Ol — V2X 11 страница

Пусть N—число элементарных ячеек в кристаллической решетке, v—число атомов в одной ячейке. Тогда полное число атомов есть Nv. Из общего числа 3Nv степеней свободы три соответствуют поступательному и три вращательному движению тела как целого. Поэтому число колебательных степеней свободы есть 3Nv— 6; однако в силу того, что величина 3Nv огромна, можно, конечно, пренебречь числом 6 и считать число колеба­тельных степеней свободы равным просто 3Nv.

Подчеркнем, что при рассмотрении твердых тел мы не будем здесь вовсе учитывать «внутренние» (электронные) степени свободы атомов. Поэтому, если эти степени свободы существенны (как это может иметь место, например, у металлов), то все нижеследующие формулы будут относиться лишь к той (как говорят, решеточной) части термодинамических величин твердого тела, которая связана с колебаниями атомов. Для получения полных значений этих величин к решеточной части должна была бы быть прибавлена электронная часть.

С механической точки зрения систему с 3Nv колебательными степенями свободы можно рассматривать как совокупность 3Nv независимых осцилляторов, каждый из которых соответствует отдельному нормальному колебанию. Термодинамические вели­чины, связанные с одной колебательной степенью свободы, были уже вычислены в § 49. На основании этих формул мы можем непосредственно написать свободную энергию твердого тела в виде¹)

а

(64,1)

^а) Квантование колебаний впервые было привлечено для вычисления тер­модинамических величин твердого тела Эйнштейном (1907). ²) Интегральное представление этой формулы—см. (71,7).

Суммирование производится по всем 3Nv нормальным колеба­ниям, которые нумеруются индексом а²). К сумме по колебаниям добавлен член Ne₀, представляющий собой энергию всех атомов тела в положениях равновесия (точнее — в состоянии нулевых колебаний); этот член зависит от плотности, но не от температуры тела: e₀ = e₀(N/V).

Рассмотрим предельный случай низких температур. При ма­лых Т в сумме по а играют роль лишь члены с малыми часто­тами: 1ш_а ~ Т. Но колебания малых частот представляют собой не что иное, как обычные звуковые волны. Длина звуковой волны связана с частотой посредством Я ~ и/со, где и — скорость звука. В звуковых волнах длина волны велика по сравнению с посто­янной решетки а(Х^>а); это значит, что со<с;и/а. Другими сло­вами, колебания можно рассматривать как звуковые волны при температурах

Т<^-. (64,2)

Предположим, что тело изотропно (аморфное твердое тело). Как известно (см. VII, § 22), в изотропном твердом теле воз­можно распространение продольных звуковых волн (скорость которых обозначим посредством u_t) и поперечных волн с двумя независимыми направлениями поляризации (и одинаковой ско­ростью распространения u_t). Частота этих волн связана с абсо­лютной величиной волнового вектора к линейным соотношением

(H = U_lk или (u = U_tk.

Число собственных колебаний в спектре звуковых волн с абсо­лютной величиной волнового вектора в интервале dk и с данной поляризацией есть

,,ink²dk (2я)³ '

где V — объем тела. Полагая для одной из трех независимых поляризаций k = (o/u_l и для двух других k = <o/u_t, найдем, что всего в интервале dw имеется следующее число колебаний:

"^(з+з)- ⁽⁶⁴'³>

Введем некоторую среднюю скорость звука и согласно опре­делению

JL — JL4.-L

и³ и\ и\

Тогда выражение (64,3) напишется в виде

(64,4)

В таком виде оно применимо не только к изотропным телам, но и к кристаллам, причем под u = u(V/N) надо понимать опреде­ленным образом усредненную скорость распространения звука в кристалле. Определение закона усреднения требует решения

задачи теории упругости о распространении звука в кристалле данной симметрии¹).

С помощью выражения (64,4) совершаем в (64,1) переход от суммирования к интегрированию и получаем

со

F = Ne₀ + T-^=t- Г In (1 — e-fo'^aHUo (64,5)

2л²и³ J О

(вследствие быстрой сходимости интеграла при малых Т интег­рирование можно производить в пределах от 0 до оо). Это выра­жение (отвлекаясь от члена А/е₀) отличается от формулы (63,10) для свободной энергии черного излучения лишь заменой скорости света с на скорость звука и и лишним множителем 3/2. Такая аналогия здесь вполне естественна. Действительно, частота зву­ковых колебаний связана с их волновым вектором таким же ли­нейным соотношением, какое справедливо для фотонов. Целые же числа v_a в уровнях энергии ^vjma системы звуковых осцил­ляторов можно рассматривать как числа заполнения различных квантовых состояний с энергиями е_а = Део_а, причем значения этих чисел произвольны (как в статистике Бозе). Появление лишнего множителя 3/2 в (64,5) связано с тем, что звуковые колебания обладают тремя возможными направлениями поляризации вместо двух у фотонов.

Таким образом, мы можем, не производя заново вычислений, воспользоваться выражением (63,11), полученным в § 63 для свободной энергии черного излучения, заменив в нем с на и и умножив его на 3/2. Свободная энергия твердого тела равна, следовательно,

30 (kuf 15 (Щз я²' _ 10 фйу 5 фй)³

F = ^N^-V^r-. (64,6)

Энтропия тела

S-V-^tRt, (64,7)

E = ^N^ + V-^-, (64,8)

его энергия

C = -^U7-⁸V. (64,9)

^х) Напомним, что в анизотропной среде существует, вообще говоря, три различные ветви спектра звуковых волн, в каждой из которых скорость рас­пространения является функцией направления (ем. VII, § 22).

а теплоемкость

Таким образом, теплоемкость твердого тела при низких темпера­турах пропорциональна кубу температуры (P. Debye, 1912) *). Мы пишем теплоемкость просто как С (не различая C_v и С_р), поскольку при низких температурах разность С_р—C_v есть вели­чина более высокого порядка малости, чем сама теплоемкость (см. § 23; в данном случае Scr>T³, и потому С_р—C_vcr>T⁷).

Для твердых тел с простой кристаллической решеткой (эле­менты и простые соединения) закон Т³ для теплоемкости факти­чески начинает выполняться при температурах порядка десятков градусов. Для тел же со сложной решеткой можно ожидать удовлетворительного соблюдения этого закона лишь при значи­тельно более низких температурах.

§ 65. Твердые тела при высоких температурах

Обратимся теперь к обратному предельному случаю высоких температур (по порядку величины T^>kuja, а—постоянная ре­шетки). В этом случае можно положить

и формула (64,1) приобретает вид

F = Ne₀ + T £ln^-. (65,1)

а

В сумме по а всего 3Nv слагаемых; вводим «среднюю геометри­ческую» частоту со согласно определению

1пй= з^^1псо_а. (65,2)

а

Тогда для свободной энергии твердого тела получим формулу

F = Ne₀—3NvTlnT + 3NvTlnnb. (65,3)

Средняя частота со, как и и, есть некоторая функция от плотно­сти: co = co(V/JV).

dFi

Из (65,3) находим энергию тела E = F—Т-^:

E = Ne₀ + 3NvT. (65,4)

^х) Напомним, что при наличии «электронных степеней свободы» эти фор­мулы определяют лишь решеточную часть термодинамических величин. Впрочем, даже при наличии электронной части (у металлов) последняя начинает сказы­ваться, например, в теплоемкости лишь при температурах в несколько градусов.

Случай высоких температур соответствует классическому рассмот­рению колебаний атомов; естественно поэтому, что формула (65,4) полностью согласуется с законом равнораспределения (§ 44): на каждую из 3Nv колебательных степеней свободы приходится в энергии по доле Т (отвлекаясь от постоянной Ne₀). Для теплоемкости имеем

C = Nc = 3Nv, (65,5)

где c = 3v — теплоемкость на одну ячейку. Мы снова пишем теп­лоемкость просто как С, имея в виду, что у твердых тел разница между С_р и C_v вообще незначительна (см. конец § 67).

Таким образом, при достаточно высоких температурах тепло­емкость твердого тела постоянна, причем зависит только от числа атомов в теле. В частности, должна быть одинакова и равна 3 атомная теплоемкость различных элементов с простой кристал­лической решеткой (v=l)—так называемый закон Дюлонга и Пши. При обычных температурах этот закон удовлетворительно соблюдается для многих элементов. Формула (65,5) выполняется при высоких температурах и для ряда простых соединений; для сложных же соединений это предельное значение теплоемкости, вообще говоря, фактически не достигается (плавление вещества или его разложение наступают раньше).

Подставляя (65,5) в (65,3) и (65,4), напишем свободную энер­гию и энергию твердого тела в виде

F = Ne₀—NcTlnT + NcTlnka, (65,6)

E = Ne₀ + NcT. (65,7)

Энтропия S=—dF/dT равна

S = NclnT — Nc\n^~-. (65,8)

Формулу (65,1) можно, конечно, вывести и непосредственно из классической статистики, исходя из общей формулы (31,5):

F=— Г1п$'е-^£с. ")/Tdr. (65,9)

^х) Как это надо было делать в случае газа, где интегрирование по коорди­натам каждой частицы производилось по всему объему (ср. конец § 31).

В случае твердого тела интегрирование по координатам в этом интеграле производится следующим образом: каждый атом рас­сматривается как находящийся вблизи определенного узла решетки, и интегрирование по его координатам производится лишь по небольшой области вокруг этого узла; ясно, что все точки опре­деленной таким образом области интегрирования соответствуют физически различным микросостояниям, и никакого дополнитель­ного множителя е интеграл вводить не надо¹).

Подставляем в (65,9) энергию, выраженную через координаты и импульсы нормальных колебаний:

а

a dT пишем в виде

Тогда интеграл разбивается на произведение 3Nv одинаковых интегралов вида

— со

в результате чего получается формула (65,1) (ввиду быстрой схо­димости интеграла интегрирование по dq_a можно распространить от —оо до +°°)-

При достаточно высоких температурах (если только твердое тело при этих температурах еще не плавится или не разлагается) могут стать заметными эффекты ангармоничности колебаний атомов. Характер влияния этих эффектов на термодинамические величины тела можно выяснить следующим образом (ср. аналогичные вы­числения для газов в §49). При учете следующих (после квадра­тичных) членов разложения потенциальной энергии колебаний по степеням q_a будем иметь

Е(р, q) = f, (Р,Ч) + Ш + Ш+---,

где /₂ (р, q) обозначает гармоническое выражение (65,10) (квадра­тичная форма q_a и р_а), a f_s(q), /₄(<7),.-. — однородные формы всех координат q_a соответственно третьей, четвертой и т. д. сте­пеней. Делая в статистическом интеграле в (65,9) подстановку

qa = q'aVT, pa = PaVT, получим Z= $V^£<". ")/Tdr =

= T»»* ехр {-f_t (p', q')-VTf, (q')-Th {q')~ • • ■ } <*Г.

Мы видим, что при разложении подынтегрального выражения по степеням температуры все нечетные степени У~Т войдут умно­женными на нечетные функции координат, обращающиеся в нуль при интегрировании по координатам. Поэтому Z представится в виде ряда Z = Z₀^JrTZ₁-\-T²Z₂^J_r..., содержащего лишь целые степени температуры. При подстановке в (65,9) первый поправоч­ный член к свободной энергии будет, следовательно, иметь вид

F_aHr = AT*, (65,11)

т. е. пропорционален квадрату температуры. В теплоемкости он приводит к поправке, пропорциональной первой степени темпе­ратуры¹). Подчеркнем, что разложение, о котором здесь идет речь, есть по существу разложение по степеням всегда малого отношения 77е₀, а, конечно, не по степеням отношения Г/Йсо, которое в данном случае велико.

Задачи

1. Определить максимальную работу, которую можно получить от двух
одинаковых твердых тел (с температурами Т₁ и Т₂) при выравнивании их темпе-
ратур.

Решение аналогично решению задачи 12 § 43. Находим

\RU™=Nc{YT₁-VT_i)\

2. Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью
твердого тела при охлаждении его от температуры Т до температуры среды Т₀
(при неизменном объеме).

Решение. По формуле (20,3) найдем

I R Imax = Nc {Т-Т₀) + NcT_u In у⁰.

§ 66. Интерполяционная формула Дебая

Таким образом, в обоих предельных случаях — низких и вы­соких температур—оказывается возможным произвести достаточно полное вычисление термодинамических величин твердого тела. В промежуточной же области температур такое вычисление в общем виде невозможно, так как сумма по частотам в (64,1) существенно зависит от конкретного распределения частот по всему спектру колебаний данного тела.

Вследствие этого представляет интерес построение единой ин­терполяционной формулы, которая давала бы правильные зна­чения термодинамических величин в обоих предельных случаях. Решение задачи об отыскании такой формулы, разумеется, неодно­значно. Однако следует ожидать, что разумным образом построен­ная интерполяционная формула будет, по крайней мере качественно, правильно описывать поведение тела и во всей промежуточной области.

¹) Эта поправка обычно отрицательна, чему соответствует А > 0 в (65,11).

Вид термодинамических величин твердого тела при низких температурах определяется распределением (64,4) частот в спектре колебаний. При высоких же температурах существенно, что воз­буждены все З/Vv колебаний. Поэтому для построения искомой интерполяционной формулы естественно исходить из модели, в ко­торой на всем протяжении спектра колебаний частоты распреде­лены по закону (64,4) (который в действительности справедлив лишь для малых частот), причем спектр, начинаясь от со = 0, обрывается при некоторой конечной частоте со = со_т; последняя определяется условием равенства полного числа колебаний пра­вильному значению 3Nv:

JLr., v<£

2пЧ о

²"^s j 2л²и³

откуда

®m = U[——) • (66,1)

Таким образом, распределение частот в рассматриваемой модели

дается формулой

9Nv^p (со<(о_и) (66,2)

(О/га

для числа колебаний с частотами в интервале dco (мы выразили и через а_т).

Переходя в (64,1) от суммы к интегралу, получим теперь F = Ne₀ + T~ Г ffl²ln(l-e-^fe»/^r)dco.

®т j о

Введем так называемую дебаевскую или характеристическую тем­пературу тела в, определив ее как

@ = %ы_т (66,3)

(0 есть, разумеется, функция плотности тела). Тогда

в/т

F=Ne₀+9NvT J г²1п(1— е~^г)йг. (66,4)

о

Интегрируя по частям и вводя функцию Дебая

х о

можно переписать эту формулу в виде

(66,6)

F = Ne₀+NvT [З1п(1— e~^e'^T)-D 3F

Для энергии E = F—Т^р получим отсюда

E = Ne₉ + 3NvTD(^ (66,7)

и для теплоемкости

Н"(Я>(?)1'

(66,8)

На рис. 8 дан график зависимости C/3Nv от Т/в.

0,3

0,6

0,4

0,2

Формулы (66, 6—8) и представляют собой искомые интерпо­ляционные формулы для термодинамических величин твердого тела (P. Debye, 1912).

О 3Nv
						в

1,0 7,2 7,4

О 0,2 0,4- 0,6 0,8 Рис. 8.

Легко видеть, что в обоих предельных случаях эти формулы действительно дают правильные результаты. При Г<^в (низкие температуры) аргумент функции Дебая в/Г велик. В первом приближении можно заменить л: на оо в верхнем пределе интеграла в определении (66,5) функции D(x); получающийся определенный интеграл равен я⁴/15, так что¹)

(66,9)

С =

Подставляя это в (66,8), получим

*) Заменив интеграл ^ на ^ — ^, разлагая (e^z—I)-¹ в подынтегральном о о * выражении второго интеграла по степеням е~^г и интегрируя почленно, найдем, что при х> 1 ₄, / \ \\ Приведенное в тексте значение справедливо, следовательно, с точностью до экспоненциально малых членов.

12,vvji* / Г_\³ в

что совпадает с (64,9). При высоких же температурах аргумент функции Дебая мал; при 1 в первом приближении D(x)& I¹), и из (66,8) имеем: C = 3Nv, снова в полном согласии с ранее полученным результатом (65.5)²).

Полезно указать, что фактический ход функции D (х) приводит к тому, что критерием применимости предельных законов для теплоемкости является относительная величина Т и 6/4: тепло­емкость можно считать постоянной при Т^>0/4 и пропорциональ­ной Т⁸ при Г<в/4³).

Согласно формуле Дебая теплоемкость есть некоторая универ­сальная функция отношения в/Г. Другими словами, согласно этой формуле должны быть одинаковыми теплоемкости различных тел, находящихся, как говорят, в соответственных состояниях, т. е. обладающих одинаковыми в/Г.

Формула Дебая хорошо (в той степени, в которой этого вообще -можно требовать от интерполяционной формулы) передает ход теплоемкости с температурой лишь у ряда тел с простыми кри­сталлическими решетками—у большинства элементов и у ряда простых соединений (например, галоидных солей). К телам с более сложной структурой она фактически неприменима; это вполне естественно, поскольку у таких тел спектр колебаний чрезвы­чайно сложен.

§ 67. Тепловое расширение твердых тел

Член, пропорциональный Т^л, в свободной энергии (64.6) при низких температурах можно рассматривать как малую добавку к F₀ = Ne₀ (V/N). С другой стороны, малая поправка к свободной энергии (при заданных V и Т) равна малой поправке (при задан­ных Р и Т) к термодинамическому потенциалу Ф (см. (15,12)). Поэтому можно сразу написать:

ф=Ф₀(Р)-^п*^Т*^У°^(Р). (67,1)

зо (huf ⁴ '

¹)При х <^ 1 прямое разложение подынтегрального выражения по степе-
ням х и почленное интегрирование дают

²) С точностью до следующего члена разложения теплоемкость при высо-
ких температурах дается формулой

<-Н'-А($)"}-

³) Укажем для примера значения в для ряда веществ, полученные из данных об их теплоемкости: Pb:90^g, Ag^lO⁹, А1:400^в, КВг: 180^е, NaCl:280°; в особен­ности велико в у алмаза: —2000°.

Здесь Ф₀ (Р) есть не зависящая от температуры часть термодина­мического потенциала, V₀ (Р) —объем, выраженный как функция от давления с помощью Р = — dF₀/dV = — N ds₀/dV, а и = й(Р) — средняя скорость звука, выраженная через давление с помощью того же соотношения. Зависимость объема тела от температуры определяется посредством У = дФ/дР:

Коэффициент теплового расширения

1 fdV\ 2я²Г

dV\ _ 2я*Гз d (V₀ \

Мы видим, что при низких температурах он пропорционален кубу температуры. Это обстоятельство, впрочем, заранее очевидно из теоремы Нернста (§ 23) и закона Т³ для теплоемкости.

Аналогично при высоких температурах рассматриваем второй
и третий члены в (65,6) как малую добавку к первому (для того
чтобы тело было твердым, во всяком случае должно быть Г<^е₀)
и получаем _

ф = ф₀ (/>) — NcT In Т + NcT In Дсо (Р). (67,4)

Отсюда

V = V_Q(P)+?f§. (67,5)

Коэффициент теплового расширения есть

i\c aw _1С,- ~_ч

Nc dw V₀w

Он оказывается не зависящим от температуры.

При увеличении давления атомы в твердом теле сближаются, амплитуда их колебаний (при том же значении энергии) умень­шается; другими словами, увеличивается частота. Поэтому da/dP > 0, так что и а > 0, т. е. твердые тела с увеличением температуры расширяются. Аналогичные рассуждения показы­вают, что коэффициент а из формулы (67,3) также положителен.

Наконец, воспользуемся указанным в конце предыдущего па­раграфа законом соответственных состояний. Утверждение, что теплоемкость есть функция только от отношения T/Q, эквива­лентно утверждению, что, например, термодинамический потенциал есть функция вида

Ф = Ф,(Р-)+е/(£). (67J)

При этом объем

v=v₀(P)+§(f-^r),

а коэффициент теплового расширения

a = —

Т de

V₀S² dP

Аналогичным образом находим тепловую функцию W = = Ф—ТдФ/дТ и теплоемкость C = dW/dT:

с—У-

Сравнивая оба выражения (для С и для а), получим следующее соотношение:

Таким образом, в пределах применимости закона соответственных состояний отношение коэффициента теплового расширения к тепло­емкости твердого тела не зависит от температуры (закон Грюней-зена).

Мы уже упоминали выше, что в твердых телах разница между теплоемкостями С_р и C_v весьма незначительна. В области низких температур это есть общее следствие теоремы Нернста, относя­щееся ко всем вообще телам. В области высоких температур, находим, воспользовавшись термодинамическим соотношением

(16,9),

где а = а(Р) — коэффициент теплового расширения (67,6). Мы ви­дим, что разность С_р—C_v пропорциональна Т; это по существу означает, что ее разложение по степеням Т/е₀ начинается с члена первого порядка, между тем как разложение самой теплоемкости начинается с нулевого (постоянного) члена. Отсюда следует, что и при высоких температурах у твердых тел С_р—C_V<^.C.

§ 68. Сильно анизотропные кристаллы

В конце § 66 было отмечено, что формула Дебая фактически неприменима к кристаллам сложной структуры. Сюда относятся, в частности, сильно анизотропные кристаллические структуры «слоистого» и «цепочечного» типов. Первые можно описать как состоящие из параллельных слоев атомов, причем энергия взаи­модействия атомов внутри каждого слоя велика по сравнению с энергией связи соседних слоев. Аналогичным образом цепочечные структуры построены из сравнительно слабо связанных друг с другом параллельных цепочек атомов. Спектр звуковых коле­баний таких кристаллов будет характеризоваться не одной, а несколькими дебаевскими температурами, различными по порядку величины. Закон Т³ для теплоемкости будет иметь при этом место лишь при температурах, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских температур; в промежуточных же областях возникают новые предельные законы (И. М. Лифшиц, 1952).

Начнем со случая слоистых структур. Наибольшей жесткостью такая решетка обладает по отношению к колебаниям атомов в плос­кости слоев (которую выберем в качестве плоскости ху); жесткости же решетки по отношению к колебаниям слоев как целых друг относительно друга сравнительно очень малы. Эти свойства при­водят к характеру зависимости частоты от волнового вектора (закону дисперсии) в трех ветвях спектра звуковых волн, выра­жающемуся следующими формулами, которые мы выпишем здесь в предположении гексагональной симметрии кристалла:

©² = £/²х² + _М²А>², со² = «1х² + «²^

(И²= k_X-j~ky),

(68,1)

причем U_х, (7₂^>«з, «₄. Здесь скорости распространения U_lt U₂ относятся к колебаниям атомов в плоскости слоев, и₃ (в ветвях ©_х и о)₂)—к колебаниям сдвига слоев относительно друг друга,— и₄— к колебаниям относительного расстояния между слоями¹).

^г) Предположение о гексагональной симметрии кристалла не имеет принци­пиального значения и сделано лишь с целью придать формулам (68,1) большую определенность. Скорости U_t............ u₄ выражаются через модули упругости Я,^_т такого кристалла так: где p —плотность (эти формулы можно получить из выражений, найденных в задаче к VII, § 23, путем разложения их по степеням модулей X_xzxz, X_2ZZZ, которые для слоистого кристалла малы по сравнению с модулями к_хххх, Х_хуХ2). Указанный в тексте характер колебаний ясен из смысла отдельных компонент тензора А_Шя1. ²) Уравнение, определяющее закон дисперсии волн, представляет собой алгебраическое уравнение относительно <а² (см. следующий параграф). Поэтому регулярно разлагается по степеням k_x, к_у, k_z именно функция w²(k). Ввиду четности этой функции (см. § 69) разложение содержит лишь члены четных степеней.

Выражения (68,1), однако, еще недостаточны для исследования тепловых свойств кристалла. Эти выражения представляют собой в действительности лишь первые члены разложения функций со² (к) по степеням волнового вектора. Но ввиду «аномальной» малости некоторых коэффициентов в квадратичных членах этих разложений начинают играть существенную роль также и члены следующего, четвертого порядка²). Для выяснения их вида замечаем, что при полном пренебрежении связью между слоями законы дисперсии волн имели бы вид

a>l=Ubi\ a>l=Ulx\ <ol = y*x*. (68,2)

Частоты со_х и со_а отвечают продольным колебаниям в плоскости слоев, а частота ю₃ — поперечным колебаниям, представляющим собой в этом случае волны изгиба слоев, рассматриваемых как свободные упругие тонкие пластинки (ср. VII, § 25). Поэтому, пренебрегая в членах четвертого порядка малыми слагаемыми, зависящими от связи между слоями, напишем окончательно закон дисперсии волн в виде

<г = и12** + ФЪ <oJ = uJJt«+ uJAJ + T^,'<⁴- (68,3)

Будем считать, что 11\~ U\, и_я~ ы₄ и введем обозначение для малого отношения т) ~ u/U, характеризующего относительную величину энергии связи между слоями по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое. Введем также дебаевскую температуру (точнее — наибольшую из дебаевских температур) как в = Ао_и, где <u_m~U/a — предельная частота «жестких» ко­лебаний (а — постоянная решетки); предельная же частота «мягких» колебаний мала по сравнению с ы_т в отношении т). Наконец, естественно считать, что предельная частота волн изгиба—того же порядка или меньше чем ©_т; пусть она ~co_m¹). В этих условиях выясним характер температурной зависимости теплоемкости кри­сталла при Г<^0²).

Дата добавления: 2014-11-07