Ol — V2X 12 страница

С учетом вклада от звуковых колебаний, свободная энергия тела определяется формулой

F^N_{4 +} T±W(l-e-^n^V-^^,. (68,4)

где суммирование ведется по трем ветвям спектра, а интегриро­вание— по всей области изменения волнового вектора³).

¹) Другими словами, полагаем, что у ~ <o_wa^s ~ Ua. Подчеркнем, что коэф- фициент у, связанный с «поперечной жесткостью» слоев, не выражается через одни только упругие модули \ы_т. ²) Высокие же температуры, Т ^> 9, составляют классическую область, в которой теплоемкость С = const. ³)То есть по одной ячейке обратной решетки—см. ниже формулу (71,7).

Если Г^>г|6, то можно пренебречь связью между слоями и соответственно воспользоваться спектром (68,2). Основной вклад в свободную энергию возникает от «изгибной» ветви (о₃. Ввиду быстрой сходимости при Т<^@ интегрирование по dk_xdk_y можно распространить от —оо до оо. Заменив его интегрированием по 2яха!х, путем очевидной подстановки найдем

со со

(In (1 —e-ftvH'/г) 2ях dx = ~ С In (1 —е-*) dx.

о ^%у i

Интегрирование по dk₂ (по области | k_z | ^ k_{z max} ~ 1 /а) дает не зависящий от температуры множитель ~1/а. В результате найдем, что температурная часть свободной энергии пропорциональна Т² и соответственно для теплоемкости

СсеТ при г|в<Г<в. (68,5)

При Г<^г|в в интегралах (68,4) надо писать для со<х(к) их полные выражения (68,4), а интегрирование по всем компонентам к можно распространить от —оо до оо. Получающаяся таким обра­зом температурная зависимость свободной энергии довольно сложна, но в ней можно выделить еще два предельных случая. Если Т^>у\Щ, то основной вклад снова возникает от ветви со₃, причем в ней можно опустить член с х², т. е. писать

основнуь /х²~7, а Теперь находим

Действительно, основную роль в интеграле по xdx играют при этом значения ftyx² ~ Т, а тогда Аих~Аи (Tjfry)V*~ Т(у\²в/Т)^1/2<^1.

со «

j jln[l-exp (-А/иМ+Т^

-се О

7"2

2ях dx d£, = const -—,

и в результате для теплоемкости

С<ч>Г^а при т|^гв<Г<Г|в. (68,6)

Наконец, при T<^.rf® тем же способом убеждаемся, что в (68,3) можно опустить член с х\ после чего мы возвращаемся к зву­ковому спектру (68,1) с линейной зависимостью со от величины k, и для теплоемкости получается закон Дебая

Сех>7³ при Г<г|²в. (68,7)

Аналогичным путем можно рассмотреть кристаллы цепочечной структуры (направление цепей выбираем в качестве оси г). В этом случае законы дисперсии в трех ветвях спектра звуковых волн имеют вид

ю?,. = + «#5 + 7**5» ю| = и|х«+ ВД, (68,8)

причем теперь и_г, «₂, a₃<^t7₄¹). В пренебрежении взаимодей­ствием между цепями законы (68,8) сводятся к

ветвь (о₃ отвечает продольным колебаниям атомов в цепях, а ветви и со₂—волнам изгиба цепей, рассматриваемых как упру­гие нити. Полагая и_х ~ «₂ ~ и₃ и снова вводя малый параметр v\~u/U и дебаевскую температуру G~^t7/а, можно получить следующие предельные законы температурной зависимости тепло­емкости:

СслГ¹'² при -пв^Г^в,

СспТЫ* при г)²8<^Т<г)в, (68,9)

Сел Г³ при Г<^т)²в.

§ 69. Колебания кристаллической решетки

В предыдущих параграфах мы рассматривали тепловое дви­жение атомов твердого тела как совокупность нормальных малых колебаний кристаллической решетки. Изучим теперь более по­дробно механические свойства этих колебаний.

В каждой элементарной ячейке кристалла находится, вообще говоря, по нескольку атомов. Поэтому каждый атом надо опре­делять заданием элементарной ячейки, в которой он находится, и номером атома в ячейке. Положение элементарной ячейки можно задать радиусом-вектором г_п какой-либо определенной ее вершины; этот радиус-вектор пробегает значения

г_п =и₁а₁ + л₂а_а+п₃а₃, (69,1)

где п₁, п₂, п₃—целые числа, а а,, а₂, а₃ — основные периоды решетки (длины ребер элементарной ячейки).

Обозначим смещения атомов при колебаниях посредством u_s, где индекс s указывает номер атома в ячейке (s = l,2,..., v; v—число атомов в ячейке). Функция Лагранжа кристалличес­кой решетки, как механической системы частиц, совершающих малые колебания вокруг своих положений равновесия (узлов ре­шетки), имеет вид

¹⁼тЦ ^т*"*^(п)~ у Е ^Л^^(п~^п'^{} (n)} "^s'*^(n,)> <⁶⁹'²⁾

ns ^,ш'

SS

^х) Здесь снова предположена, для определенности, гексагональная сим­метрия—на этот раз вокруг направления цепей. Скорости a_lf..., U_t выража­ются через модули упругости теми же формулами, которые были приведены в примечании на стр. 227, но теперь модули %_хххх, ^_Хуху> ^xzxz малы по сравнению Я_гггг.

где «вектор» n = n₂, п₃); m_s—массы атомов, a i, k — вектор­ные индексы, пробегающие значения х, у, z (причем по дважды повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается сумми­рование). Коэффициенты Л зависят только от разностей п—п', поскольку силы взаимодействия атомов могут зависеть лишь от относительного положения ячеек решетки, но не от их абсолют­ного положения в пространстве. Эти коэффициенты обладают свойством симметрии

ЛЙ» = ЛЙ'(-п), (69,3)

очевидным из вида функции (69,2).

Из функции Лагранжа (69,2) следуют уравнения движения

тЯ/= -2Ag'(n-n')«.'*(n'). (69,4)

n's'

Отметим, что коэффициенты Л связаны друг с другом определен­ными соотношениями, выражающими тот факт, что при парал­лельном смещении или при повороте решетки как целого не возникает никаких действующих на атомы сил. При параллель­ном смещении все и^(п) = const, и поэтому должно быть

2Л?Г(п) = 0. (69,5)

ns'

Связей, следующих из инвариантности относительно поворотов, не станем здесь выписывать.

Будем искать решения уравнений (69,4) в виде монохромати­ческой плоской волны

и,(п) = е_Л(к)ехр[1(кг„ —со*)]. (69,6)

Амплитуда (комплексная) е^ зависит только от индекса s, т. е. раз­лична лишь для разных атомов в одной и той же ячейке, но не для эквивалентных атомов в различных ячейках. Векторы е^ определяют как величину амплитуды колебаний, так и направ­ление их поляризации.

Подставив (69,6) в (69,4), получим

co²m^₍exp (ikr„) = 2Mk (n —n') e_s-_k ехр (ikr„<).

n's'

Разделив обе части равенства на ехр (ikr„) и заменив суммиро­вание по п' суммированием по п'—п, находим

2Ag'00e_S'*-«An,e,, = 0, (69,7)

s'

где введено обозначение

Л1Г (к) = 2 Л"*(п)ехр (-ikr„). (69,8)

Система (69,7) линейных однородных алгебраических уравнений для амплитуд имеет отличные от нуля решения при выполнении условия совместности

det | Aff (k)-co² т, 6_iA6_ss, | = 0. (69,9)

Поскольку индексы /, k пробегают по 3, а индексы s, s'—по v значений, то порядок определителя равен 3v, так что (69,9) есть алгебраическое уравнение степени 3v относительно со².

Каждое из 3v решений этого уравнения определяет частоту со как функцию волнового вектора к; об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее эту зависимость уравнение (69,9) называют дисперсионным уравнением. Таким образом, для каждого заданного значения волнового вектора час­тота может иметь в общем случае 3v различных значений. Можно сказать, что частота есть многозначная функция волнового век­тора, обладающая 3v ветвями: со = со_а(к), где индекс а нумерует ветви функции.

Из определения (69,8) и равенств (69,3) следует, что

Ag' (k) = М? (- к) = [А*? (к)]*. (69,10)

Другими словами, величины ЛЦ'(к) составляют эрмитову мат­рицу, а задача о решении уравнений (69,7) есть с математичес­кой точки зрения задача об определении собственных значений и соответствующих им собственных «векторов» такой матрицы. Согласно известным свойствам эрмитовых матриц собственные век­торы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Это значит в данном случае, что

V

2тХ^а)иГ'* = 0 при афа', (69,11)

S = l

где индекс (а) у вектора смещения указывает ветвь спектра коле­баний, к которой он относится¹). Равенства (69,11) выражают собой свойство ортогональности поляризаций в различных ветвях спектра.

*) Появление «весового» множителя m_s в соотношениях (69,11) связано с тем, что со^ являются собственными значениями не самой матрицы Л?|' (к), а матрицы Af| / У m_sm_S', причем соответствующими собственными «векторами» являются j/~m^Us^a).

В силу симметрии механических уравнений движения по от­ношению к изменению знака времени, если возможно распрост­ранение некоторой волны (69,6), то возможно распространение такой же волны и в противоположном направлении. Но такое

изменение направления эквивалентно изменению знака к. Следо­вательно, функция со (к) должна быть четной:

со(—к) = со(к). (69,12)

Волновой вектор колебаний решетки обладает следующим важным свойством. Вектор к входит в выражение (69,6) только через экспоненциальный множитель ехр (t'kr_n). Но этот множитель вообще не меняется при замене

k->k + b, b = p₁b₁ + p₂b₂ + p₃b₃, (69,13)

где b — любой вектор обратной решетки (b_x, b₂, Ь₃—ее основные периоды; р_х, р₂, р₃—целые числа)¹). Другими словами, волновой вектор колебаний решетки физически неоднозначен: значения к, отличающиеся на b физически эквивалентны. Функция со (к) периодична в обратной решетке:

co(k-fb) = co(k),

и поэтому в каждой ее ветви достаточно рассматривать значения вектора к, лежащие в некотором определенном конечном ин­тервале— в одной ячейке обратной решетки. Если выбрать оси координат (в общем случае косоугольные) по трем основным перио­дам обратной решетки, то можно, например ограничиться областью

-y>i<ki<y>i. (69,14)

Когда к пробегает значения в этом интервале, частота со (к) в каждой ветви спектра пробегает значения, заполняющие не­которую полосу (или, как говорят, зону) конечной ширины. Раз­личные зоны могут, конечно, частично перекрываться между собой.

В геометрическихтерминахфункциональная зависимость со=со(к) изображается четырехмерной гиперповерхностью, различные листы которой отвечают различным ветвям функции. Эти листы могут оказаться не полностью разделенными, т. е. могут пересекаться. Возможные типы таких пересечений существенно зависят от конк­ретной симметрии кристаллической решетки. Исследование этого вопроса требует применения методов теории групп, как это будет изложено ниже, в § 136.

^J) Здесь используются понятия, подробно рассматриваемые ниже, в § 133.

Среди 3v ветвей спектра колебаний должны быть такие, кото­рые при больших (по сравнению с постоянной решетки) длинах волн соответствуют обычным упругим (т. е. звуковым) волнам в кристалле. Как известно из теории упругости (см. VII, § 23), в кристалле, рассматриваемом как сплошная среда, могут рас­пространяться волны трех типов с различными законами диспер­сии, причем для всех трех типов со есть однородная функция первого порядка от компонент вектора к, обращающаяся в нуль при к = 0. Следовательно, среди 3v ветвей функции со (к) должны существовать три, в которых при малых к закон дисперсии имеет вид

Эти три типа волн называются акустическими; они характери­зуются тем, что (при малых к) решетка колеблется в целом как сплошная среда. В пределе к ->- 0 эти колебания переходят в про­стое параллельное смещение всей решетки.

В сложных решетках, содержащих более одного атома в ячейке, существует еще 3(v—1) типа волн. В этих ветвях спектра час­тота не обращается в нуль при к = 0, а стремится при к->-0 к постоянному пределу. Эти колебания решетки называют опти­ческими. В этом случае атомы в каждой элементарной ячейке движутся друг относительно друга, причем в.предельном случае к = 0 центр тяжести ячейки остается в покое¹).

Не все 3v предельные частоты оптических колебаний (частоты при к = 0) должны непременно быть различными. При определен­ных свойствах симметрии кристалла предельные частоты некото­рых из оптических ветвей спектра могут совпадать или, как говорят, быть вырожденными (см. об этом § 136).

Функция со (к) с невырожденной предельной частотой может быть разложена вблизи к = 0 в ряд по степеням компонент век­тора к. В силу четности функции со (к) такое разложение может содержать только четные степени k_h так что его первые члены имеют вид

ю = о>о+ у У/аМ*. (69,16)

где со,,—предельная частота, y_Ul—постоянные величины.

^J) Последнее обстоятельство формальным образом можно усмотреть непо­средственно из уравнений движения (69,7—8). При к = 0 они принимают вид 2 ЛдГ (п) <v& = m_s<x>*e_si. ns' Просуммировав обе стороны по s, в силу (69,5) получим слева нуль; поэтому для совместности уравнений при к = 0 должно быть и ^т^ = 0.

Если же предельные частоты нескольких ветвей совпадают, то функции со (к) в этих ветвях вообще не могут быть разложены по степеням к, поскольку точка к = 0 является для них особой (точкой ветвления). Можно лишь утверждать, что вблизи к = 0 разность со—со₀ будет (в зависимости от симметрии кристалла) однородной функцией компонент к либо первого, либо второго порядка.

По поводу всего изложенного напомним лишний раз, что речь идет о так называемом гармоническом приближении, в котором учитываются лишь квадратичные по смещениям атомов члены в потенциальной энергии. Только в этом приближении различ­ные монохроматические волны (69,6) не взаимодействуют друг с другом, а свободно распространяются по решетке. При учете же следующих, ангармонических членов появляются различного рода процессы распада и рассеяния этих волн друг на друге. Взаимодействие может приводить также и к образованию «свя­занных состояний» волн (фононов—см. ниже),—новых ветвей спектра, отсутствующих в гармоническом приближении.

Кроме того, предполагается, что решетка обладает идеальной периодичностью. Надо иметь в виду, что идеальная периодичность в некоторой степени нарушается (даже без учета возможных «при­месей» и других дефектов решетки), если в кристалле имеются атомы различных изотопов, распределенные беспорядочным об­разом. Это нарушение, однако, сравнительно невелико, если отно­сительная разность атомных весов изотопов мала или если одного изотопа имеется значительно больше остальных. В этих случаях изложенная картина в первом приближении остается в силе, а в следующих приближениях возникают различного рода про­цессы рассеяния волн на неоднородностях решетки *).

§ 70. Плотность числа колебаний

Число колебаний, приходящихся на интервал d^sk = dk_xdk_ydk_z значений компонент волнового вектора, будучи отнесено к еди­нице объема кристалла, равно d³k/(2n)³. Характеристикой спектра колебаний конкретной решетки является функция распределения колебаний почастотам^(со), определяющая числом (co)dco колебаний, частоты которых лежат в заданном интервале между со и со + dco. Это число, разумеется, различно для разных ветвей спектра, но для упрощения обозначений соответствующий индекс а у функ­ций со (к) и g(a>) в этом параграфе мы не будем выписывать.

*) Наличие дефектов решетки приводит также и к некоторым изменениям в спектре ее колебаний — появлению новых частот (отвечающих «локальным» колебаниям вблизи! дефектов). Исследование этих вопросов—см. И. М. Лиф-шиц, А. М. Косевич, Динамика кристаллической решетки с дефектами, Reports on Progress in Physics, 29, 217, 1966.

Число g (со) dco дается (деленным на (2я)³) объемом к-прост-ранства, заключенным между двумя бесконечно близкими изо-частотными поверхностями (поверхностями постоянной частоты) со (k) = const. В каждой точке k-пространства градиент функции со (к) направлен по нормали к проходящей через эту точку изо-частотной поверхности. Поэтому из выражения dco = dk • y_kco (k) ясно, что расстояние между двумя бесконечно близкими такими поверхностями (измеренное по отрезку нормали между ними) есть dco/| у-_к со |. Умножив эту величину на площадь df_k элемента изочастотной поверхности и проинтегрировав по всей этой поверх­ности (в пределах одной ячейки обратной решетки), найдем ис­комую часть объема k-пространства, а разделив ее на (2л)³,— плотность распределения частот:

8(^а>) = тгъ^ , ^лч. (70,1)

^{6 4} ' (2л)³ J | v_kco (k) I \ > /

В каждой зоне (области значений, пробегаемых некоторой ветвью со (к) в одной ячейке обратной решетки к) функция со (к) должна иметь по крайней мере один минимум и один максимум. Отсюда в свою очередь следует, что эта функция должна обла­дать также и седловыми точками¹). Существование всех таких стационарных точек приводит к определенным особенностям функ­ции распределения частот g(co) (L. van Hove, 1953).

Вблизи экстремальной точки, находящейся при некотором k = k₀, разность со (к)—со₀ (где со₀ = со(к₀)) имеет вид

ю—со₀ = y y_ik (k_t—k_oi) (k._k—k_ok).

Направив координатные оси в k-пространстве вдоль главных осей этой квадратичной формы, запишем её в виде

ю-со₀ = | [_Yl (k_x-h_xf + у₂ {k_u-*,„)* + -k_0s)*], (70,2)

где Yu у₂, Уз — главные значения симметричного тензора y_ik.

Рассмотрим сначала точку минимума или максимума функ­ции со (к). Тогда y_lt у₂, у₃ имеют одинаковый знак. Введя вместо k_x, k_u, k _z новые переменные х_л, х_у, v._t согласно к_х =

- К lYil (**—*»»).' ••■» пишем:

со-со„=±4к + ^ + х|) = ± (^70,3)

При этом изочастотные поверхности в х-пространстве являются сферами. Переходя в (70,1) к интегрированию в х-пространстве, имеем

^{gH =} ^^Il^k' *Н™Иг,|. (70,4)

¹) Можно показать (на чем мы здесь не будем останавливаться), что должно существовать по крайней мере шесть ссдловых точек, — по три каждого из двух типов, которым отвечают знаки + и — в формуле (70,8) ниже.

Элемент поверхности сферы: df_K — y(.²do_K, где do_K—элемент телес­ного угла. Градиент же функции (70,3): у_ксо(х) = ±х. Поэтому

интеграл в (70,4) оказывается равным 4ях; выразив х через со—со₀ согласно (70,3), окончательно находим

Уц

со

-со„

(70,5)

Таким образом, плотность числа колебаний имеет корневую осо­бенность; производная dg/dto обращается при со ->со₀ в бесконеч­ность.

У\(й — ш₀

(70,6)

Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае (если зна­чение со = со₀ лежит внутри, а не на самых краях полосы изме­нения частоты) изочастотные поверхно­сти для близких к со₀ значений со могут содержать (помимо эллипсоидов вокруг точки k = k₀) еще и другие листы, в других частях ячейки к-пространства. Поэтому в общем случае выражение (70,5) дает лишь «особую» часть плот­ности числа колебаний, так что пра­вильнее писать

g(co)=g(co₀)-

л² У2у

с одной стороны от точки со = со₀ (при со < со₀ в случае максимума, или со > со„ в случае минимума), и g-(co)=g-(co₀) с другой стороны.

Отметим также, что формула (70,5) не относится, конечно, к окрестности нижнего края (со = 0) зоны акустических колебаний, где закон дисперсии имеет вид (69,15). Легко видеть, что в этом случае

g (со) = const со³. (70,7)

Рассмотрим теперь окрестность седловой точки. В этом слу­чае две из величин у_г, у₂, у₃ в (70,2) положительны, а одна отрицательна, или наоборот. Вместо (70,3) будем иметь теперь

со-

-co„ = ±_Y(x! + x²-x_z).

(70,8)

Примем для определенности верхний знак в этом выражении. Тогда изочастотные поверхности при со < со₀ представляют собой двухполостные, а при со > со₀—однополостные гиперболоиды; граничная же поверхность со == со₀ является двухполостным кону­сом (рис. 9).

Интегрирование в (70,4) удобно производить теперь в цилин­дрических координатах в х-пространстве: х_х, и₂, <р, где х^= — V^l-i-Hy, а ф—полярный угол в плоскости н_х, х_у. Абсолют­ная величина градиента: | v«со | = х. При со < со₀ интеграл, берет­ся по двум полостям гиперболоида:

,. 2ях_хх,.. 1 _ р 2лх,Лс_х

N (^2я)³ И ₀^J К х\ +2(со₀-со)

в качестве верхнего предела К (значение которого не отражается на виде искомой особенности) можно взять какое-либо значение х, большое по сравнению с усо₀—со, но в то же время настолько малое, что еще применимо выражение (70,8) для формы изочас-тотной поверхности. В результате находим

g (со) = ₂-^р= [К -V2 (со,- со)].

2 Г 2лх.А<. к g (со) =--------- т=- \ , = ------- 7=, ^ё(2я)»Г у J ₂ (co-coo) 2n'-V у

При со > со₀ аналогичным путем находим

*lmln ' -L

где *^£5._min = 2(co—©о)- Таким образом, в окрестности седловой точки плотность числа колебаний имеет вид

_g со₀ — | о _{при ffl<fi)ei}

л² У2у (70,9)

g (со„) при со > со_а.

И здесь g- (со) имеет корневую особенность.

Для седловой точки с нижним знаком в (70,8) получается такой же результат с перестановкой областей со < со„ и со > со₀ (корневая особенность при со > со₀).

§ 71. Фононы.

Обратимся к вопросу о том, как выглядит картина колеба­ний решетки с точки зрения квантовой теории.

Вместо волн (69,6), в которых атомы испытывают в каждый момент времени определенные смещения, в квантовой теории вводится понятие о так называемых фононах как о некоторых распространяющихся по решетке квазичастицах, обладающих определенными энергиями и направлениями движения. Поскольку энергия осциллятора в квантовой механике есть целое кратное от %(л (где со—частота классической волны), то энергия фонона связана с частотой со посредством

(71,1)

подобно тому, как это имеет место для световых, квантов—фо­тонов. Что же касается волнового вектора к, то он определяет так называемый квазиимпульс фонона р:

р = &к.

(71,2)

Это величина, во многом аналогичная обычному импульсу. В то же время между ними имеется существенное отличие, связанное с тем, что квазиимпульс есть величина, определенная лишь с точностью до прибавления постоянного вектора вида %Ъ; значения р, отличающиеся на такую величину, физически экви­валентны.

Скорость фонона определяется групповой скоростью соответст­вующих классических волн: v = dco/dk. Написанная в виде

эта формула вполне аналогична обычному соотношению между энергией, импульсом и скоростью частиц.

Все сказанное в §§ 69, 70 о свойствах спектра классических колебаний кристаллической решетки, полностью переносится (с соответствующим изменением терминологии) на энергетический спектр фононов—зависимость их энергии от квазиимпульса. В частности, энергетический спектр фононов е(р) имеет 3v вет­вей, в том числе три акустические ветви. Рассмотренная в § 70 плотность числа колебаний становится теперь плотностью числа квантовых состояний фононов.

Свободному распространению волн в гармоническом прибли­жении соответствует в квантовой картине свободное движение не взаимодействующих друг с другом фононов. В следующих же приближениях появляются различного рода процессы упругих и неупругих столкновений фононов. Эти столкновения и состав­ляют механизм, приводящий к установлению теплового равно­весия в фононном газе, т. е. к установлению равновесного теп­лового движения в решетке.

При всех таких процессах должен соблюдаться закон сохра­нения энергии, а также закон сохранения квазиимпульса. По­следний, однако, требует сохранения суммарного квазиимпульса фононов лишь с точностью до прибавления любого вектора вида fib, что связано с неоднозначностью самого квазиимпульса. Таким образом, начальные (р) и конечные (р') квазиимпульсы при каком-либо процессе столкновения фононов должны быть связаны соотношением вида*)

2р = 2р'+Аь. (71,4)

В решетке может быть возбуждено одновременно сколько угодно одинаковых фононов; другими словами, в каждом кван­товом состоянии фононов может находиться любое их число (в классической картине этому отвечает произвольная интенсив­ность волн). Это значит, что фононный газ подчиняется статис­тике Бозе. Поскольку к тому же полное число частиц в этом газе не является заданным и само определяется условиями рав­новесия, то его химический потенциал равен нулю (см. § 63). Поэтому среднее число фононов в каждом квантовом состоянии (с квазиимпульсом р и энергией е) определяется в тепловом рав­новесии функцией распределения Планка

"р = 7^7г—[■ (71,5)

Отметим, что при высоких температурах (7¹^>е) это выражение переходит в

т. е. число фононов в данном состоянии пропорционально темпе­ратуре.

Понятие о фононах является частным случаем более общего понятия, играющего основную роль в теории квантовых энерге­тических спектров всяких макроскопических тел. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела может рассмат­риваться в квантовой механике как совокупность отдельных эле­ментарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме. До тех пор, пока число элементарных возбужде­ний достаточно мало, они «не взаимодействуют» друг с другом (т. е. их энергии просто складываются), так что их совокупность можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц. Подчерк­нем лишний раз, что понятие элементарных возбуждений возни­кает как способ квантовомеханического описания коллективного движения атомов тела, и они ни в какой мере не могут быть отождествлены с отдельными атомами или молекулами.

¹) Процессы, в которых суммарный квазиимпульс не остается постоянным, а меняется на называют процессами переброса.

В случае фононов их взаимодействию отвечает (в классической картине) энгармонизм колебаний атомов в решетке. Но, как уже

было отмечено в § 64, в твердых телах эти колебания факти­чески всегда малы, а потому и «почти гармоничны». Поэтому взаимодействие фононов в твердых телах фактически всегда слабо.

В заключение выпишем формулы, определяющие термодина­мические величины твердого тела по спектру фононов в нем.

2| a=l ^J

Свободная энергия твердого тела в термодинамическом равно­весии дается формулой (64,1). Перейдя в ней от суммирования к интегрированию по непрерывному ряду фононных состояний, имеем

(71,7)

. (2л)³

^3V |~i (Ц* (^k)\1 Vd⁸fe
In 1—ехр(---------- -

F = Nz₀ + T

где суммирование производится по всем ветвям спектра, а инте­грирование—по значениям к в одной ячейке обратной решетки¹). Введя плотности g_a (со) числа состояний в каждой ветви спектра и перейдя к интегрированию по частотам, эту формулу можно записать также и в виде

Дата добавления: 2014-11-07