Ol — V2X 28 страница

—:—:—-, т. е. эти длины относятся обратно пропорционально

Pi Рг Ps

индексам Миллера. Так, индексы Миллера плоскостей, парал­лельных координатным плоскостям (т. е. отсекающих от осей отрезки, относящиеся как оо:оо:1), равны (100), (010), (001) — соответственно для трех координатных плоскостей. Плоскости, параллельные диагональной плоскости основного параллелепипеда решетки, имеют индексы (111) и т. д.

Легко определить расстояние между двумя последовательными плоскостями одного и того же семейства. Расстояние плоскости

(133,7) до начала координат есть 2пт/Ь, где Ь есть длина дан­ного вектора обратной решетки. Для следующей плоскости это расстояние есть 2л (m-f-1)/&. Расстояние же d между этими дву­мя плоскостями есть

(133,8)

Отметим полезную в применениях формулу

2е'^Ьг=я2б(г — а), (133,9)

ь а

где суммирования справа и слева производятся соответственно по всем векторам прямой и обратной решеток. Сумма в правой стороне равенства—функция г, периодическая в прямой решетке; выражение слева—ее разложение в ряд Фурье¹). Аналогичная формула

2e'^ka = u'|]6(k—b) (133,10)

прямо следует из (133,9) ввиду взаимного характера связи между прямой и обратной решетками.

§ 134. Неприводимые представления пространственных групп

Физические применения теории симметрии обычно связаны с использованием математического аппарата так называемых представлений групп. В этом параграфе мы остановимся на во­просе о классификации и методе построения неприводимых пред­ставлений пространственных групп²).

Предварительно снова подытожим, в более математических терминах, изложенные в предыдущих параграфах сведения о струк­туре пространственных групп.

^х) Расходимость суммы при г = а связана с бесконечностью решетки. При рассмотрении решетки большого, но конечного объема значение суммы при г = а надо полагать равным числу N ячеек в решетке. ²) Предполагается знание читателем теории групп в объеме, содержащемся, например, в III, глава XII.

Каждая пространственная группа содержит подгруппу тран­сляций, заключающую в себе бесконечное множество всех воз­можных параллельных переносов, совмещающих решетку саму с собой; эта подгруппа и представляет собой с математической точки зрения то, что называется решеткой Бравэ кристалла. Полная пространственная группа получается из этой подгруппы добавлением п элементов симметрии, содержащих вращения и отражения, где л—число преобразований симметрии соответст­вующего кристаллического класса; эти элементы будем называть поворотными. Всякий элемент пространственной группы можно представить как произведение одной из трансляций на один из поворотных элементов¹).

Если пространственная группа не содержит винтовых осей и плоскостей скольжения (симморфная группа), то в качестве поворотных элементов можно выбрать просто п преобразований симметрии — вращений и отражений—кристаллического класса. В несимморфных же группах поворотные элементы представляют собой вращения и отражения с одновременным переносом на определенную долю одного из основных периодов решетки.

Для ясной характеристики элементов пространственной груп­пы удобно обозначать их символами (P\t), где Р — какое-либо вращение или отражение, a t—вектор одновременной трансля­ции; при воздействии на радиус-вектор г какой-либо точки: (P\t) г = Pr 4-t. Перемножение элементов происходит по очевид­ному правилу

(P'\V) (P\t) = (P'P\P't +1'). (134,1)

Элемент, обратный элементу (P\t), есть

(P|_t)-i = (p-i|_ р-Ц); (134,2)

при умножении на (P\t) он дает единичный элемент группы (Е\0) (где Е—символ тождественного поворотного преобразо­вания).

¹) Отметим, что подгруппа трансляций — абелева (все ее элементы комму­тативны между собой), и что она представляет собой нормальный делитель всей пространственной группы: все элементы группы, сопряженные с трансляциями, тоже являются трансляциями (напомним, что два элемента А я В называются сопряженными, если А = С~¹ВС, где С—тоже элемент группы.

В частности, чистые трансляции изображаются символом (£|а), где а—какой-либо из периодов решетки. Поворотные эле­менты в симморфных группах, выбранные указанным выше об­разом, являются элементами вида (Р\0). В несимморфных же группах поворотные элементы имеют вид (Я|т), где т—та доля периода решетки, на которую происходит перенос в винтовой оси или плоскости скольжения. В первом случае совокупность поворотных преобразований (Я|0) сама образует подгруппу про­странственной группы. Во втором же случае элементы (Р\х) сами по себе не образуют подгруппы, поскольку повторное их при­менение приводит не к тождественному преобразованию, а к тран­сляции на один из основных периодов решетки. Вращения же и отражения Р как таковые (т. е. если не различать простые и винтовые оси, простые плоскости симметрии и плоскости сколь­жения) всегда составляют группу—точечную группу симметрии, определяющую кристаллический класс; эту точечную группу удобно называть в данном аспекте группой направлений решетки¹).

Обратимся к построению неприводимых представлений про­странственных групп ²).

Всякое такое представление может быть осуществлено набо­ром функций вида

Фк«= u_kae^ikt, (134,3)

где к — постоянные волновые векторы, Uk_a—функции, инвариант­ные относительно трансляций; индекс а=1, 2,... нумерует функции с одинаковыми к. В результате параллельного переноса г—*r-f-a (где а—какой-либо период решетки), функции (134,3) умножаются на постоянные е'^ка. Другими словами, в осуществ­ляемом функциями (134,3) представлении матрицы трансляций диагональны. Очевидно, что два вектора к, отличающиеся на какой-либо период обратной решетки Ь, приводят к одинаковому закону преобразования функций фи_а при трансляциях: поскольку ab—целое кратное от 2я, то ехр (tab) =1. Такие векторы к мы будем называть эквивалентными. Если представлять себе векторы к проведенными из вершины ячейки обратной ре­шетки в различные ее точки, то все неэквивалентные векторы исчерпываются одной элементарной ячейкой.

^х) Во всех случаях связь между пространственной группой и группой на­правлений можно сформулировать с групповой точки зрения следующим образом. Распределим все элементы пространственной группы по п смежным классам, каждый из которых содержит бесконечное множество произведений одного из поворотных элементов на все возможные трансляции, т. е. все элементы вида (Р|т+а) с заданными Рит. Если теперь рассматривать каждый из смежных классов целиком как элемент новой группы, то мы получим так называемую фактор-группу исходной пространственной группы. Эта фактор-группа изоморф­на группе направлений. ²) Излагаемые ниже соображения принадлежат Зейтцу (F. Seitz, 1936). ³) Для преобразования вектора к в обратной решетке, разумеется, все оси и плоскости симметрии следует рассматривать как простые, т. е. надо рассма- тривать лишь группу направлений.

При воздействии же поворотного элемента симметрии (Р\т) функция ф_ка преобразуется в линейную комбинацию функций фк'а с различными а и вектором к', получающимся из к посредством данного вращения или отражения, произведенного в обратной решетке: k' =.Pk^a). Совокупность всех (неэквивалентных) векто­ров к, получающихся друг из друга при воздействии всех п поворотных элементов группы, называют звездой волнового век­тора к. В общем случае произвольного к его звезда содержит п векторов (лучей). В число функций фиа базиса неприводимого представления должны во всяком случае войти функции со всеми лучами звезды:» поскольку функции с неэквивалентными к умно­жаются при трансляциях на различные множители, то никаким выбором их линейных комбинаций нельзя добиться уменьшения числа преобразующихся друг через друга функций.

При определенных значениях к число лучей в его звезде может оказаться меньшим чем п, так как может оказаться, что некоторые из поворотных элементов симметрии не меняют к или превращают его в эквивалентный. Так, если вектор к направлен вдоль оси симметрии, то он не меняется при поворотах вокруг этой оси; вектор к, проведенный из вершины в центр элемен­тарной ячейки (k = b,/2, где Ь—один из основных периодов об­ратной решетки), при инверсии превращается в эквивалентный ему вектор — к = — Ь,/2 = к—Ь,-.

Совокупность поворотных элементов симметрии (рассматрива­емых все как простые вращения или отражения Р), входящих в данную пространственную группу и не меняющих вектора к (или превращающих его в эквивалентный), называют группой собственной симметрии вектора к или просто группой волнового вектора; она представляет собой одну из обычных точечных групп симметрии.

Рассмотрим сначала простейший случай симморфных прост­ранственных групп. Функции базиса неприводимого представле­ния такой группы могут быть представлены в виде произведений

фка=М>к, (134,4)

где функции и_а инвариантны относительно трансляций, а ■фк— линейные комбинации выражений е^,кг (с эквивалентными к), инвариантные относительно преобразований группы собственной симметрии вектора к; вектор к в (134,4) пробегает все значения своей звезды. При трансляциях функции и_а не меняются, а функ­ции ijJk (а с ними и фк_а) умножаются на ехр tka. При вращениях и отражениях, входящих в группу к, не меняются функции ijfc, а функции и_а преобразуются друг через друга. Другими сло­вами, функции и_а осуществляют какое-либо из неприводимых представлений точечной группы (о которых говорят в этой связи как о малых представлениях). Наконец, поворотные элементы, не входящие в группу к, преобразуют друг через друга наборы функции (134,4) с неэквивалентными к. Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде к на размерность малого представления.

Таким образом, задача о нахождении всех неприводимых представлений симморфных пространственных групп полностью сводится к классификации векторов к по их собственной сим­метрии и к известной задаче об отыскании неприводимых пред­ставлений конечных точечных групп.

Обратимся теперь к пространственным группам с винтовыми осями или плоскостями скольжения. Наличие таких элементов симметрии все еще остается несущественным, если волновой век­тор к при всех преобразованиях из его группы вообще не ме­няется (т. е. не переходит в эквивалентный)¹). В таких случаях соответствующие неприводимые представления по-прежнему осу­ществляются функциями вида (134,4), в которых и_а образуют базис представления точечной группы вектора к. Единственное отличие от случая симморфных групп будет состоять в том, что при поворотных преобразованиях функции ^k = expikr в (134,4) не остаются неизменными, а умножаются на exp(ikt).

Функции вида (134,4) становятся, однако, непригодными, если существует несколько эквивалентных векторов к, перехо­дящих друг в друга при преобразованиях группы их собствен­ной симметрии. При поворотном преобразовании, связанном с одновременным переносом т, функции ехр tkr с эквивалент­ными, но все же различными значениями к умножаются на раз­личные множители (поскольку Ьт/2я— не целое число); поэтому их линейные комбинации ifk не будут преобразовываться через самих себя.

^х) К этой категории всегда относятся, в частности, вектор к = 0 и вектор, занимающий общее положение, в котором единственным элементом его группы является тождественное преобразование. ²) Фактически эти части бывают равными лишь 1/2, 1/3, 2/3 (последние два значения —в группах ромбоэдрической и гексагональной систем). ³) Если рассматривать представления расширенной группы волнового век- тора как представления нерасширенной группы (одна из точечных групп), то соотношения между матрицами G, представляющими элементы G группы, будут

В таких случаях раздельное рассмотрение поворотных эле­ментов и трансляций уже невозможно. Однако из бесконечного множества трансляций достаточно включить в рассмотрение лишь конечное их число. Эти случаи возникают для векторов к, проведенных из вершины элементарной ячейки обратной решетки в некоторые выделенные точки внутри ячейки; коор­динаты (все три, или некоторые из них) этих точек выражаются простыми рациональными частями основных периодов b_t, b_a, b₃^a). Назовем расширенной группой волнового вектора группу, состав­ленную из поворотных элементов (вместе со связанными с ними трансляциями на доли периодов т) и из всех тех трансляций, для которых ка/2я— рациональная дробь (меньшая 1); осталь­ные же трансляции рассматриваются по-прежнему как тождест­венные преобразования. Функции cpk_a, осуществляющие непри­водимые представления составленной таким образом конечной группы (малые представления), вместе с такими же функциями фк'а других лучей из данной звезды к, осуществляют неприво­димое представление пространственной группы. Отметим, что размерность малых представлений в этих группах достигает шести (в группах кристаллического класса О_л)⁸).

Продемонстрируем этот способ на конкретном примере.

Рассмотрим пространственную группу D\_h, относящуюся к простой ромбической решетке Бравэ и содержащую следующие поворотные элементы¹):

(Е\0), (С*|0), (Cf|0), (Cf|0), (7|т), (а,|т), (а_у\х), (о_г\т),

где оси х, у, г направлены вдоль трех основных периодов ре­шетки, а т = (а! + а₂+а₃)/2 (оси симметрии С₂ простые, а пер­пендикулярные им плоскости с—плоскости скольжения). Выберем например, вектор

к = (1/2, 0, 0), (134,5)

где числа в скобках дают значения составляющих вектора по осям обратной решетки, измеренные в единицах длин ребер (&,= 2я/а,) ее ячейки. Собственная симметрия этого волнового вектора содержит все оси и плоскости точечной группы D_2h, так что этот вектор сам по себе составляет звезду. Расширенная группа получается добавлением трансляции (Е | a_t), для которой ка/2я = 1/2. В результате получим группу из 16 элементов, рас­пределенных по 10 классам, как показано в верхнем ряду табл. 2. В сопряженности (т. е. принадлежности к одному классу), напри­мер, элементов (Cf | 0) и (Cf | а_х) можно убедиться следующим обра­зом. Имеем

(/It)"¹ (Cf 10) (/ | т) = (/ | - т) (Су 10) (/ | т) =

= (/ | - т) (Cf / | Cf т) = (Cf I - т + Cf т).

Но

отличаться от соотношений между самими этими элементами: если G_XG₂ = G₃, то соответствующие матрицы представления будут, вообще говоря, связаны между собой не таким же равенством G₁G₂ = G₃ (как в обычных представле­ниях), а равенством вида GiG₂ = <в₁₂8₃, где <в₁₂ — некоторый фазовый мно­житель, равный единице лишь по модулю: |ю₁₂| = 1. Такие представления называют проективными. Все существенно различные проективные представ­ления могут быть раз и навсегда перечислены для каждой из точечных групп, и затем использованы в качестве малых представлений при построении неприво­димых представлений пространственных групп. Изложение теории проективных представлений и таблицы проективных представлений кристаллографических точечных групп можно найти в книге: Г. Л. Вир, Г. Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в полупро­водниках, «Наука», 1972. Существуют также полные таблицы неприводимых представлений прост­ранственных групп, которые можно найти в книгах: О. В. Ковалев, Неприво­димые представления пространственных групп, Изд. АН УССР, Киев, 1961; C.J. Bradley, A. P.Cracknell, The mathematical theory of symmetry in solids, Clarendon Press, Oxford, 1972. ^J) Пространственные группы принято обозначать символом кристалличе­ского класса, дополненным верхним индексом—условным номером группы в данном классе.

Cfт = у (— a_t + а₂ —а₃), Cf т—т = — а_х—а₃ = а_х — (2а_х + а,),

а поскольку трансляции на а₃ и на 2а! должны рассматриваться как тождественное преобразование, то

(/|т)-*(С*|0) (/|T) = (Cf|_ai).

По числу элементов и числу классов в группе находим, что она имеет 8 одномерных и 2 двумерных неприводимых пред­ставлений (8-l²-f-2-2² = 16). Все одномерные представления полу­чаются из представлений точечной группы D_ih, причем трансляции

Таблица 2

	(£ | 0)	(Е | а,)		(<*!«•)	(^cf 1 о) (<*|-0		UI т) (/ |Т+а,)	(ох [ т) (axlT+a,)	«Ty|T) (ау|Т+а,)	(ог|Т+а,)
г2	2 2	—2 —2	2 —2	—2 2	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0

(£ | aj) приписывается характер 1. Эти представления, однако, возникают здесь как «паразитные» и должны быть отброшены. Они не соответствуют поставленному вопросу: функции их базиса инвариантны по отношению ко всем трансляциям, между тем как функция ехр t'kr с данным к заведомо не инвариантна по отношению к трансляции (Е]^). Таким образом, остаются всего два неприводимых представления, характеры которых указаны в табл. 2. Функции базиса этих представлений могут быть выбраны в виде

Г_х: cosn;t, sin шс; Г₂: cos пх sin 2пу, sin пх sin 2пу

(координаты х, у, z измеряются в единицах длин соответствую­щих периодов а₁₍ а₂, а₃).

Рассмотрим еще представления, отвечающие звезде двух векторов

к = (1/2, 0, х), (1/2, 0, -и) (134,6)

с собственной симметрией C_2V (ось С₂ — вдоль оси г); здесь и— про­извольное число между 0 и 1 (кроме 1/2). Расширенная группа к содержит восемь элементов, распределенных по пяти классам (табл. 3). (Зависимость от z функций базиса представлений этой группы сводится к общему множителю ехр (2шиг) или ехр (—2nixz), инвариантному относительно всех преобразований группы; поэтому расширять группу трансляциями вдоль оси г не надо). Имеется четыре одномерных и одно двумерное неприводимые представления этой группы. Одномерные представ­ления должны быть отброшены по той же причине, что и в предыдущем случае, так что остается всего одно представление, характеры которого даны в табл. 3. Функции его базиса могут быть выбраны в виде

со знаком плюс или минус в показателе, соответственно для первого и второго из векторов (134,6); полное неприводимое представление всей пространственной группы четырехмерно и осуществляется набором всех этих четырех функций.

Таблица 3

(£1 0>	(Я 1 а,)	(cj|o)	(сх[х) (ах | т + а,)	(ау | т+а,)
	—2

§ 135. Симметрия относительно обращения времени

В физических применениях теории групп симметрии на их представления обычно накладывается дополнительное требование: функции базиса представления должны быть вещественными (точнее—допускать приведение к вещественному виду). Это тре­бование возникает как следствие симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике в силу этой сим­метрии комплексно-сопряженные волновые функции должны отве­чать одному и тому же уровню энергии квантовой системы и потому должны входить в число функций базиса одного и того же физически неприводимого представления (ср. III, § 96). В клас­сической же теории эта симметрия выражается инвариантностью уравнений движения по отношению к замене /—* — t (уравне­ния содержат производные по времени четного—второго—по­рядка). Именно в результате этого уравнения для смещений u_s атомов в решетке остаются вещественными, когда их решение ищется в комплексном (~е~^ш) виде (69,6); амплитуды этих выражений могут, следовательно, быть выбраны вещественными¹).

Вещественные функции базиса остаются, конечно, веществен­ными и в результате воздействия всех элементов симметрии; другими словами, вещественны и все матрицы представления группы. Если же некоторое неприводимое представление не

^х) Но это уже будет не так при наличии магнитного поля или в кристал­лах с магнитной структурой.

удовлетворяет этому требованию, то оно должно быть объеди­нено с комплексно-сопряженным ему представлением в одно физически неприводимое представление вдвое большей размер­ности. Рассмотрим с этой точки зрения случаи, которые могут иметь место для представлений пространственных групп (С. Her­ring, 1937).

Наиболее прост в этом смысле случай, когда звезды волно­вых векторов к и —к не совпадают друг с другом. В таком случае неприводимые представления, построенные на каждой из этих звезд, заведомо комплексны. Так, Для звезды к функции базиса представлений умножаются при трансляциях (Е | а) на множители е'^ка, среди которых нет взаимно комплексно-сопря­женных; ясно поэтому, что никаким выбором линейных комбина­ций этих функций нельзя привести матрицы преобразований к вещественному виду. С другой стороны, произведя комплекс­ное сопряжение этих функций, мы получим комплексно-сопря­женное представление, относящееся к звезде вектора —к. Объединением этих двух представлений мы и получим вещест­венное представление. Таким образом, для получения физически неприводимого представления в звезду волнового вектора надо включить наряду с каждым к также и вектор —к. Другими словами, для получения всей нужной звезды надо применить к некоторому исходному к все элементы группы направлений, дополненной центром симметрии.

Если же звезда волнового вектора уже с самого начала содержит все нужные значения к, то этим еще отнюдь не гаран­тируется вещественность построенных на них неприводимых представлений. Продемонстрируем это на простом примере.

Рассмотрим симморфную пространственную группу Si, отно­сящуюся к кристаллическому классу 5₄ и имеющую простую тетрагональную решетку Бравэ. Рассмотрим в этой группе пред­ставления, отвечающие звезде двух векторов

к = (0, 0, к), (0, 0, -х), (135,1)

где ось г направлена вдоль оси симметрии S₄, а х—произволь­ное (отличное от 1/2) число между 0 и 1. Собственная симмет­рия этих векторов: С₂; эта точечная группа имеет два одно­мерных представления с характерами:

	Е	Са
А
В		—1

Взяв первое из них в качестве малого представления, получим двумерное представление всей пространственной группы, базис которого может.быть выбран в виде комплексно-сопряженных функций ехр (+ 2m'xz); это представление, следовательно, веще­ственно. Малому же представлению В отвечает двумерное пред­ставление всей группы, осуществляемое базисными функциями

ехр 2пшг cos 2пх, ехр(—2ш кг) sin 2лх.

Характеры поворотных элементов группы в этом представлении:

(£|0) (S₄|0) (CIO) (Sj|0)
2 0 —2 0*

а характеры трансляций:

(£|a_t) (Я|а₂) (Я|а₃) 2 2 2 cos 2пк'

Все эти характеры вещественны, но представление тем не менее комплексно: функции его базиса не могут быть преобразованы к вещественному виду. Физически неприводимое представление получается присоединением к этим функциям также и их комп­лексно-сопряженных. Таким образом, физически неприводимое представление получается в данном случае объединением двух комплексно-сопряженных, но эквивалентных (с одинаковыми характерами) представлений^г).

В рассмотренном примере симметрия относительно обращения времени приводит к удвоению размерности физически неприво­димого представления для значений волнового вектора, запол­няющих прямую линию (ось симметрии) в k-пространстве. Суще­ствуют также и случаи, когда такое удвоение происходит для значений к, заполняющих целую плоскость в к-пространстве. Именно, речь идет о плоскости, перпендикулярной к винтовой оси второго порядка.

Рассмотрим, например, несимморфную пространственную группу С₂, относящуюся к кристаллическому классу С₂ и имею­щую простую моноклинную решетку Бравэ. Ось второго порядка (примем ее за ось г) в ней является винтовой, с переносом на половину периода: (С₂|а₃/2). Рассмотрим в этой группе звезду двух волновых векторов:

к = (х, л, 1/2), (-х, -к, 1/2), (135,2)

*) Напомним, что в точечных группах такой ситуации не возникало: для этих групп все неприводимые представления с вещественными характерами вещественны.

где х и к—произвольные числа между 0 и 1/2 (оси х, у—косо­угольные, в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии); звезда включает в себя к и—к, поскольку векторы (—х,—к,—1/2) и (—х,— к, 1/2) эквивалентны. Этой звезде отвечают два эквива­лентных (с одинаковыми вещественными характерами) двумерных

неприводимых представления группы, осуществляющихся соот­ветственно базисными функциями

и их комплексно-сопряженными. Физически неприводимое пред­ставление получается объединением этих двух комплексно-сопря­женных представлений. Четыре функции его базиса разбиваются на две пары, каждая из которых отвечает одному из двух.вол­новых векторов звезды:

£2Я((xx+ky)g± inz

И

Если неприводимое представление найдено вместе с функци­ями его базиса, ответ на вопрос о его вещественности или комп­лексности становится очевидным. Тем не менее в более сложных случаях (и для исследования некоторых общих вопросов) полезно иметь критерий, позволяющий дать ответ на этот вопрос уже непосредственно по характерам малого представления. Такой критерий можно получить, исходя из следующей общей теоремы теории представлений групп¹).

Для каждого из неприводимых представлений группы сле­дующая сумма может иметь одно из трех значений:

(+1 (а),

±Y_X(G*)= ⁰ ^> 035,3)

⁸ о { -1 (в)

(суммирование производится по всем элементам группы, g—ее порядок). В зависимости от этих значений: а) представление вещественно; б) представление комплексно, причем комплексно-сопряженные представления не эквивалентны (имеют комплексно-сопряженные характеры); в) представление комплексно, причем комплексно-сопряженные представления эквивалентны (имеют одинаковые вещественные характеры).

Наметим путь, по которому этот критерий преобразуется в применении к пространственным группам, не вникая в его детали. Согласно описанному в предыдущем параграфе способу построения неприводимых представлений пространственных групп, их характеры могут быть представлены в виде

*) Ее доказательство можно найти, например, в книгах, указанных в при­мечаниях на стр. 449 и 458.

X [(Р j т + а)] = S x_k, [(Р I т)] ехр (ВД, (135,4)

где %к[(^1^к)]—характеры поворотных элементов группы в малом ■представлении, а суммирование производится по тем из лучей к_х, к,,... звезды волнового вектора, для которых Р является одним из элементов его группы симметрии. Применив эту фор­мулу к элементу

(Р\г+а)* = (Р*\% + Рх + а + Ра) = (Р\т)>(Е\а+Ра),

имеем

х[(р\1+*)*]=2%а(р\*пе^1а{к<^+р~^,к!)

i ¹

(в показателе заменено к₍/>а = аР~%). Эти характеры надо про­суммировать по всем трансляциям и всем поворотным элементам (Р\х). Сумма

2 ехр {;а(к,-+

а

отлична от нуля только при k,--f P^_lk, = 0, b. Наконец, заме­чаем, что ввиду равноценности всех лучей в звезде в сумме по i (которая должна вычисляться в последнюю очередь) все члены одинаковы.

В результате получаем следующий окончательный критерий Херринга:

.(+1 (а),

тг-ЕхЛСЧ*)²Н ⁰ <^б>> (¹³⁵>⁵)

1-1 (в),

где %_к—характеры малого представления, а суммирование про­изводится по тем из поворотных элементов (Р | т) пространст­венной группы, которые переводят к в вектор, эквивалентный —к: Pk——k-f-b¹); n_k—число поворотных элементов собственной симметрии волнового вектора.

В частности, если пространственная группа вообще не содер­жит поворотных элементов, обладающих указанным свойством, то в сумме (135,5) не остается ни одного члена, так что имеет место случай (б)—в согласии со сказанным выше о случае, когда звезды к и —к не совпадают.

В. рассмотренном выше примере из группы SJ, требуемым свойством обладают элементы (S₄10) и (S\ |0); их квадраты представляют собой элемент (С₂|0). Поэтому сумма (135,3):

Дата добавления: 2014-11-07