Ol — V2X 23 страница

Задача об определении корреляционной функции в вырож­денном газе наиболее просто может быть решена методом вторич­ного квантования (который уже был применен в § 80 для вы­числения энергии электронного газа).

Как известно, в этом методе плотности числа частиц отвечает оператор

п(г) = гр⁺(г)гр(г); после подстановки яр-операторов (80,5) он выражается суммой

п(г)= 2 ар_аа_Р'₀'%_а(г)%'а'(г), (П7,1)

оо'рр'

где суммирование производится по всем значениям импульсов р, р' (для свободных частиц в объеме V) и по проекциям спина а, а'²). Но ввиду ортогональности спиновых волновых функций, отве­чающих различным значениям а, фактически отличны от нуля лишь члены суммы с а = а'. В произведениях ■ф_р0'Фр'а нормиро­ванные спиновые множители дают единицу, так что волновые функции можно писать просто в виде координатных плоских волн

^ = -^=е'^. (117,2)

Легко видеть, что диагональные члены суммы (117,1) (р = р') дают как раз среднюю плотность п: поскольку оператор а_ра⁺ я_ра есть просто число частиц п_ро в данном квантовом состоянии, то сумма этих членов равна

1 ^ N _-

Т2и^Пра~ Т~~^п'

^х) Корреляция флуктуации в ферми-газе была рассмотрена В. С. Фурсовым (1937), а в бозе-газе—А. Д. Галаниным (1940). ²) Напомним, что волновые функции частицы со спином представляют собой спиноры и произведение волновых функций в (117,1) является в действи­тельности «скалярным произведением» ковариантного и контрвариантного спи­норов с соответствующим суммированием по спинорным индексам (с которыми не следует смешивать индексы а, а', указывающие собственные значения проекции спина в данных состояниях).

ар

Поэтому можно написать

Ли = я (г)—п = 2' йраар-а'Фр'Фр', (117,3)

ОРР'

где штрих у знака суммы означает, что диагональные члены в ней должны быть опущены. С помощью этого выражения не представляет труда вычислить интересующее нас среднее значе­ние <Лп₁Лге₂>.

Вычисление среднего значения производится в два этапа. Прежде всего надо произвести квантовомеханическое усреднение по состояниям частиц. Это усреднение сводится к взятию соот­ветствующего диагонального матричного элемента данной вели­чины. Перемножив два оператора (117,3), относящиеся к двум различным точкам г_г и г₂, мы получим сумму членов, содержа­щих различного рода произведения операторов а_ра, а_ра, взятых по четыре. Но из всех этих произведений имеют диагональные матричные элементы лишь те, которые содержат две пары опе­раторов й_р<т, а_ра с одинаковыми индексами, т. е. члены

2' а^ар-а^Цро^р (г,) г|у (rj г|у (r_t) ip_p (г₂).

opp'

Эти члены представляют собой диагональные матрицы, причем

йр'ойр'о — 1 -+- Пр'в, Орвйра— Про

(здесь и везде ниже верхний знак относится к случаю стати­стики Ферми, а нижний — к статистике Бозе). Подставляя также функции яр_р (117,2), получим

-jjs (1 =F Vo) "ров* ^(р_р'^{) (г}*~^г*^)/к.

арр'

Это выражение должно быть теперь усреднено в статистиче-
ском смысле, т. е. по равновесному распределению частиц по
различным квантовым состояниям. Поскольку частицы, находя-
щиеся в различных квантовых состояниях, ведут себя незави-
симо друг от друга, то усреднение чисел п_ро и «_р<₀ производится
независимо. В результате для искомого среднего значения на-
ходим, _ _

<Л_ге1Лп₂> = -j)r£ (1 + Пр-о) «p₀e'' ^(р-^{р0 (r}'-^r'^)/fe- (117,4)

opp'

От суммирования по р, р' перейдем теперь обычным образом к интегрированию по Vd³pVd³p'/(2яД)^в (при этом ограничение р=?^р' становится несущественным). Интеграл разбивается на две части, из которых первая есть

:«6(г₂ — г_х).

'ра'

Интегрирование по d³p'/(2nh)³ дает б-функцию б (г₂—г_х), кото­рая позволяет положить г₂—г_х = 0 в оставшемся подынтеграль­ном выражении; после этого остается

(2л%)³

d³p

8(г₂-г_х)>Г

Это есть как раз первый член в формуле (116,3). Поэтому для корреляционной функции (второй член в (116,3)) находим сле­дующее выражение:

pipt/h

pa

(2л&)³

(117,5)

В равновесном газе распределение частиц по квантовым со­стояниям дается формулой распределения Ферми или Бозе

п_Ра^йр = |е^<£-^д)/г± I]^-1- (П7,6)

d³p

(117,7)

Эти числа не зависят от а; поэтому суммирование по о в (117,5) дает просто множитель g = 2s-f- 1 (s—спин частицы). Таким обра­зом, получаем окончательно следующую формулу для корреля­ционной функции ¹):

Jpr/h

v(r) = =F-I-

п

или после интегрирования по направлениям р

g

sin (рг/%) р dp _е(е-Ю/Г _± j

(117,8)

(117,9)

<|A«_kl²> = f J

Приведем также формулу для средних квадратов компонент Фурье флуктуации плотности, которую легко получить, подстав­ляя v (г) из (117,7) в общую формулу (116,13) и производя ин­тегрирование по координатам ²):

d³p

-Jn_P(l+n_P+fek)₍₂^₎₃

^г) В случае бозе-газа эта формула относится только к температурам выше точки бозе-эйнштейновской конденсации (см. задачу 4). ²) Не смешивать фурье-компоненты флуктуации плотности газа Дп_к с чис­лами заполнения квантовых состояний частиц я_!

Из формулы (117,7) видно прежде всего, что для ферми-газа v (г) <0, а для бозе-газа v (г) > 0. Другими словами, у бозе-газа присутствие в некоторой точке пространства частицы увеличи­вает вероятность нахождения другой частицы вблизи этой точки, т. е. частицы испытывают своеобразное притяжение. В ферми-газе, напротив, частицы проявляют аналогичное отталкивание (ср. замечание в конце § 56).

В соответствии со сказанным в начале этого параграфа в клас­сическом пределе корреляционная функция обращается в нуль: при %—>-0 частота осциллирующего множителя ехр (фгД) в подын­тегральном выражении в (117,7) неограниченно возрастает, и ин­теграл стремится к нулю.

При г—*-0 функция v (л) стремится к постоянному пределу:

п

² = Т —. (117,10)

g

^Р (2яА)

Применим формулу (117,8) к ферми-газу при Т — 0. В этом случае функция распределения есть ступенчатая функция: я_р=1 при р < p_F и tt_p = 0 при p>p_F, где p_F=ft(6n²n/g)^1/3 —гранич­ный импульс. Поэтому находим

v(r) =

4л⁴Й*й

j"psm^dp

Рассмотрим не слишком малые расстояния—будем считать, что ррг/А^>1. Соответственно этому вычисляем интеграл, сохранив лишь член с наименьшей степенью 1/г:

i \ „ p_Fr

v (г) = cos ££-.

Квадрат косинуса быстро меняется на интервалах Аг, малых по сравнению с рассматриваемыми расстояниями. Усреднив по такому интервалу, найдем

Задач и

1. Определить средний квадрат фурье-компонент (с малыми волновыми
векторами: k<^p_F/%) флуктуации плотности в ферми-газе при Т = 0.

Решение. Подынтегральное выражение в (117,9) отлично от нуля (и равно единице) лишь в точках, в которых пр~\, rtp + fck = 0, т. е. в точках, принадлежащих сфере радиуса рр и в то же время не принадлежащих сфере того же радиуса с центром, сдвинутым на %к. Вычисляя объем этой области при %k<^.pp, получим

2. Определить корреляционную функцию для ферми-газа при температу-
рах; низких по сравнению с температурой вырождения.

Решение. В интеграле в (117,8) полагаем р. я e_F = p²_F/2m и преобра­зуем его следующим образом:

1 00

j_\'P sin (pr/%) dp _ ^ д f cos (pr /%) dp

Г p sin (pr/li) dp _ - д_ Г cos (pr/h) dp

0 ~ 0 '

Производим интегрирование по частям, после чего вводим новую переменную
х = рр(р—p_F)/mT. Ввиду малости Т подынтегральное выражение быстро убы-
вает с ростом |jc|, и потому интеграл по dx можно распространить от—оо
до +оо:

/=_*.|.± f sin (fgr + bcr)--------------------- ^--------- =

dr г J ^ J _(e*₊i)_(e-*₊i)

= _£a^) sin (p_Fr/%) j _gftrje_

^ \»" J (e*+l)(e~*+l)|

(где % = mTi%pp). Получившийся интеграл подстановкой (e^x-\- i)~¹ = u приво­дится к В-интегралу Эйлера, и в результате получается

/ = i_2L__si„££L 6Y (sh (яЯ,/-) ft. J

Для расстояний г ^> %/рр усреднив быстро меняющийся квадрат косинуса, получаем окончательно

., 3(тГ)²,,/мпТгу

v(r) = — sh-² (—г ].

4Пру> \ %рр)

При Т—>-0 эта формула переходит в (117,11). В асимптотической области, где rppfh велико не только по сравнению с 1, но и по сравнению с Ер/Т, имеем

v^-^-exp,

3. Определить кор реляционную функцию для бозе-газа на больших рас­стояниях (г %1 У тТ) при температурах выше точки Т₀ начала бозе-эйнштей-новской конденсации, но близких к ней.

Решение. Вблизи точки Т₀ химический потенциал | ц | мал (см. задачу к § 62). При этом интеграл в (117,7) (обозначим его /) определяется областью малых значений р: в/Т ~ р²/шТ ~ | p. \/Т <^ 1. Поэтому, разлагая подынте­гральное выражение по е и ц,, находим *)

J p²/2m + |u.| (2яЛ)³ 2nAV \% /

Окончательно

y^J^expi-r^HH.
4л²пРг² \ % /

) Использована формула фурье-преобразования

J г ^av x² + ft²' Jx²

<² + k² (2л)³ 4w *

Ее проще всего можно получить, заметив, что функция ц> = е~*^г/г удовлетво­ряет дифференциальному уравнению

Д<р—х²ср = —4яб (г).

Умножив это уравнение с обеих сторон на е~^1кт и интегрируя по всему про­странству (причем интеграл от е^_,кг Дф берется дважды по частям), получим требуемый результат.

4. Определить корреляционную функцию бозе-газа при Т < Т₀.

Решение. При Т <Т₀ конечная доля числа частиц (N_et=0) находится в состояниях с р = 0 (конденсат). Возвращаясь к выражению (117,4) надо пред­варительно (до перехода от суммирования к интегрированию) выделить в нем члены с равным нулю р или р', учитывая при этом, что число частиц в каж­дом из квантовых состояний с р = 0: ир=₀ = N_e=o/g. После этого сумма преоб­разуется, как это было сделано в тексте, и в результате вместо (117,7) на­ходим

п п J (2лЩ³

(где п_й = N_e=,₀/g), причем п_р дается формулой распределения Бозе с (1=0:

На расстояниях г^>%/ VmT интеграл / = шТ/2л%²г (формула из предыду­щей задачи с р- = 0), так что

тТп₀. gm²T² ■v (г) = -, -1—==т—; nnWr 4л²пп*г²

вторым членом можно пренебречь, если только Т не слишком близко к Т₀
(так что п₀ не слишком мало). В обратном случае, на расстояниях г <^%/Y"mT,
интеграл _

/ ~ Гй ^d3p ₌ ^п~^п<> ~ J ^р (2л%)³ g '

так что

v(r) и v(0) =

gn

Отметим, что интеграл ^ х аУ для бозе-газа при Т < Т_д расходится, и по­тому вычисление по формуле (116,5) привело бы к бесконечному значению флуктуации числа частиц—в соответствии с замечанием, сделанным уже в § 113.

§ 118. Корреляция флуктуации во времени

Рассмотрим какую-либо физическую величину, характеризую­щую находящуюся в термодинамическом равновесии замкнутую систему или ее отдельную часть (в первом случае это не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы по определе­нию постоянной, например, ее энергия). С течением времени эта величина испытывает небольшие изменения, флуктуируя вокруг своего среднего значения. Обозначим снова посредством л; (г) раз­ность между этой величиной и ее средним значением (так что

х= 0).

Между значениями х (t) в разные моменты времени существует некоторая корреляция; это значит, что значение х в некоторый момент времени t влияет на вероятности различных ее значений в другой момент времени t'. Аналогично пространственной кор­реляции, рассмотренной в предыдущих параграфах, можно харак­теризовать временную корреляцию средним значением произве­дения <лг(г)х(г')>. Усреднение понимается здесь, как обычно, в статистическом смысле, т. е. как усреднение по вероятностям всех значений, которые может иметь величина х в моменты t и f. Как было указано еще в § 1, такое статистическое усред­нение эквивалентно усреднению по времени,— в данном случае по одному из времен t, t' при заданной разности t' — t. Получаю­щаяся таким образом величина

Ф(г' — t) = <x(t)x(t')> (118,1)

зависит только от разности г' —г; это определение можно поэтому записать и в виде

y(t) = <x(0)x(t)>. (118,2)

При неограниченном увеличении разности времен корреляция, очевидно, исчезает, и соответственно этому функция ф (t) стре­мится к нулю. Отметим также, что ввиду очевидной симметрии определения (118,1) по отношению к перестановке t и Г функ­ция ф (t) четна:

Ф(0 = Ф<-0- (П8,3)

Рассматривая величину x(t) как функцию времени, мы тем самым подразумеваем, что она ведет себя классическим образом. Написанное определение можно, однако, представить и в форме, применимой и к квантовым величинам. Для этого надо рассмат­ривать вместо величины х ее квантовомеханический, зависящий от времени (гейзенберговский) оператор x(t). Операторы x(t) и x(t'), относящиеся к разным моментам времени, вообще говоря, не коммутативны, и корреляционная функция должна быть теперь определена как

Ф (t' — t) = у <х (t) х (t') + x(f) х (t)>, (118,4)

где усреднение производится по точному квантовому состоянию").

*) Снова напомним, что, согласно основным принципам статистики, резуль­тат усреднения не зависит от того, производится ли оно механически по точной волновой функции стационарного состояния системы или же статистически с помощью распределения Гиббса. Единственная разница состоит в том, что в перЕом случае результат выражается через энергию тела, а во втором слу­чае—как функция его температуры.

Предположим, что величина х такова, что заданием ее опре­деленного значения (существенно превышающего ее среднюю флук­туацию <х^а>¹/^а) могло бы характеризоваться определенное состоя­ние неполного равновесия. Другими словами, время релаксации для установления неполного равновесия при заданном значении х предполагается много меньшим времени релаксации для установ-

ления равновесного значения самой величины х. Это условие удовлетворяется для широкой категории величин, представляю­щих физический интерес. Флуктуации таких величин мы будем называть квазистационарными¹). Ниже в этом параграфе рас­сматриваются флуктуации этого типа и, кроме того, величина х предполагается классической²).

Предположим также, что в процессе приближения к полному равновесию в системе не возникает никаких других отклонений от равновесия, которые бы требовали введения новых величин для своего описания. Другими словами, в каждый момент времени состояние неравновесной системы вполне определяется значением х (более общий случай будет рассмотрен в следующем параграфе).

Пусть величина х имеет в некоторый момент времени t зна­чение, большое по сравнению со средней флуктуацией, т. е. сис­тема существенно неравновесна. Тогда можно утверждать, что в последующие моменты времени система будет стремиться прийти в состояние равновесия, соответственно чему х будет уменьшаться. При этом в силу сделанных предположений скорость изменения величины х будет в каждый момент времени целиком определяться значением самого х в этот момент: х = х(х). Если х все же срав­нительно мало, то можно разложить х (х) по степеням х и огра­ничиться линейным членом

7гГ = -**, (118,5)

где К—положительная постоянная; член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, поскольку в полном равновесии (т. е. при-х = 0) скорость dx/dt должна обратиться в нуль. Уравнение (118,5) представляет собой линеаризованное макроскопическое «уравне­ние движения» неравновесной системы, описывающее процесс ее релаксации (физическая природа которого целиком зависит от природы величины х). Постоянная 1/Х определяет порядок вели­чины времени релаксации для установления полного равновесия.

Возвращаясь к флуктуациям в равновесной системе, введем величину l_x (t), определив ее как среднее значение величины х в момент времени / > О при условии, что в предшествующий момент t= 0 она имела некоторое заданное значение х; такое среднее значение, вообще говоря, отлично от нуля. Очевидно, что корреляционная функция ср (t) может быть написана с по­мощью функции \_х (t) в виде

______________ Ф (*) = <*£,(<)>. (П8,6)

^х) Этот термин представляется более адекватным, чем использованное в пре­дыдущем издании книги название таких флуктуации термодинамическими.

²) Окончательные формулы для квазистационарных флуктуации квантовых величин получаются из формулы для классических величин Лишь простым изменением, которое будет указано в § 124 (см. (124, 19)).

где усреднение производится уже только по вероятностям раз­личных значений х в исходный момент времени t = 0.

Для значений |_х, больших по сравнению со средней флук­туацией, из уравнения (118,5) следует, что и

^L=-\\_x(t), t>0. (118,7)

Учитывая усредненный характер величины |_х (г), следует считать, что это уравнение тем самым справедливо и при произвольных малых ее значениях. Интегрируя уравнение и помня, что по опре­делению %_х (0) = х, найдем

и, наконец, подставляя в (118,6), получим формулу, определяю­щую функцию временной корреляции:

ф (*) = <**><>-«.

В таком виде, однако, эта формула относится только к t > 0, так как в ее выводе (уравнение (118,7)) существенно предполага­лось, что момент t следует после t = 0. Учитывая, с другой стороны, четность функции ф (/), можно написать окончательную формулу

ф(/) = <_Д;2_>е-хт ₌ ^._е-Л|М (118,8)

«х^а> из (110,5)), применимую как при положительных, так и от­рицательных t. Эта функция имеет при г = 0 две различные производные. Это свойство возникло в результате того, что.мы рассматриваем промежутки времени, большие по сравнению со временем установления неполного равновесия (равновесия при заданном значении х). Рассмотрение меньших времен, невозможное в рамках «квазистационарной» теории, привело бы, разумеется, к равенству dy/dt = Q при t = 0, как и должно быть для всякой четной функции от / с непрерывной производной.

Изложенную теорию можно сформулировать еще и в другом виде, который может представить определенные преимущества.

Уравнение х—— he для самой величины х (а не для ее среднего значения £_ж) справедливо, как уже указывалось, лишь при больших по сравнению со средней флуктуацией значениях х. При произ­вольных же значениях х напишем х в виде

х = —кх + у, (118,9)

являющемся определением новой величины у. Хотя по абсолют­ной величине размаха испытываемых ею колебаний величина у отнюдь не меняет с течением времени своего характера, но при больших (в указанном выше смысле) значениях х она представ-

ляет относительно малую величину, которой в уравнении (118,9) можно пренебречь. Введенную таким образом в уравнение (118,9) величину у (которую называют случайной силой) надо рассматри­вать как источник флуктуации величины х. При этом корреля­ционная функция случайной силы <г/ (0) у (г)> должна быть задана таким образом, чтобы она приводила к правильному резуль­тату (118,8) для <х(0)х(ф. Для этого надо положить

<У (0) у (Ф = 21 <х*> &(t)=j8 (t). (118,10)

В этом легко убедиться, написав решение уравнения (118,9):

t

х (t) = е~^м \ у (т) е^и dr,

— 00

и усреднив произведение х (0) х (t), представив его предварительно в виде двойного интеграла.

Тот факт, что выражение (118,10) обращается в нуль при t Ф0, означает, что значения величины у (г) в различные моменты времени не коррелированы. В действительности, разумеется, это утверждение является приближенным и означает лишь, что зна­чения y(t) коррелируют на протяжении промежутков времени порядка времени установления неполного равновесия (равновесия при заданном х), которое в излагаемой теории, как уже отмеча­лось, рассматривается как пренебрежимое малое.

§ 119. Временная корреляция флуктуации нескольких величин

Полученные в предыдущем параграфе результаты можно обоб­щить на флуктуации, в которых отклоняются от своих равно­весных значений сразу несколько величин х_1г лг₃,..., х_п. Снова будем считать, что из этих величин уже вычтены их равновес­ные значения, так что все средние значения х,= 0.

Корреляционные функции флуктуации этих величин опреде­ляются (в классической теории) как

Ф«(*'-0 = <*<('') **(')>• (П9Д)

Уже в силу самого этого определения они обладают очевидным свойством симметрии

Ф/*(0 = Ф«<-0. (119,2)

Существует, однако, еще и другое свойство симметрии кор­реляционных функций, имеющее глубокий физический смысл. Оно возникает как следствие симметрии уравнений механики, которыми описывается движение частиц тела, по отношению к обращению времени^г). В силу этой симметрии совершенно без­различно, какую из величин х_{ и x_k брать при усреднении в более ранний, а какую—в более поздний момент времени. Поэтому <*,(*') **(')> = <*«(') **('')>. ^т- ^е-

<Р/»(') = Ф,-.(-'). (119,3)

Из обоих свойств (119,2—3) следует также, что ф,-*(*) = Фй,-(0-В этом выводе молчаливо подразумевалось, что сами величи­ны Xi таковы, что при изменении знака времени они остаются неизменными. Но существуют также и величины, которые сами меняют знак при обращении времени (например, величины, про­порциональные скоростям каким-либо макроскопических движе­ний). Если обе величины х_{ и х_к обладают таким свойством, то соотношение (119,3) будет по-прежнему справедливым. Если же одна из двух величин меняет знак, а другая остается неизмен­ной, то симметрия по отношению к обращению времени озна­чает, что <x_i(t')x_k{t)-> = — <x_i(t)x_k{t')'>, т. е.

Ф/*(') = -Ф«(-')- (П9,4)

Вместе с (119,2) отсюда следует: ф,-_й(£) = — ф«(0-

Будем предполагать теперь, как и в предыдущем параграфе,
что флуктуации квазистационарны, т. е. набор значений величин
x_lf х_п (выходящих за границы их средних флуктуации)

определяет некоторое макроскопическое состояние неполного рав­новесия. В процессе приближения к полному равновесию вели­чины X; меняются со временем; предполагается, что набор функ­ций X; (t) полностью характеризует этот процесс, и никаких других отклонений от равновесия в нем не возникает. Тогда скорости изменения величин х_{ в каждом неравновесном состоянии являются функциями от значений х_х, х„ в этом состоянии:

х, = Xi(x_lt х_п). (119,5)

Если система находится в состоянии, сравнительно близком к пол­ному равновесию (т. е. если величины х_{ можно считать малыми), можно разложить функции (119,5) по степеням х_ь ограничив­шись членами первого порядка, т. е. представить их в виде линейных сумм

х,- = -Я,_Л (119,6)

с постоянными коэффициентами k_ik ²); эти выражения обобщают уравнение (118,5).

*) Подразумевается, что система не находится в магнитном поле и не вра­щается как целое (см. ниже в § 120). ²) Как и в § 111, по дважды повторяющимся латинским индексам подразу­мевается суммирование от 1 до п.

Отсюда можно перейти к уравнениям для корреляционных функций так же, как это было сделано в § 118. Вводим средние

значения (t) величин X; в момент времени t > 0 при заданных значениях всех x_lt х₂,... в предшествующий момент t = 0 (сами эти значения в обозначении |,-(г) для краткости опускаются). Эти величины удовлетворяют тем же уравнениям (119,6):

(П9,7)

причем уже не только для больших (по сравнению со средними флуктуациями), но и для произвольных малых значений £,(г). Корреляционные функции получаются из (г) умножением на x_t — Х[(0) и усреднением по вероятностям различных значе­ний х_г:<р,₇ (t) — <£,• (t)x_ty. Произведя эту операцию с уравне­нием (119,7), получим

^Ф//(0 = -Ь/*Ф«(0. *>0 (119,8)

(индекс / в этой системе уравнений свободный).

Как уже указывалось, уравнения (119,6) представляют собой не что иное, как линеаризованные макроскопические «уравнения движения» неравновесной системы, описывающие процесс ее релак­сации. Мы видим, что система уравнений для корреляционных функций флуктуации получается просто заменой в этих «уравне­ниях движения» величин х_{ (t) на функции ф,-, (t) со «свободным» индексом /, пробегающим все значения от 1 до и. Получающиеся таким образом уравнения относятся к временам t > 0 и должны быть проинтегрированы при «начальном условии»

Ф/* (0) = <*/ (0) x_k (0)> = = Вг*¹ (119,9)

(средние значения <*,-je_ft> должны быть равны своим известным значениям (111,9)). Для времен же t < 0 корреляционные функ­ции определяются затем непосредственно по их свойствам сим­метрии.

§ 120. Симметрия кинетических коэффициентов

Вернемся снова к макроскопическим уравнениям (119,6), опи­сывающим релаксацию слабо неравновесной системы¹):

______________ i,-= -*,■***• (120,1)

^J) В конкретных применениях встречаются случаи, когда полное равнове­сие, о приближении к которому идет речь, зависит от каких-либо внешних па­раметров (например, объема, внешнего поля и т. п.), которые сами медленно меняются со временем; вместе с ними меняются и равновесные (средние) зна­чения рассматриваемых величин. Если это изменение достаточно медленно, то можно по-прежнему пользоваться всеми излагаемыми соотношениями, с той лишь разницей, что средние значения х,- нельзя условиться считать равными все время нулю; обозначая их посредством xf \ надо будет писать вместо (120,1)

*/ = -*•(* («а-4*). (120,1а)

Эти уравнения обладают глубокой внутренней симметрией, кото­рая, однако, становится явной, лишь если их правые части выра­зить не через сами макроскопические величины х_{ (скорости изменения которых стоят в левых частях уравнений), а через «термодинамически сопряженные» с ними величины

= —ар <¹²⁰>²>

которые были уже введены в § 111. В состоянии равновесия энтропия системы максимальна, так что все Х,= 0. При отличных же от нуля, но сравнительно малых х_х, х₂,... (т. е. в слабо неравновесных состояниях системы) величины X,- могут быть выражены в виде линейных функций

Х, = В,_Л. (120,3)

Постоянные коэффициенты 8,_й представляют собой первые произ­водные от Х[, т. е. вторые производные от S; поэтому

Р/* = Р«- (120,4)

Если выразить из (120,3) величины х, через величины X,- и подставить их в (120,1), то мы получим релаксационные урав­нения в виде

Xt = -y_ikX_k, (120,5)

Дата добавления: 2014-11-07