Ol — V2X 29 страница

*)• При этом (P I т)² не меняет вектора k (или превращает его в эквива­лентный), т. е. заведомо входит в группу собственной симметрии вектора к.

т h_k [(s_t I о)*] + %_k [(sj i o)*]}=_Xk [(c₂1 o)]

и равна -f-1 для малого представления А и —1 для малого представления В, для которых, следовательно, имеют место случаи (а) и (в)—снова в соответствии с уже найденными результатами.

§ 136. Свойства симметрии нормальных колебаний кристаллической решетки

Одно из физических применений математического аппарата представлений пространственных групп состоит в классифика­ции нормальных колебаний решетки по их свойствам сим­метрии ^х).

Напомним, что в решетке с v атомами в элементарной ячейке для каждого заданного волнового вектора к существует 3v нор­мальных колебаний, каждое со своим значением частоты со (к). Во всей области изменения к закон дисперсии колебаний со = со (к) имеет, другими словами, 3v ветвей со_а(к); каждая из со«(к) пробегает значения в некотором конечном интервале — энергетической зоне фононов. Все существенно различные зна­чения волнового вектора заключены в одной элементарной ячейке обратной решетки; если же рассматривать всю бесконеч­ную обратную решетку, то в ней функции со_а (к) периодичны:

со_а(к + Ь) = со_а(к). (136,1)

Физические основания для классификации колебаний решетки по неприводимым представлениям ее группы симметрии—те же, что и для аналогичной классификации в случае конечных сим­метричных систем—многоатомных молекул (см. III, § 100). Нормальные координаты колебаний, осуществляющие собой (в качестве базиса) некоторое неприводимое представление группы симметрии решетки, относятся к одной и той же частоте.

*) Представления пространственных групп впервые были применены к изу­чению физических свойств кристаллических решеток Хундом (F. Hand, 1936) и Баукартом, Вигнером и Смолуховским (L. P. Bouckaert, R. Smoluchowski. Е. P. Wigner, 1936).

Каждое неприводимое представление пространственной группы задается, прежде всего, своей звездой волновых векторов. От­сюда сразу следует, что частота одинакова для всех нормаль­ных колебаний, отличающихся лишь значениями к из одной и той же звезды. Другими словами, каждая из функций со_а(к) обладает полной симметрией направлений данного кристалличе­ского класса. При этом, как было указано в предыдущем пара­графе, в силу симметрии по отношению к обращению времени звезда к должна быть дополнена всеми векторами —к (еслизвезды к и —к не совпадают сами по себе); другими словами, всегда^х)

со_а(-к) = ю_а(к). (136,2)

При заданном значении к (т. е. для одного из лучей звезды) нормальные координаты распределяются по базисам малых пред­ставлений, отвечающих различным частотам. Если размерность / малого представления больше единицы, то это значит, что при данном значении к имеет место вырождение: частоты в f вет­вях совпадают.

Когда вектор к занимает (в обратной решетке) общее поло­жение, он не имеет никакой собственной симметрии (его группа содержит лишь единичный элемент—тождественное преобразова­ние); все 3v значений со_а (к) при этом, вообще говоря, различны. Вырождение может появиться, когда собственная симметрия волнового вектора настолько высока, что его группа имеет не­приводимые представления с размерностью / > 1. С учетом одной лишь пространственной симметрии это может произойти либо в изолированных точках обратной решетки, либо на целых прямых линиях (осях симметрии) в ней. Симметрия же относи­тельно обращения времени может привести также и к вырожде­нию (двукратному) на целых плоскостях в к-пространстве (F. Hund, 1936; С. Herring, 1937); согласно сказанному в пре­дыдущем параграфе такое вырождение может иметь место на плоскостях, перпендикулярных к винтовой оси второго порядка (см. пример представлений, связанных со звездой (135,2))²).

²) Помимо вырождений, связанных с симметрией решетки, может иметь место также и вырождение при «случайных» значениях к; существование таких вырождений могло бы быть предсказано теоретически лишь путем фактического решения уравнений движения атомов в конкретной решетке. Исследование возможных здесь случаев—см. С. Herring, Phys. Rev 52, 365, 1937 (эта статья воспроизведена также в сборнике: Р. Нокс, А. Голд, Симметрия в твер­дом теле, «Наука», 1970).

Для того чтобы произвести классификацию нормальных коле­баний конкретной кристаллической решетки, надо прежде всего найти полное колебательное представление пространственной группы, осуществляемое сразу всеми колебательными координа­тами (векторами смещения атомов). Это представление приво­димо и, разложив его на неприводимые части, мы тем самым определим кратности вырождения частот и свойства симметрии соответствующих колебаний. При этом может оказаться, что одно и то же представление входит в колебательное представ­ление несколько раз: это будет означать, что имеется несколько различных частот одинаковой кратности с колебаниями одина­ковой симметрии.

Эта процедура аналогична способу классификации колебаний молекулы (III, § 100). Существенное отличие состоит, однако, в том, что колебания решетки характеризуются еще и пара­метром к, пробегающим непрерывный ряд значений, и класси­фикация должна производиться для каждого значения (или каждой категории значений) волнового вектора в отдельности. Заданием значения к определяется звезда неприводимого пред­ставления пространственной группы. Поэтому фактически необ­ходимо определить лишь колебательное малое представление и разложить его на неприводимые малые же представления — неприводимые представления группы симметрии вектора к.

В особенности просто проведение классификации предельных (при к—э-0) колебаний решетки. При к = 0 неприводимые малые представления для всех (как симморфных, так и несимморфных) пространственных групп совпадают с неприводимыми представ­лениями точечной группы симметрии решетки—ее кристалличе­ского класса. Для нахождения же колебательного представления Фкол) ^наД° рассматривать только атомы в одной элементарной ячейке (другими словами, все трансляционно эквивалентные атомы¹) надо рассматривать как один и тот же атом). Не повторяя заново всех рассуждений, которые проводятся в этой связи для колебаний атомов в молекуле, сформулируем следую­щее правило нахождения характеров колебательного представ­ления решетки для к = 0. Характеры поворота С(ср) на угол ср вокруг оси симметрии или поворота S(<p) вокруг зеркально-поворотной оси, равны

%«oAC)=v_c%v(C), x_K0AS) = v_sXv(S), (136,3)

где

_x„(Q=l+2cos9, x*(S) = -l+2cos<P

*) То есть заполняющие узлы одной и той же решетки Бравэ. ²) В случае молекулы в характерах колебательного представления должно было производиться вычитание с целью исключения координат, отвечающих смещению или повороту молекулы как целого. В случае решетки число (6) этих степеней свободы исчезающе мало по сравнению с полным числом степе­ней свободы, и соответствующее вычитание не требуется.

— характеры представления, осуществляемого тремя компонен­тами вектора (полярного), a v_c или v_s—число атомов, которые при преобразовании остаются на месте или переходят в транс­ляционно эквивалентные места²). Эти же формулы определяют характеры для отражения в плоскости (преобразование S(0)) и для инверсии в центре симметрии (преобразование S(n)).

Поворот вокруг винтовой оси или отражение в плоскости сколь­жения заведомо переводят все атомы в трансляционно не экви­валентные положения; поэтому для них всегда %_км=0.

^г) Во избежание недоразумений, отметим, что классификация предельных частот оптических ветвей колебаний по одной лишь кристаллографической сим­метрии решетки недопустима для ионных кристаллов. Длинноволновые оптиче­ские колебания ионной решетки сопровождаются появлением макроскопической поляризации кристалла и связанного с нею макроскопического электрического поля; это поле, вообще говоря, меняет (понижает) симметрию колебаний. ²) Координаты атомов даются по отношению к ребрам кубической ячейки (в единицах длины этих ребер). Напомним, что объем кубической гранецентри-рованной ячейки в четыре раза больше объема элементарной ячейки. Основ­ными периодами решетки являются векторы, проведенные из вершины в точки (1/2 1/2 0), (1/2 0 1/2), (0 1/2 1/2)—центры граней кубической ячейки. ⁸) Точечную группу О/, можно рассматривать как прямое произведение ОхС,- или TaxCi; мы пользуемся здесь вторым из них. В соответствии с этим неприводимые представления группы О/, строим из представлений группы T_d. В частности, представления F_2g и F_2a точечной группы О/, получаются из представления F₂ группы T_d, отличаясь друг от друга соответственно четностью или нечетностью по отношению к инверсии (см. III, § 95). *) Предельная частота акустических колебаний всегда вырождена: макро­скопический характер этих колебаний приводит к одинаковому значению со=0 для всех трех ветвей, даже если это не вызывается требованиями симметрии. В этом смысле это вырождение является {случайным».

Проиллюстрируем эти правила примером¹). Решетка алмаза относится к несимморфной пространственной группе О_п. Она имеет гранецентрированную кубическую решетку Бравэ с двумя одинаковыми атомами в элементарной ячейке, занимающими положения в вершинах (ООО) и в точках (1/4 1/4 1/4) на про­странственных диагоналях кубических ячеек²). Половина пово­ротных элементов группы 01 совпадает с вращениями и отра­жениями точечной группы T_d. Эти преобразования оставляют оба атома на местах или переводят их в трансляционно экви­валентные положения; поэтому характеры колебательного пред­ставления для этих элементов: %_коя — 2у^,. Остальные же пово­ротные элементы группы 01 представляют собой винтовые вращения и отражения в плоскостях скольжения, получающиеся комбинированием элементов группы Т_а с,инверсией (/|т), где т = (1/2 1/2 1/2); эти элементы совмещают атом в точке (ООО) с атомом в трансляционно неэквивалентной точке (1/4 1/4 1/4), так что их характеры %_кол = 0. Разложение полученного таким образом колебательного представления по неприводимым пред­ставлениям точечной группы O_h: D_K03 = F_2g+F_2a³). Координаты акустических, колебаний, описывающие при к = 0 смещение ячейки как целого, преобразуются как компоненты вектора; им отвечает, следовательно представление F_2a, по которому пре­образуются в группе О_н компоненты вектора. Представление же F_2g отвечает трехкратно вырожденной предельной частоте оптических колебаний⁴).

При выходе из точки к = 0 вырождение оптических колеба­ний, вообще говоря, снимается. В зависимости от симметрии величина расщепления может меняться (вблизи точки к = 0) как однородная функция первого или второго порядка от ком­понент вектора к. Соответствующий критерий легко получить в терминах квантовомеханической теории возмущений. Гамиль­тониан колебаний решетки с малым волновым вектором к = бк имеет вид #₀-f-v6k, где Я„—гамильтониан колебаний с к = 0, a у—некоторый векторный оператор; член 76k играет роль воз­мущения, вызывающего расщепление. Величина расщепления будет первого порядка по бк, если оператор у имеет отличные от нуля матричные элементы для переходов между состояниями, относящимися к одной и той же вырожденной частоте колеба­ний; в противном случае расщепление будет второго порядка по бк. При этом надо учесть, что оператор у нечетен по отно­шению к обращению времени; это следует из того, что нечетен волновой вектор бк, а произведение 76k (как и всякий гамиль­тониан) должно быть инвариантно относительно обращения времени. Таким образом, решение поставленного вопроса сво­дится к выяснению правил отбора для диагональных (по частоте) матричных элементов векторного оператора, нечетного относи­тельно обращения времени (см. III, §97). Если вырожденная ча­стота отвечает некоторому неприводимому представлению D, то эти правила определяются разложением антисимметричной части его прямого произведения самого на себя: {D²}; отличные от нуля матричные элементы существуют, если это разложение со­держит в себе части, по которым преобразуются компоненты вектора.

Расщепление заведомо будет второго порядка по бк, если точечная группа симметрии решетки (кристаллический класс) содержит центр инверсии; это очевидно уже из того, что квад­ратичный базис представления {D²} заведомо четен относительно инверсии, между тем как компоненты вектора меняют знак при этом преобразовании. Если же кристаллический класс не содер­жит инверсии, то возможны оба случая. Так, для кристалличе­ского класса О антисимметричные произведения самих на себя для двумерного неприводимого представления Е и трехмерных представлений и F₂ ^х)

{£²} = Л₂, {Fl\ = {Fl\ = F₁ + F₂.

') Обозначения неприводимых представлений точечных групп—см. III, §95.

Компоненты же вектора преобразуются по F,, поэтому расщеп­ление двукратно вырожденной частоты будет второго, а трех­кратно вырожденных—первого порядка по бк.

Обратимся к колебаниям с отличным от нуля волновым вектором. Их классификация в случае симморфных пространст­венных групп производится так же, как и в описанном выше случае к = 0. Неприводимые малые представления совпадают здесь с неприводимыми представлениями точечной группы сим­метрии вектора к, а для нахождения колебательного малого представления надо по-прежнему рассматривать атомы только в одной элементарной ячейке.

Продемонстрируем эту процедуру на примере оптических колебаний решетки алмаза. Гранецентрированной решетке Бравэ этой структуры отвечает объемноцентрированная кубическая обратная решетка. В точке к = 0 (вершина кубической ячейки) собственная симметрия волнового вектора— O_h, и имеется (как было выяснено выше) одна трехкратно вырожденная частота оптических колебаний, отвечающая представлению F_2g; харак­теры этого представления ¹):

Е 8С₃ ЗС₂ 6а' 65₄ / 8S₆ За 6С₂ 6С₄ F_2g: 3 0 —1 1 —1 3 0 —1 1 —1 "

Проследим за расщеплением этой частоты при выходе из точки к = 0.

При смещении вдоль пространственной диагонали кубической ячейки вектор к приобретает собственную симметрию C_9V. По отношению к этой группе представление, осуществляемое теми же тремя колебательными координатами, приводимо:

Е 2С₃ За' 3 0 1 =Е+А_1г

т. е. трехкратно вырожденная частота расщепляется на одну двукратно вырожденную и одну невырожденную. Такого же типа расщепление произойдет при смещении вдоль ребра куби­ческой ячейки, где собственная симметрия волнового вектора — C_iv:

Е С₂ 2С₄ 2а 2а'

3 —1 —1 —1 1 =£ + £₂.

При смещении вдоль диагонали грани кубической ячейки соб­ственная симметрия вектора к понижается до C_2v и расщепле­ние частот полное:

Е С'₂ а а'

*) Перечислены сначала элементы симметрии, входящие в точечную группу Тд, а затем—элементы, получающиеся умножением предыдущих на инверсию/. Элементы ЗС₂—повороты на угол л вокруг осей, проходящих через ребра кубической ячейки; 6С₂—повороты на я вокруг диагоналей граней кубической ячейки; 6а'—отражения в плоскостях, проходящих через противоположные ребра кубической ячейки; За—отражения в плоскостях, совпадающих с гра­нями ячейки.

3 1-11 =Ai+A_s + B_t.

Для кристаллических решеток несимморфных пространст­венных групп процедура классификации нормальных ко­лебаний более громоздка, и мы на этом останавливаться не будем *).

§ 137. Структуры с одно- и двумерной периодичностью

Характерной особенностью твердых кристаллов является трехмерная периодичность функции плотности р(х, у, г), про­стирающаяся на неограниченные расстояния. Рассмотрим вопрос о возможности существования в природе тел, у которых функ­ция плотности была бы периодична лишь в одном или двух измерениях (R. Peierts, 1934; Л. Д. Ландау, 1937).

Так, тело с р = р(х) можно было бы представлять себе как состоящее из правильным образом расположенных друг относи­тельно друга параллельных плоскостей (перпендикулярных к оси х), в каждой из которых, однако, атомы расположены бес­порядочным образом. При р — р(х, у) атомы были бы располо­жены беспорядочным образом вдоль линий (параллельных оси г), в то время ка* сами эти линии располагались бы правильным образом друг относительно друга.

Для исследования поставленного вопроса рассмотрим смеще­ния, испытываемые малыми участками тела в результате тепло­вых флуктуации. Ясно, что если такие смещения будут неогра­ниченно возрастать с увеличением размеров тела, то это автоматически приведет к «размыванию» функции р, т. е. воз­никнет противоречие со сделанным предположением. Другими словами, могут осуществляться лишь такие структуры, для которых среднее смещение остается конечным при сколь угодно больших размерах тела.

Проверим прежде всего, что это условие выполняется для обычного кристалла. Обозначим посредством и(х, у, z) вектор флуктуационного смещения малого участка с координатами х, у, z и представим его в виде ряда Фурье

u = 2u_ke^lkr, (137,1)

к

^х) Примеры, относящиеся к таким группам, можно найти в указанной на стр. 458 книге Г. Л. Вира и Г. Е. Пикуса.

причем компоненты вектора к пробегают как положительные, так и отрицательные значения, а коэффициенты Uk связаны соотношениями u_k = Uk, следующими из вещественности и. В ряде (137,1) будут присутствовать лишь члены с не слишком большими волновыми векторами (k^l/d, где d—линейные раз­меры смещающегося участка). Будем рассматривать флуктуации при постоянной температуре; их вероятность определяется тогда формулой

ю«*ехр(—AFJT), (137,2)

где

AF_n=l(F—F)dV (137,3)

есть изменение полной свободной энергии тела при флуктуации, a F обозначает теперь свободную энергию, отнесенную к еди­нице объема тела (ср. (116,7)).

Для вычисления AF„ надо разложить F—F по степеням сме­щения. При этом в разложение войдут не сама функция и (х, у, г), а лишь ее производные, поскольку разность F—F должна обра­щаться в нуль при u = const, что соответствует простому смещению тела как целого. Далее очевидно, что линейных по производным членов в разложении не может быть: в противном случае F не могло бы иметь минимума при и=0. Далее вследствие малости волновых векторов к в разложении свободной энергии можно ограничиться членами, квадратичными по первым производным от и, пренебрегая членами, содержащими производные высших порядков. В результате найдем, что AF„ имеет вид

AF„^V^u_iku^_u(k_x, k_y, k₂), (137,4)

k

где элементы вещественного тензора ср,-, (/, /—тензорные ин­дексы, по которым подразумевается суммирование)—квадратич­ные функции компонент вектора к¹).

Согласно (111,9) находим отсюда для средних квадратичных флуктуации фурье-компонент вектора смещения Т

<UivM'k> = y^Ji^x{k_x,ky,k_z), <";k«/k'> = 0 при к'ф—к, (137,5)

где фй¹ — компоненты тензора, обратного тензору ф,_г^г). Для большей наглядности представим это выражение в виде

¹)Члены с произведениями и_(ки_1к, ехр [(' (к + к/) г] с к'у£— к исчезают при интегрировании по объему. ²) Для установления общего численного коэффициента в (137,5) надо учесть, что каждое произведение u_iku]_k входит в (137,4) дважды (± к), давая 2 Re («,-к"*к)> ^а вещественная часть произведения u_iku*_k сама есть сумма двух независимых произведений.

где величины Ац зависят только от направления вектора к
(п = к/&). Средние значения получаются из (137,6) сумми-

рованием по к; перейдя обычным образом от суммирования по к к интегрированию, получим, например, для среднего квадрата вектора смещения

Этот интеграл сходится на нижнем пределе (к—.0) как первая степень k¹). Таким образом, средний квадрат флуктуационного смещения оказывается, как и следовало, конечной величиной, не зависящей от объема тела.

Рассмотрим далее тело с функцией плотности p = p(x). По­скольку в направлениях осей у и г в таком теле р== const, то никакое смещение вдоль этих осей не может «размазать» функ­цию плотности, а потому не представляет для нас интереса. Надо, следовательно, рассмотреть только смещение и_х. Далее легко видеть, что первые производные ди_х/ду, ди_х/дг вообще не могут входить в разложение свободной энергии: если повернуть тело как целое вокруг оси у или г, то эти производные изме­нятся, между тем как свободная энергия должна, очевидно, остаться неизменной. Таким образом, в разложении F—F надо рассмотреть следующие квадратичные по смещению члены:

\ дх J ' дх \ ду² "f" дг\)' \ ду* ~Т" дг* J

(производные по у и г должны входить в симметричной комби­нации ввиду полной симметрии в плоскости у, г). При подста­новке в (137,3) они дадут соответственно члены вида

\и_хк\³к1, \и_л\^шк_ях; |м_л|²**,

где x* — ky-r-kl. Хотя последние два выражения содержат более высокие степени компонент волнового вектора, чем первое, но они могут быть одинакового порядка величины с ним, поскольку об относительной величине k_x и х заранее ничего не известно.

Таким образом, изменение свободной энергии будет иметь вид

к

*) Напомним, что написанный вид подынтегрального выражения относится лишь к не слишком большим значениям к.

где ф—квадратичная функция переменных k_x и х⁸. Вместо (137,7) будем теперь иметь

нового вектора). Но ввиду медленного (логарифмического) харак­тера расходимости интеграла размеры пленки, при которых флуктуации остаются еще малыми, могут оказаться довольно большими¹). В таких случаях пленка конечных размеров могла бы практически проявлять «твердо-кристаллические» свойства, и для нее можно было бы приближенно говорить о двумерной решетке. Мы увидим в следующем параграфе, что эти свойства двумерных систем еще усиливаются при понижении температуры.

§ 138. Корреляционная функция в двумерных системах

Выражение (137,11) определяет средний квадрат флуктуа­ционного смещения в каждой заданной точке двумерной кристал­лической системы. Более глубокое понимание свойств таких сис­тем может быть достигнуто путем рассмотрения функции кор­реляции между флуктуациями в различных точках системы.

Прежде всего заметим, что при Т = 0 двумерная решетка вполне могла бы существовать при любых размерах: расходи­мость интеграла (137,11) связана именно с тепловыми (ТфО) флуктуациями; пусть р₀ (г)—функция плотности этой системы при 7" = О²). Определим теперь корреляционную функцию флук­туации плотности при конечных, но достаточно низких темпе­ратурах (малых по сравнению с дебаевской). В этих условиях в решетке возбуждены лишь длинноволновые колебания; другими словами, изменение функции плотности определяется в основном длинноволновыми флуктуациями.

Пусть атомы в точках г решетки испытывают флуктуацион-ные смещения и (г). Если функция и (г) мало меняется на рас­стояниях порядка постоянной решетки (что соответствует инте­ресующим нас флуктуациям с малыми волновыми векторами), то изменение плотности в каждой точке пространства можно рас­сматривать как результат просто сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения. Другими словами, флуктуирующая плотность запишется как p(r) = p₀[r — и (г)], а корреляция между ее флуктуациями в различных точках г, и г₂ определяется средним значением

<Р (О P (г,)> = <р„ [г_х —u (г j\ р₀ [г,—и (г,)]>. (138,1)

Разложим периодическую функцию р₀ (г) в ряд Фурье (ср. (133,2)):

²) То же самое относится к трехмерным телам с одномерной периодич­ностью, для которых интеграл (137,9) расходится логарифмически. ²) Здесь и ниже в этом параграфе г=(х, у) — двумерный радиус-вектор в плоскости системы.

р„(г) = р+ 2 Рье'^Ьг, (138,2)

где b—векторы обратной решетки (плоской); из суммы выделен постоянный член р. При подстановке этих рядов в (138,1) и усред­нении члены с произведениями рьрь- с Ь' Ф—Ь, как мы увидим ниже, выпадают. Произведение же с Ь' = — b дает в (138,1) вклад

| р„|² ехр [i b (Г!—r₂)] <ехр [-i b(и_г—и,)]> (138,3)

(для краткости пишем u(r₁) = u₁, u(r₂) = u₂).

Распределение вероятностей для флуктуации вектора смеще­ния дается формулой (137,2) в которой AF„ — квадратичный функционал от u(r). Если рассматривать значения и (г) в раз­личных (дискретных) точках пространства как различные флук­туирующие величины х_а(а=\, 2,...), то это значит, что рас­пределение вероятностей для них—гауссово. Тогда можно вос­пользоваться для усреднения в (138,3) формулой

<ехр (а_ах_а)> = ехр (i-a._aa_b <х_ах_ь>^ (см. задачу к § 111), что дает

<ехр[—f Miii—и,)]>=ехр (— -g-frAfci). (138,4)

где

1и (г) = <(",•! — и„) («,!—««)> = 2 (щи,) — <и_ии_п> — <u_i2u_n->

(r = Ti—r_s). Остается подставить сюда и, и и, в виде разложе­ний (137,1). Заметив при этом, что средние значения (и^и^У равны нулю при к'Ф—к, а при к' = — к даются выраже­ниями (137,11), получим

%и (г) = Т J 2 (1 - cos кг). (138,5)

*) Проследив за происхождением этого множителя, заметим, что он возник в результате равенства b' = —b в (138,3). Легко убедиться, что при Ь' j=— b сокращений в подынтегральном выражении не происходит и интеграл расхо­дится. Поскольку эти интегралы входят в показатель экспоненты (ср. (138,4)), то их расходимость приводит к обращению в нуль соответствующих вкладов в корреляционную функцию.

Этот интеграл сходится при малых k, поскольку множитель (1 — coskr)cofe^a при к —«-0¹). Go стороны же больших значений & интеграл логарифмически расходится. Эта расходимость связана в действительности лишь с неприменимостью использованных приближений при больших k: при k_max,Ack_max ~ Т (с—ско­рость звука; см. § ПО) флуктуации перестают быть классичес­кими (при низких температурах это условие нарушается раньше, чем условие k<^. l/а, где а — постоянная решетки). Замечая также,

что при больших k член с быстро осциллирующим множителем cos кг в подынтегральном выражении может быть опущен, на­ходим

Х«(г)=1-^|1п(А_ш„г) (138,6)

(черта над A_it означает усреднение по направлениям вектора к в плоскости).

Искомую корреляционную функцию мы получим теперь, под­ставив (138,6) в (138,3—4) и просуммировав по Ь; асимптотиче­ский закон убывания этой функции с расстоянием г опреде­ляется наименее быстро убывающим членом суммы:

<p(r₁)p(r₂)>—p²c^-l-cos Ьг, «ь=2^Д«, (138,7)

где в качестве b надо выбрать тот из основных периодов об­ратной решетки, для которого величина аь имеет наименьшее значение.

Таким образом, в двумерной решетке корреляционная функ­ция хотя и стремится к нулю при г —+ оо (в противоположность трехмерной решетке, где она стремится к конечному пределу), но лишь по степенному закону, причем тем более медленному, чем ниже температура¹).

Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие вычисления приводят к закону такого же типа и для корреляционной функ­ции в трехмерной системе с функцией плотности р(х).

Напомним для сравнения, что в обычной жидкости корреля­ционная функция убывает по гораздо более быстрому, экспонен­циальному, закону (см. § 116).

§ 139. Симметрия по ориентации молекул

Условие р = const есть необходимое, но отнюдь не достаточ­ное условие изотропности тела. Это ясно видно из следующего примера. Представим себе тело, состоящее из молекул удлинен­ной формы, причем все положения в пространстве молекулы как целого (ее центра инерции) равновероятны, но оси молекул ориентированы преимущественно в одну сторону. Ясно, что такое тело будет анизотропным, несмотря на то, что для каждого из входящих в состав молекулы атомов будет р = const.

Дата добавления: 2014-11-07