Ol — V2X 24 страница

где

Y* = W (120,6)

— новые постоянные; их называют кинетическими коэффициен­тами. Докажем теперь принцип симметрии кинетических коэф­фициентов или принцип Онсагера (L. Onsager, 1931), согласно которому

Y«= Y«- (120,7)

Доказательство основано на указанном в предыдущем пара­графе обстоятельстве, что таким же уравнениям (120,1) или (120,5) удовлетворяют величины, характеризующие флуктуации в равно­весной системе. Именно, вводим средние значения £,•(£) флук­туирующих величин х₍ и средние значения E_t(t) величин X,-в момент времени / при заданных значениях всех х_г, х₂,... в момент t = 0; тогда

i/=-Y,-*S* (*>0). (120,8)

Воспользуемся теперь симметрией флуктуации (в равновесной системе) по отношению к обращению времени; она выражается соотношением (119,3), которое можно записать в виде

<*/ (0 х_к (0)> = <х, (0) х_к (ф, (120,9)

или, с помощью величин £,•(/).

<&(')**> = <*&(*)>, (120,10)

где усреднение производится по вероятностям различных значе­ний всех X; в момент / = 0. Продифференцируем это равенство по t и подставим производные £,. из (120,8):

T/i<S|(0**> = Y«<*/В«(0>-

При г = 0 величины Е_г совпадают, очевидно, с X_t(0); поэтому, положив в написанном равенстве г = 0, получим

Ун = тм <X_tXt>,

где оба множителя в усредняемых произведениях берутся в оди­наковый момент времени. Но, согласно (111,8), такие средние значения <Х_гх_А> = Ъ_1к, и мы приходим к требуемому результату (120,7) 0-

По поводу этого результата, однако, должны быть сделаны следующие две оговорки. Его доказательство существенно исполь­зует симметрию уравнений механики во времени. Формулировка последней, однако, несколько меняется в случае флуктуации в равномерно вращающемся теле и в случае тел, находящихся во внешнем магнитном поле. Именно, в этих случаях симметрия по отношению к изменению знака времени имеет место лишь при условии одновременного изменения знака соответственно угловой скорости вращения Q или магнитного поля Н. Поэтому для ки­нетических коэффициентов, которые в этих случаях зависят от Q или Н как от параметров, будут иметь место соотношения

Y«(0) = Yw(-0), 7«(h) = Y_w(-h). (120,11)

Кроме того, при выводе подразумевалось, что сами величины X; и x_k остаются неизменными при обращении времени. Соотно­шение (120,9), а потому и результат (120,7) остаются справед­ливыми и в случае, когда обе величины меняют знак при обра­щении времени (обе пропорциональны скоростям каких-либо макроскопических движений). Если же одна из величин x_h x_k меняет знак, а другая остается неизменной, то при выводе надо исходить из (119,4) вместо (119,3), и принцип симметрии кине­тических коэффициентов формулируется как

¹) Предостережем против использования в этой связи вместо (120,9) со­отношения (119,2), согласно которому <дг,- (0) дг_Л (^)> = <ж,-(—t)x_k(Q)>. Может показаться, что дифференцируя это равенство по t и положив затем t = 0, можно (с использованием (120,9)) получить <,Х{Х_к> =0. В действительности, од­нако, в рассматриваемом приближении функции щ_к (t) (как и ф (t) в § 118) имеют в точке £ = 0 две различные производные: для /—»- + 0 и для t——0.

?/* = -?«• (120,12)

Вполне аналогичные результаты справедливы и для кинети­ческих коэффициентов фигурирующих в релаксационных урав­нениях, представленных в виде, «термодинамически взаимном» по отношению к уравнениям (120,5):

= £«= Р/Л*- (120,13)

Коэффициенты t,_ik обладают такими же свойствами симметрии, как и у_!к. В этом можно убедиться путем аналогичного вывода, но это же очевидно заранее ввиду взаимного характера соответ­ствия между величинами x_t и X,- (см. примечание на стр. 367).

Если все величины x_lt..., х_п ведут себя одинаково по от­ношению к обращению времени (так что матрица величин y_ik целиком симметрична), то скорости х_; могут быть представлены в виде производных

^Х' — Щ' f-\yikXtX_k (120,14)

от квадратичной функции величин X,-, построенной на коэффи­циентах y_ih.

Важность функции / связана с тем, что ею определяется ско­рость изменения энтропии системы S. Действительно, имеем

<--*Lr - у х у ^df

° ~ dxi ' ^л' ' ~ ^лdXi '

а поскольку f — квадратичная функция от X,-, то по теореме Эй­лера получаем

5 = 2/. (120,15)

По мере приближения к равновесию энтропия возрастает, стремясь к максимуму. Поэтому квадратичная форма / должна быть су­щественно положительной; этим накладываются определенные условия на коэффициенты y_ik. Функция / может быть выражена и через величины х_{\ тогда ее производные дают скорости X,-:

*< ⁼ -|Ь (¹²⁰>^!6)

При этом, разумеется, по-прежнему S =— X[Xi = 2f.

Для системы, состоящей из тела во внешней среде, можно преобразовать формулу (120,15), воспользовавшись тем, что из­менение энтропии замкнутой системы при отклонении от равно­весия равно — R_mijT₀, где i?_min—минимальная работа, необхо­димая для перевода системы из равновесного состояния в данное

(см. (20,8))Полагая также #_min = A£—Г₀ Д5 + Р₀ AV (где Е, S, V относятся к телу, а Т_в, Р₀ —температура и давление среды), получим

£-r_oS"+P₀V = -2/7V (120,17)

В частности, если отклонение от равновесия происходит при постоянных (равных Т₀ и Р₀) температуре и давлении, то

Ф = — 2/7, (120,18)

а при постоянных температуре и объеме

F = — 2fT. (120,19)

§ 121. Диссипативная функция

Макроскопическое движение тел, погруженных во внешнюю среду, сопровождается, вообще говоря, необратимыми процессами трения, приводящими в конце концов к прекращению движения. Кинетическая энергия тел при этом переходит в тепло, или, как говорят, диссипируепг.

Чисто механическое рассмотрение такого движения, очевидно, невозможно; поскольку энергия макроскопического движения переходит в энергию теплового движения молекул тела и среды, то такое рассмотрение требовало бы составления уравнений дви­жения для всех этих частиц. Поэтому вопрос о возможности составления таких уравнений движения в среде, которые бы со­держали лишь макроскопические координаты тел, относится к области статистики.

Эта задача, однако, не может быть решена в общем виде. Поскольку внутреннее движение атомов тела зависит не только от движения тела в данный момент времени, но и от предыдущей истории этого движения, в уравнения движения будут, вообще говоря, входить не только макроскопические координаты тел Q_v Q_a, Q_s и их первые и вторые производные по времени, но и все производные высших порядков (точнее—функции Q_{(t) вой­дут под действием некоторого интегрального оператора). Функции Лагранжа для макроскопического движения системы при этом, конечно, не существует, и уравнения движения в различных случаях будут иметь совершенно различный характер.

Форма уравнений движения может быть установлена в общем виде для случая, когда можно считать, что заданием координат

^х) Благодаря этому соотношению между изменением энтропии и R_m\_a оп­ределение величин Х(можно написать также и в виде

который иногда удобнее, чем определение (120,2) (ср. (22,7)).

Q; и скоростей Q_t состояние системы в данный момент времени определяется полностью, и производными высших порядков можно пренебречь (более точно критерий малости должен устанавливаться в каждом конкретном случае). Кроме того, мы будем считать, что сами скорости Q/ достаточно малы, так что их высшими сте­пенями можно пренебрегать. Наконец, предположим, что движе­ние представляет собой малые колебания около некоторых по­ложений равновесия—случай, с которым в этой связи обычно и приходится иметь дело; при этом условимся считать коорди­наты Qi выбранными таким образом, чтобы в положении равно­весия было Qi — О. Тогда кинетическая энергия системы K(Qt) будет квадратичной функцией скоростей Q_it не зависящей от самих координат Q,-; потенциальная же энергия U (Q,), связанная с дей­ствием внешних сил, будет квадратичной функцией координат Q_t.

Введем обобщенные импульсы P_h определив их, как обычно, посредством

р ЁЩА. ₍121,1)

dQi ^к '

Эти равенства определяют импульсы в виде линейных комбина­ций скоростей. Выразив при помощи них скорости через импульсы и подставив в кинетическую энергию, получим последнюю в виде квадратичной функции импульсов, причем будут иметь место равенства

^-^Ур- 021,2)

Если пренебречь процессами диссипации полностью, то урав­нения движения будут обычными уравнениями механики, согласно которым производные импульсов по времени равны соответствую­щим обобщенным силам:

^Р' = ~ЖГ 021,3)

Прежде всего отметим, что уравнения (121,2—3) находятся в формальном соответствии с принципом симметрии кинетических коэффициентов, если под введенными в § 120 величинами x_lt х_г,..., x_2s понимать координаты и импульсы P_t. Действи­тельно, минимальная работа, необходимая для приведения тел из состояния покоя в положениях равновесия в положения Q_t с импульсами P_h есть R_min = K(P;) + U (Q,). Поэтому роль ве­личин Xj, Х₂, X_2S будут играть производные (см. приме­чание на стр. 401):

1 dR_mi„ 1 dU 1 dR_mi„ I дК

а уравнения (121,2—3) будут соответствовать соотношениям (120,5) причем

VQ_iP_{ = — T = — yp_lQ.

в соответствии с правилом (120,12) (мы имеем здесь дело со слу­чаем, когда одна из величин (Q_t) остается неизменной при из­менении знака времени, а другая (Р_{)—меняет знак).

В соответствии с общими соотношениями (120,5) мы можем теперь написать уравнения движения с учетом процессов дис­сипации, прибавив к правым сторонам равенств (121,2—3) неко­торые дополнительные линейные комбинации величин Xq., Хр₍, причем таким образом, чтобы была соблюдена требуемая сим­метрия кинетических коэффициентов. Легко, однако, видеть, что равенства (121,2) следует оставить неизменными; действительно, эти равенства представляют собой просто следствие определения импульсов (121,1), не имеющего отношения к наличию или от­сутствию процессов диссипации. Тем самым устанавливается, что к равенствам (121,3) можно добавить линейные комбинации лишь величин Хр. (т. е. производных дК1дР₍); в противном случае нарушится симметрия кинетических коэффициентов.

Таким образом, получаем систему равенств вида

Р -_l_Vv 2*-

dQ; 2-^y'^ft67V

где постоянные коэффициенты y_ik связаны соотношениями

V/* = Yw (121,4)

Заменив §p^ = Qk> напишем окончательно:

Это и есть искомая система уравнений движения. Мы видим, что наличие процессов диссипации приводит в рассматриваемом приближении к появлению дополнительных сил трения, линейно зависящих от скоростей движения. Вследствие соотношения (121,4) эти силы можно написать в виде производных по соответствую­щим скоростям от квадратичной функции

/=41>*<мг., 021,6)

1. *

называемой диссипативной функцией. Тогда

п _ dU df

(121,8)

Введя функцию Лагранжа L — K—U, можно написать эти уравнения движения в форме

d dL dL _ df

dt dQi dQ(dQi

которая отличается от обычной формы уравнений Лагранжа стоя­щей в правой стороне производной от диссипативной функции.

Наличие трения приводит к уменьшению полной механической энергии (K + U) движущихся тел. В соответствии с общими ре­зультатами § 120 скорость этого уменьшения определяется дис­сипативной функцией. Ввиду некоторого различия в обозначениях здесь и в § 120, покажем это заново. Имеем

£<*+">-£(&>.+3;«.)-1:«<(><+$

j= 1 i

или, подставив (121,7) и имея в виду квадратичность диссипа­тивной функции,

|(/C + t/) = -2Q^ = -2/, (121,9)

как и должно было быть.

Укажем в заключение, что при наличии внешнего магнитного поля уравнения движения по-прежнему имеют вид (121,5), с той лишь разницей, что вместо (121,4) будет

Y«(h) = TwC-h).

Благодаря этому, однако, не будет существовать диссипативной функции, производные от которой определяли бы силы трения; поэтому уравнения движения не смогут быть написаны в виде (121,7).

§ 122. Спектральное разложение флуктуации

Введем спектральное разложение флуктуирующей величины x(t) по обычным формулам разложения Фурье:

х_а= J x(t)e^mdt, (122,1)

— 00

и обратно

со

*(/)= J ^Х^~^Ш^'(122,2)

— 00

Следует заметить, что интеграл (122,1) фактически расходится, поскольку x(t) не стремится к нулю при \t\—*-«>. Это обстоя-

тельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов¹).

Подставляя (122,2) в определение корреляционной функции (118,1), получим

со

Ф ₍г-*)=<*(f)х(г)> = 55<w>е-^1ш+°>'">. (122,3)

— со

Для того чтобы интеграл в правой стороне равенства был функ­цией только от разности t — г', подынтегральное выражение должно содержать б-функцию от co-f-co', т. е. должно быть

<х_ах_а.> = 2п(х*)_а6 (& + &'). (122,4)

Это соотношение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически посредством (лг²)_ш. Хотя вели­чины х_т комплексны, но (х²)_а, очевидно, вещественны. Действи­тельно, выражение (122,4) отлично от нуля лишь при со' =— со и симметрично по отношению к перестановке со и со'; поэтому (х²)сл = (х²)-а» а перемена знака со эквивалентна переходу к комп­лексно-сопряженным величинам.

Подставляя (122,4) в (122,3) и исключая б-функцию интегри­рованием по dco, находим

со

9(0= j(х%е~^^. (122,5)

— ОО

В частности, ср(0) есть средний квадрат флуктуирующей ве­личины:

00 со

<^>=1^)^=1²^^- ОВД

— со о

Мы видим, что спектральная плотность среднего квадрата флук­туации как раз совпадает с величиной (%% (или 2(х²)_а, если интеграл распространен только на положительные частоты). Эта же величина является, согласно (122,5), и компонентой Фурье корреляционной функции. Обратно:

со

(х%= Jy{t)e^mdt. (122,7)

— СО

¹) В способе введения спектрального разложения флуктуации мы следуем С. М. Рытову.

В написанных формулах величина x(t) предполагалась клас­сической. В случае квантовой величины разложение (122,1—2) должно относиться к зависящему от времени оператору x(t), а определение спектральной плотности (х^г)_а записывается (вместо (122,4)) в виде

у + = 2я (х% б (со fсо'). (122,8)

Для корреляционной функции квазистационарных флуктуации одной величины в § 118 было получено выражение (118,8). Эле­ментарное интегрирование дает следующий результат для ее спектрального разложения:

⁼ j[a^=7^ + X+7^"] ⁼р(со2 + Я2) • (122,9)

В соответствии с физическим смыслом приближения, отвечающего квазистационарным флуктуациям, это выражение применимо лишь для частот, малых по сравнению с обратным временем неполного равновесия.

В терминах введенной в конце § 118 случайной силы у (t) временная зависимость флуктуирующей величины х описывается уравнением х = — %х-\-у. Умножив его на е^ш и проинтегриро­вав по dt в пределах от — оо до -f- со (причем член хе^ш инте­грируется по частям¹)), получим (X — ш)х_и = г/_и. Отсюда ясно, что надо положить

(*/%=(©•+ Х»)(*»)_в = -^. (122,10)

Это выражение можно, конечно, получить и прямо из (118,10). Наличию б-функции б (г) в (118,10) отвечает в (122,10) незави­симо («/% от со.

Написанные формулы непосредственно обобщаются на флук­туации одновременно нескольких термодинамических величин x_lt х₂,... Соответствующие корреляционные функции q>ik(t) были определены в § 119. Компоненты их спектрального разложения определяются как

CD ОЭ

=JЧ>«О ^dt= S <*iW**<°)>^еШdt> (122,11)

— 05 — 00

а вместо (122,4) имеем

<*ta.W> = 2я (хсх_к)а б (со + со') (122,12)

^х) При этом члены, содержащие х(± оо), следует опустить; их появление связано с упомянутой выше фактической расходимостью интегралов (122,1). С формальной точки зрения эти члены все равно несущественны при вычисле­нии среднего (у_ау_а>>, поскольку они конечны при <в' = —со и могут быть опущены по сравнению с 6-функционным основным членом.

(в обозначении (*,-х*)_щ порядок множителей существен!).

Изменение знака времени эквивалентно замене со—— са в спектральном разложении, а эта замена в свою очередь озна­чает комплексное сопряжение величин {х₍х_к)_а. Поэтому равенство Ф|*(0 ⁼ Ф*/(—0 (49,2) означает, что

(_Xix_R) = (x_kXi). „ = (ад)* • (122,13)

Симметрия же флуктуации по отношению к обращению времени, выражающаяся равенствами (119,3) или (119,4), в терминах спек­трального разложения записывается как

(х_{х_к)_ш = ± (*/**)-«= ± (^х1^хк)ш (122,14)

где знаки + или — относятся соответственно к случаям, когда сами величины х,- и х_к ведут себя одинаково или по-разному по отношению к обращению времени; в первом случае, следовательно, величина (*,•**)«> вещественна и симметрична по индексам i, k, а во втором — мнима и антисимметрична.

В § 119 была написана система уравнений (119,8), которой подчиняются корреляционные функции квазистационарных флук­туации. Эти уравнения легко решаются с помощью спектраль­ного разложения.

Поскольку уравнения (119,8) относятся только к временам t > 0, производим над ними «одностороннее» преобразование Фурье: умножаем уравнения на е^ш и интегрируем по dt в пре­делах от 0 до оо. При этом член e^iv>t<f_n(t) интегрируется по ча­стям; учитывая, что q>₍₇(oo) = 0, получим

— Фн (0)—to (*л)2"'= — А.»

где введено обозначение

(*Л)&^>=$Ф;| Л. (122,15)

о

Значение ц>ц(0) определяется «начальным условием» (119,9); по­этому

(X_ik—m8_ik) ix_kXiY^ = В,?

или

{lik—toP_/A) (***«)»' =

где вместо коэффициентов X_ik введены более удобные (ввиду их симметрии) кинетические коэффициенты £i* = Pi^** (см. (120,13)). Решение этой алгебраической системы уравнений

где —1 в показателе означает взятие обратной матрицы.

С другой стороны, интересующие нас компоненты спек­трального разложения (122,11) выражаются через компоненты

«одностороннего» разложения (122,15) равенствами

(*Л)* = + (***,)£>*; (122,16)

в этом легко убедиться, представив интеграл от — оо до + со в виде суммы двух интегралов (от —оо до 0 и от 0 до + оо), заменив в первом из них t—*■—t и воспользовавшись свойством симметрии (119,2). Таким образом, окончательно находим

(xtx_k)_a =(С-ifflP)»¹+«+ (122,17)

В силу свойств симметрии матриц £,_й и В,-_А, величины (122,17) автоматически обладают свойствами (122,13) или (122,14)!).

Полученные результаты можно представить в другом виде, введя в релаксационные уравнения «случайные силы» подобно тому, как это было сделано в конце § 118 для одной флуктуи­рующей величины. При этом корреляционные свойства этих сил фурмулируются в особенно простом виде, если ввести их в урав­нения, записанные с помощью термодинамически взаимных вели­чин—как это сделано в (120,5) или (120,13). Так, введя случай­ные силы У,- в уравнения (120,13), запишем их в виде

*,- = -£/**» +Г,; (122,18)

величинами У,- можно пренебречь, когда х₍ становятся больше своих средних флуктуации. Аналогично тому, как это было сде­лано при выводе (122,10), получим после простого вычисления следующую формулу для спектрального разложения корреляцион­ных функций случайных сил:

(У₁-У»)_И = С«+ С«. (122,19)

Как и в (122,10), эти величины не зависят от частоты. Если же ввести случайные силы у; в уравнении (120,5):

х1 = -Ъ_кХ_л+у„ (122,20)

то для их корреляционной функции получится аналогичная фор­мула

(У1Ук)* = Ч1_к + Чы- (122,21)

Эта формула очевидна без новых вычислений, если снова вспом­нить о взаимном характере соответствия между величинами х_{ и X,- (см. примечание на стр. 367). Преимущество формул (122,19)

^J) Матрица величин р,д всегда симметрична. Но если некоторые и х_к ведут себя по-разному при обращении времени, то соответствующее р,-_А=0. Это следует из того, что р,£ есть коэффициент при произведении jc,\*_ft в квадратич­ной форме (111,1), определяющей изменение энтропии при отклонении от рав­новесия. Поскольку энтропия инвариантна относительно обращения времени, а произведение х{х_к меняет знак, то энтропия не может содержать такого члена, т. е. должно быть р,^ = 0.

и (122,21) состоит в том, что в них входят компоненты самих матриц t,_ik и y_ik, а не обратных им¹).

В качестве примера применения полученных формул рассмот­рим флуктуации одномерного осциллятора. Другими словами, рассмотрим тело, покоящееся в равновесном положении (Q = 0), но способное совершать малые колебания по некоторой макро­скопической координате Q. Благодаря флуктуациям координата Q будет в действительности испытывать отклонения от значений Q=0. Средний квадрат этого отклонения определяется непо­средственно по коэффициенту в квазиупругой силе, действующей на тело при его отклонении.

Напишем потенциальную энергию осциллятора в виде

где т—его «масса» (т. е. коэффициент пропорциональности между обобщенным импульсом Р и скоростью Q:P = mQ), а со₀—ча­стота свободных колебаний (в отсутствие трения). Тогда средняя квадратичная флуктуация (ср. задачу 7, § 112) будет равна

«?*> = -£;-. (122,22)

/ШВо

Спектральное разложение флуктуации координаты произведем для общего случая, когда колебания осциллятора сопровож­даются трением.

Уравнения движения осциллятора с трением гласят:

' Q=-£, (122,23)

P = -mcoe,Q-₇-£, (122,24)

где—уР/т =— yQ есть сила трения. Как было объяснено в § 121, если рассматривать Q и Р как величины х, и х_г, то соответствующими Х₁ и Х_а будут: m&tQlT и Р/тТ. Уравнения (122,23—24) играют при этом роль соотношений x_t = — Y,-_ftX_A, так что

7п = 0, Yi₂ = — Т_й1 = — Т, у₂₂ = уТ.

Чтобы применить эти уравнения к флуктуациям, переписы­ваем (122,24) в виде

P = — matQ-±P+y, (122,25)

!) Независимость выражений (122,19) и (122,21) от частоты означает (как и в случае формулы (122,10) для одной флуктуирующей величины), что сами корреляционные функции <К,- (t) Y_k (0)> и <щ \t) у_к (0)> содержат б-функцию времени. Так,

<!/i V) Ук (0)> = (т» + v«) в (0- (122,21а)

введя в его правую часть случайную силу у. Уравнение же (122,23), являющееся определением импульса, следует оставить неизменным. Согласно формуле (122,21) непосредственно находим спектральную плотность флуктуации случайной силы:

(*/% = 2у₂₂ = 2уГ. (122,26)

Наконец, для нахождения искомого (Q²)_ffl пишем, подставив P = mQ в (122,25):

mQ+yQ+ma>lQ=y. (122,27)

Умножив это уравнение на е^ш и интегрируя по времени, найдем

(— mco²—j coy +/nco²) Q₍₀ = y_(i>, откуда окончательно

(Q%= ₂/,^2TL, ,.. (122,28)

m² (со²—соо)²+со³7^{2 4} ' '

§ 123. Обобщенная восприимчивость

Невозможно получить общую формулу для спектрального распределения произвольных флуктуации, аналогичную форму­ле (122,9) для квазистационарных флуктуации. Однако в ряде случаев оказывается возможным связать свойства флуктуации с величинами, характеризующими поведение тела под действием определенных внешних воздействий. При этом речь может идти о флуктуациях как классических величин, так и величин кван­товой природы.

Физические величины этой категории обладают тем свойством, что для каждой из них существует такое внешнее воздействие, которое описывается появлением в гамильтониане тела возму­щающего оператора вида

V = -xf(t), (123,1)

где х—оператор данной физической величины, а возмущающая обобщенная сила f есть заданная функция времени.

Квантовомеханическое среднее значение х при наличии такого возмущения отлично от нуля (в то время как в равновесном состоянии в отсутствие возмущения х = 0) и может быть пред­ставлено в виде а/, где а—линейный интегральный оператор, действие которого на функцию / (t) определяется формулой вида

со

x(t) = af= 5«(т)/(г—T)dx, (123,2)

§ 123] ОБОБЩЕННАЯ восприимчивость 411

где а(т)—функция времени, зависящая от свойств тела. Зна­чение х в момент времени t может, конечно, зависеть от зна­чений силы f лишь в предшествующие (а не последующие) моменты времени; выражение (123,2) удовлетворяет этому требо­ванию. О величине x(t) говорят как об отклике системы на внешнее возмущение.

Всякое зависящее от времени возмущение может быть сведено путем фурье-разложения к совокупности монохроматических компонент, зависящих от времени как е~^ш. Подставив в (123,2) / и х в виде /ше^-"⁰' и х_ае-^ш, получим связь между фурье-ком-понентами силы и отклика в виде

х„ = а (©)/«,, (123,3)

где функция а (со) определяется как

о(ев)= J a(t)e^la>tdt. (123,4)

о

Задание этой функции полностью определяет поведение тела под влиянием данного возмущения. Мы будем называть а (со) обоб­щенной восприимчивостью¹). Эта величина играет основную роль в излагаемой теории, поскольку через нее выражаются, как мы увидим, флуктуации величины х^г).

Функция а (со), вообще говоря, комплексна. Обозначим ее вещественную и мнимую части посредством а и а":

а (со) = а'(со)-На" (со). (123,5)

Из определения (123,4) сразу видно, что

о(— со) = а* (со). (123,6)

Отделяя здесь вещественную и мнимую части, находим

а'(— со) = а' (со), а" (_©) = — а" (со), (123,7)

!) В качестве примера укажем, что / может представлять собой электри­ческое поле, а х—электрический дипольный момент, приобретаемый телом в этом поле. При этом а является электрической поляризуемостью тела. ²) Определенная указанным образом величина а (<в) представляется более удобной, чем иногда используемый обобщенный импеданс Z(ro) = —l/tcooc(a>), представляющий собой коэффициент в соотношении /а = Z(co) (х)_№.

т. е. а'(со)—четная, а а" (со) — нечетная функция частоты. При со = О функция а" (со) меняет знак, проходя через нуль (или в неко­торых случаях через бесконечность).

Следует подчеркнуть, что свойство (123,6) выражает собой просто тот факт, что отклик х должен быть вещественным при всякой вещественной силе /. Если функция f(t) чисто монохро­матическая и задается вещественным выражением

/ (t) = Re/₀е-^ = 1 [/.е-** (123,8)

то путем применения оператора а к каждому из двух членов получим

х =1 [ос (со) f₀e~^ -fa (-со) №<*];(123,9)

условие вещественности этого выражения совпадает с (123,6).

В пределе со —>■ оо функция а (со) стремится к конечному ве­щественному пределу Для определенности будем считать ниже, что этот предел равен нулю; отличное от нуля а*, требует лишь очевидных незначительных изменений в некоторых из по­лучаемых ниже формул.

Дата добавления: 2014-11-07