад этой степени свободы в теплоемкость, достигающий при полном возбуждении колебаний примерно величины 1, при дальнейшем повышении тем­пературы начинает падать, асимптотически приближаясь к харак­терному для вращения значению 1/2.

Наконец, укажем, что если молекула обладает отличным от нуля спином S (например, молекулы N0₂, С10₂), то к химической постоянной добавляется величина

£_s=ln(2S+l). (51,10)

Задача

Определить вращательную статистическую сумму для метана при низких температурах.

Решение. Как уже было указано в примечании на стр. 170, при достаточно низких температурах вычисление Z_Bp для метана должно произво­диться квантовым образом.

Молекула СН₄ имеет форму тетраэдра и относится к типу шарового волчка, так что ее вращательные уровни равны -^j-J (J+1), где /—общее значение

трех главных моментов инерции, /—вращательное квантовое число. Так как спин ядра Н равен t = 1/2, а спин ядра атома углерода С¹² равен нулю, то полный ядерный спин молекулы СН₄ может быть равен 0, 1, 2 (соответствую­щие ядерные статистические веса: 1, 3, 5; см. III, § 105, задача 5). Для каждого данного значения J существует по определенному числу состояний с различ­ными значениями полного ядерного спина. В следующей таблице даны эти числа для первых пяти значений J:

ядерный спин: 0 1 2

J = 0 — — 1

У=1 — 1 —

1=2 2 1 —

1 = 3 — 2 1

J=4 2 2 1

Значение суммы Z_Bp, получающееся при учете полных кратностей вырож­дения по направлениям момента вращения и ядерного спина, надо еще разде­лить на 16, если мы условимся отсчитывать энтропию от значения In (2i' + l)⁴ = = In 16 (ср. примечание на стр. 163). В результате получим

„ _5 9 "7F,25 "³7Г,72 -⁶7Т,И7 -¹⁰7Т,

^"ш+Тб* Мб ~мб "г" 16 ~^г"'

§ 52. Магнетизм газов

Тело, помещенное во внешнее магнитное поле Н, характери­зуется еще одной макроскопической величиной — приобретаемым им в поле магнитным моментом Ш. Для идеального газа этот момент Ш = Ыт (где m—средний магнитный момент отдельной частицы—атома или молекулы), так что его вычисление требует рассмотрения поведения в магнитном поле лишь отдельных частиц газа. Подчеркнем также, что поскольку намагниченность разрежен­ной среды—газа—мала вместе с ее плотностью, то можно пре­небречь влиянием среды на поле, т. е. считать, что действующее на каждую частицу поле совпадает с внешним полем Н.

Изменение гамильтониана газа при малом изменении 6Н внеш­него поля есть 8# = —8W8H, где Ш—оператор магнитного момента газа¹). Согласно формуле (15,11) (ср. также (11,4)), в которой

^г) В классической механике малое изменение функции Лагранжа системы частиц при изменении поля 6Н есть &L = %Dl(q, g)6H, где ЯИ (q, q) — магнит­ный момент системы как функция ее динамических переменных—координат и скоростей (см. II, (45,3)). Изменение же функции Гамильтона (при заданных координатах q и импульсах р) отличается от 6L лишь знаком (см. I, (40,7); ЬН = — 3W (</, р) 6Н. Соответственно в квантовой механике аналогичное выраже­ние имеет место для изменения гамильтониана, причем 5Ш—оператор магнит­ного момента, выраженный через координаты и операторы импульсов частиц (и их спинов).

под внешним параметром Я надо понимать здесь поле Н, имеем поэтому

Для вычисления свободной энергии газа в магнитном поле надо предварительно определить связанные с этим полем поправ­ки к уровням энергии частиц газа; будем сначала считать газ одноатомным. Гамильтониан атома в магнитном поле есть

Я = Я₀- mH + ~ Е [Hr_e]», (52,2)

а

где Я₀— гамильтониан атома в отсутствие поля, е и т — заряди масса электрона, г_а—координаты электронов (суммирование про­изводится по всем электронам), m = —p(2S + L)—оператор «собст­венного» магнитного момента атома (S и L — операторы его спина и орбитального момента, $ = \е\А/2тс—магнетон Бора (см. III, § 113). Рассматривая второй и третий члены в (52,2) как малое возмущение по отношению к Я₀, определяем поправку к уровням энергии с точностью до величин второго порядка по полю. Она имеет вид

А_ч^гь-гр=-А_кН-\в_кН\ (52,3)

причем

4t = (nt,)tt, (52,4)

Ви = 2 Z Е М + (52,5)

к' *' к о

где ось z выбрана в направлении Н; первый член в (52,5) воз­никает во втором порядке теории возмущений по линейному по Н члену в (52,2), а второй член—в первом по квадратичному члену гамильтониана.

_2Г2

2Т

При вычислении свободной энергии будем считать температуру газа не слишком низкой — предполагается, что поправки Ае_к<^.Т. Тогда в статистической сумме можно произвести разложение по степеням Н. С точностью до квадратичных по Н членов имеем

I | А_кН, At №, B_kH*

к к

Суммирование по k включает в себя, в частности, усреднение по направлениям собственного момента атома m (от которого невоз­мущенные уровни не зависят); из соображений симметрии оче-

где черта означает усреднение по (не возмущенному полем) больц-мановскому распределению. Подставив это выражение в (41,4) и продифференцировав затем свободную энергию по Н, получим магнитный момент в виде ЯК = А/%Н, где

= ^А² + В

(52,6)

Если же собственный магнитный момент атома отличен от нуля, то А₀Ф 0 и (при сделанном о температуре предположении) первый член в (52,6) велик по сравнению со вторым. Вычисление, со­гласно определению (52,4), дает

л.—ьм*»-i+^,t/+"-^VI»^+S'ⁱ⁺"-

где g—фактор Ланде, М_}—проекция полного момента / атома (см. III, § 113). Усреднение в (52,6) сводится к усреднению по значениям М_/. Заметив, что

Mj=-J

^ = 27ТТ 2 М} = 1/(/ + 1),

получим

_х = №у₍у+1). (52,8)

Таким образом, газ парамагнитен с восприимчивостью, подчиняю­щейся закону Кюри—обратной пропорциональности температуре (P. Langevin, 1905)¹).

Если орбитальный момент и спин атома отличны от нуля, но одинаковы по величине (L = S=^0) и складываются в полный момент /==0, то диагональные матричные элементы собственного магнитного момента равны нулю, в то время как недиагональные (для переходов L, S, J—>L, S, J ± 1 внутри одного мультиплета) отличны от нуля. Тогда А₀ = 0, а в В_а (52,5) второй (диамагнит­ный) член мал по сравнению с первым, в знаменателях которого стоят сравнительно малые интервалы тонкой структуры основного терма. При этом В₀ > 0: для основного уровня в каждом члене суммы по k' положителен как числитель, так и знамена­тель. Таким образом, в этом случае газ парамагнитен с не завися­щей от температуры восприимчивостью % = В₀ (J. Н. Van Vleck, 1928)²).

¹) Формула (52,8) может быть применена не только к газу, но и к кон- денсированным телам, в которых магнитные моменты атомов по тем или иным причинам можно считать «свободными». Это относится, например, к магнетизму редкоземельных элементов в твердых солях и растворах. Парамагнетизм этих ионов связан с незаполненной 4/-оболочкой. Эти сравнительно глубоко распо- ложенные электроны экранированы от влияния соседних атомов более внешними электронами, в результате чего ионы могут вести себя в магнитном отношении подобно атомам разреженного газа. ²) Такой случай осуществляется для ионов Еи+ + + в солях европия (ср. предыдущее примечание).

Аналогичным образом вычисляется магнитная восприимчивость молекулярных газов. При обычных температурах вращение моле­кул классично. Поэтому вычисление матричных элементов магнит­ного момента можно производить сначала при закрепленных ядрах, а усреднение по ориентациям молекулы производить затем так, как если бы она представляла собой жесткий классический маг­нитный диполь (см. задачи)¹).

Задачи

1. Определить магнитную восприимчивость одноатомного газа в случае,
когда интервалы тонкой структуры основного терма атома малы по сравне-
нию с Т.

Решение. В этом случае усреднение в (52,6) должно производиться по
всем компонентам основного мультиплета атома, причем больцмановские мно-
жители (ехр (— г⁽£)/Т)) для всех этих компонент можно считать одинаковыми.
Тогда _________________

A*=\<JMj\m₂\JMj>\\

где усреднение производится по всем значениям J и Mj (при заданных значе­ниях S и L). Результат такого усреднения не зависит, однако, от того, произ­водится ли оно после или до сложения моментов S и L в J; другими словами, можно вычислять его и как

X² = | <M_LM_SI щ_г I M_LM_S> p

с независимыми усреднениями по Mi и M_s. Заметив, что

MjM~L = M_s M_L = 0, Щ ₌-i.S(S+l), ~M[=jL(L + \),

получим

J² = P²[4S(S+1) + L(Z.+ 1)].

В выражении В (52,5) вторым членом можно пренебречь; первый же член (который мог бы быть большим ввиду малости его знаменателей—интервалов мультиплета) обращается в нуль при усреднении по компонентам мультиплета: в сумме

. \<JMj\m₂\J'Mj>\*

берущейся теперь по всем числам J, J', Mj, Mj, взаимно уничтожаются члены,

отличающиеся друг от друга перестановкой J и J'. Таким образом, восприим­чивость

X-§r[4S(S+l) + L(L + l)].

2. Определить магнитную восприимчивость двухатомного газа, когда интер-
валы тонкой структуры основного электронного терма молекулы велики по
сравнению с Т ²).

Решение. В этом случае достаточно рассматривать только основной уро­вень молекулы — нижнюю компоненту основного мультиплета. Среднее значе­ние магнитного момента молекулы в состоянии с проекциями Л и 2 орбиталь­ного момента и спина на ось молекулы:

^х) Магнитный момент, происходящий от движения ядер, очень мал по срав­нению с электронным, так что им всегда можно пренебречь. ²) При обычных температурах мультиплетные интервалы при этом заведомо велики по сравнению с интервалами вращательной структуры уровней, так что молекулярный терм относится к типу связи а (см. III, § 83).

<Л2 |т|Л2>=— рп(Л + 22),

где п—единичный вектор вдоль оси молекулы. При классическом вращении п²=1/3 и для магнитной восприимчивости находим

_X = -J^(A + 22)².

3. То же, если интервалы тонкой структуры малы по сравнению с Т (моле-
кулярный терм относится к типу Ь).

Решение. В этом случае должно быть произведено усреднение по всем компонентам мультиплета. Диагональные матричные элементы г-проекции маг­нитного момента при заданных Л и г-проекции спина M_s

<AM_S I m_z 1 AM_S> = - ft (л_гЛ+2M_S).

Усреднив его квадрат по значениям M_s и направлениям п, получим для вос­приимчивости

5C = ^r[AM-4S(5+l)].

4. Определить магнитную восприимчивость газа N0. Основной электронный
терм молекулы ²П (т. е. Л=1, 5=1/2), причем интервал Д между компонен-
тами дублета сравним с температурой Т ^х) (/. Н. Van Vleck, 1928).

Решение. Здесь при усреднении в (52,6) надо учитывать обе компоненты дублетного уровня с различными больцмановскими множителями. Диагональные матричные элементы магнитного момента для двух состояний | А2>

<1, — 1/2 | L + 2S| 1, — l/2>=ln-2-i- п = 0,

<1, 1/2| L + 2S| 1, 1/2>=2п.

Отсюда

— 4ft² e~^A/T

Л² = -

3 1 + <Г^д^'

Оператор L не имеет матричных элементов для переходов между этими же двумя состояниями (поскольку при переходе меняется 2 без изменения Л). Недиагональные же матричные элементы оператора 2S_Z

<1, 1/2|25_г|1, -1/2> = <1, -1/2|25_г|1, 1/2> = —1 -sin 9,

где 6 — угол между п и осью г²). Согласно (52,5) (где снова пренебрегаем вто­рым членом) имеем

^ 2|3² 2 1 — е~^{А/т _} Л 3 1 + й-^д/г

(множитель 2/3—от усреднения sin² 9). Полное выражение для восприимчивости приводится к виду

!) Он составляет Д = 180°. Нижней компоненте дублета отвечает проекция спина на ось 2 = — 1/2, а верхней 2=1/2. Терм относится к типу а.

вдоль

²) Оператор S = ¹/₂a, где а—матрицы Паули с направлением квантования
вдоль оси молекулы ^т. е. (J^____ j если —координатные оси с осью £

„).

(v~^ek \ Q = — Tj^\n\l + e~^T~J.

(53,4)

§ 54. Распределение Бозе

Перейдем теперь к изучению статистики, которой подчиняется идеальный газ, состоящий из частиц, описывающихся симметрич­ными волновыми функциями, так называемой статистики Бозе (или статистики Бозе—Эйнштейна)¹).

Числа заполнения квантовых состояний при симметричных волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произ­вольные значения. Вывод функции распределения может быть сделан так же, как в предыдущем параграфе; пишем:

G. = -74n 2 \е~

!) Она была введена для световых квантов Бозе (S. N. Bose, 1924), а затем обобщена Эйнштейном.

Стоящая здесь геометрическая прогрессия сходится, только если е^~^Ек^^т < 1. Так как это условие должно иметь место для всех г_к (в том числе и для е_й = 0), ясно, что во всяком случае должно быть

Р<0. (54,1)

Напомним в этой связи, что для больцмановского газа химиче­ский потенциал всегда имеет отрицательные (большие по абсо­лютной величине) значения, а для ферми-газа \i может быть как отрицательным, так и положительным.

Суммируя геометрическую прогрессию, получим

Q_k = Tln\l — e ⁷. Отсюда находим средние числа заполнения п_к = —^,

"*⁼^-^_!- ⁽⁵⁴'²⁾

Это и есть функция распределения идеального газа, подчиняю­щегося статистике Бозе (или, как говорят для краткости, бозе-газа). Она отличается от функции распределения Ферми знаком перед 1 в знаменателе. Как и последняя, при ехр [(и.—е_А)/Т]<<с;1 она переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Полное число частиц в газе выражается формулой

^N= Z Л*_к-»)/т, • (54,3)

к

а термодинамический потенциал Q газа в целом получается сум­мированием Q_ft по всем квантовым состояниям:

ц-е.

Q=r£iriVl — е ^т /. (54,4)

§ 55. Неравновесные ферми- и бозе-газы

Подобно тому, как это было сделано в § 40, можно вычислить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из ус­ловия максимальности энтропии снова получить функции рас­пределения Ферми и Бозе.

В случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа N_;- не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа G_y- (все обозначения—те же, что и в § 40).

Число возможных способов распределения N_y- одинаковых частиц по Gj состояниям (не более чем по одной в каждом) есть не что иное, как число способов, которыми можно выбрать N j из Gj состояний, т. е. число сочетаний из G_y- элементов по Nj. Таким образом, имеем

^1⁼ Л'у! (Gj — Nj)l' (⁵⁵'^!)

Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для лога­рифмов всех трех факториалов формулой (40,3), найдем

S = 2 {Gj In Gj—Nj In Nj-(Gj-Nj) In (G,-Nj)). (55,2)

Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний /г_;- = = Nj/Gj, получим окончательно следующее выражение для эн­тропии неравновесного ферми-газа:

S = — ^ Gj [7ij In Hj + (1 —nj) In (1 — n,)]. (55,3)

Из условия максимальности этого выражения по уравнениям (40,8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой

я,-

7 _в«_+рв/+1 •

т. е., как и следовало, совпадает с распределением Ферми.

Наконец, в случае статистики Бозе в каждом квантовом со­стоянии может находиться любое число частиц, так что стати­стический вес АГу есть число всех способов, которыми можно распределить Nj частиц по G_y- состояниям. Это число равно¹)

_{Gj + Nj-l)\
^ДГ;= _{Gj-l)\Nj\ • (⁵-⁵>⁴>

Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами Gj-\-Nj и Gj, получим

i) Речь идет о числе способов размещения, скажем, Nj одинаковых шаров по Gj ящикам. Изобразим шары в виде ряда последовательно расположенных N j точек; ящики перенумеруем и изобразим условно границы между ними Gj—l вертикальными черточками, расположенными в ряду точек. Так, рисунок

изображает 10 шаров, размещенных в пяти ящиках: 1 шар в первом ящике, 3—во втором, 0 — в третьем, 4—в четвертом и 2 —в пятом. Всего число мест (на которых находятся точки или черточки) в этом ряду есть Gj-j-Nj—1. Ис­комое число размещений шаров по ящикам есть число способов, которыми можно выбрать Gj—1 мест для черточек, т. е. число сочетаний из Nj-j-Gj—1 элемен­тов по Gj—1, откуда и получается приведенная в тексте величина.

5 = 2 Щ + Nj) In (Gj + N_f)-Nj In N,-Gj In G,j. (55,5)

Вводя числа п_}, напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде
S = £ Gj[(l + h~;) In (1 + n,) — n_y In nj[. (55,6)

Легко убедиться в том, что условие максимальности этого выражения действительно приводит к распределению Бозе.

Обе формулы (55,2) и (55,5) для энтропии в предельном слу­чае N_f<^.Gf переходят, естественно, в больцмановскую формулу (40,4). В больцмановское выражение (40,2) переходят также и статистические веса (55,1) и (55,4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить

Gj\»(G_f—Nj)\ G?', (Gj + N_f-1)!» (Gj-1)! Gp.

Необходимо, однако, иметь в виду, что такой переход в стати­стических весах означает пренебрежение в них членами порядка N)IG,; которые сами по себе, вообще говоря, не малы; но при логарифмировании эти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка Nj/Gf.

Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важном предельном случае, когда число частиц в каждом квантовом со­стоянии велико (так что A/_;Sg>G,-, «_у-^> 1). Как известно из кван­товой механики, этот случай соответствует классической волно­вой картине поля. Статистический вес (55,4) приобретает вид

</-

^АГ/ = <5рТД. (55,7)

а энтропия

S = £G_y ln-^A (55,8)
Мы используем эту формулу в дальнейшем, в § 71.

§ 56. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц

Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, или ча­стиц, которые в данных условиях могут рассматриваться как элементарные. Как уже было в свое время указано, к обычным атомным или молекулярным газам распределения Ферми или Бозе вообще не приходится применять, так как эти газы фактически всегда с достаточной точностью описываются распределением Больцмана.

Все выводимые в этом параграфе формулы имеют совершенно аналогичный вид для обеих статистик Ферми и Бозе, отличаясь лишь одним знаком. Ниже везде верхний знак соответствует ста­тистике Ферми, а нижний—статистике Бозе.

Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энер­гии ее поступательного движения, которое всегда квазиклассично. Поэтому имеем

е = ^ (pl+Pl + Pl), (56,1)

а в функции распределения переходим обычным образом к рас­пределению по фазовому пространству частицы. При этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состояние ча­стицы определяется также направлением ее спина. Поэтому число частиц в элементе фазового пространства dp_xdp_ydp_zdV получится умножением распределения (53,2) или (54,2) на

Дата добавления: 2014-11-07