Ol — V2X 26 страница

a'_k (H)-a_w (Н) = a*_ki (- H)-a_rt (- Н).

Еще одно соотношение дает формула Крамерса—Кронига (123,14), в силу которой имеет место связь вида а_ы = Ц (а_к[), где J — ве­щественный линейный оператор. Сложив это равенство с эрми-тово-сопряженным равенством а'_к =— U (а*_1к), получим

a*fe + <хщ= — iJ (a«—a<«)

(все a_ik берутся здесь, разумеется, при одном и том же значе­нии Н). Отсюда видно, что если разность a*_ik—a_ki обладает каким-либо свойством симметрии, то тем же свойством обладает и сумма a*4-f-a«, а потому и сами величины a_ik. Таким образом,

a_/ft (со; Н) = а«(<о; -Н). (125,14)

Пусть, наконец, среди величин х есть такие, которые меняют знак при обращении времени. Оператор такой величины чисто мнимый, и потому х_пт = х*_тп = — х_тп. Если обе величины x_h x_k относятся к такому роду, то весь вывод и результат (125,13) остаются неизменными. Если же одна из двух величин меняет знак при обращении времени, то при перестановке индексов i, k правая сторона равенства (125,9) меняет знак. Соответственно вместо (125,13) получим

««И = — ^аи («О. (125,15)

или для тела в магнитном поле

а,* (со; Н) = —a_w(co; — Н). (125,16)

Все эти соотношения можно, разумеется, получить и из фор­мулы (125,10) как следствие временной симметрии флуктуации. Так, если две величины x_t и х_к ведут себя одинаково по отно­шению к обращению времени, то в силу указанной симметрии величина (х,-**)© вещественна и симметрична по индексам i, k (см. § 122). Тогда и правая часть формулы (125,10) должна быть симметрична по тем же индексам, и мы снова приходим к ре­зультату (125,13). Такой вывод свойств симметрии обобщенных восприимчивостей аналогичен выводу принципа симметрии кине­тических коэффициентов в § 120; мы увидим ниже, что формулы (125,13—16) можно рассматривать как обобщение этого принципа.

Связь обобщенных восприимчивостей с кинетическими коэффи­циентами выясняется путем сопоставлений ФТД с теорией ква­зистационарных флуктуации нескольких величин. Выпишем соответствующие формулы, не повторяя заново всех рассуждений, подобных произведенным в конце предыдущего параграфа для случая одной величины.

Статические значения восприимчивостей связаны с коэффи­циентами разложения энтропии p_rt равенствами

Поэтому смещение состояния равновесия при воздействии на систему статических сил f_k определяется значениями

*/ = <*«(0) fk = UfkIT, Xi = = ЦТ.

Макроскопические уравнения движения неравновесной системы, находящейся под действием квазистатических сил f_k(t), можно представить в виде

= (125,17)

отличающемся от (120,5) заменой X_k на Х_к—f_k/T.

Подставивв (125,17) x_t(t) и /,.(/) ввиде периодических функций (125,6—7) (причем Х_к записываются в виде линейных комбина­ций Х_к = ^_к[х₁), получим

i-®^aimfom = У!'*Р*/^а/га/оя» "г"~f Т/да/оя»

откуда ввиду произвольности f_9m следуют соотношения между коэффициентами

— «Юв/я +4ii$kl^alm = jr Vim,

или

^* = -r(P«-W)-¹- (125,18)

Этим и устанавливается искомая связь между a_ik и кинетиче­скими коэффициентами y_ik.

Величины Р,_А по определению симметричны по своим индексам (как производные —d^aS/dx₍dx₄). Поэтому из симметрии a_ik

следует такая же симметрия y_ik, т. е. обычный принцип симмет­рии кинетических коэффициентов.

Рассматривая f_k в уравнениях (125,17) как случайные силы, получим для них (путем подстановки (125,18) в (125,12))

(///*)«. = i^(YS¹+T«^l)cth^.

Если же определить случайные силы y_t так, как это сделано в (122,20), то У1 = Уш!к1Т; для их спектрального распределения имеем

to)e = (Yi* + Y*/) 2f ^cth 2? • 025,19)

Это выражение отличается от (122,21) тем же множителем (124,19), обращающимся в единицу в классическом пределе.

§ 126. Операторное выражение обобщенной восприимчивости

Флуктуационно-диссипационную теорему можно рассматри­вать также и в обратном аспекте, прочтя равенство (124,9) справа налево и записав (х²)_т в явном виде как фурье-компо-ненту корреляционной функции:

. °>

a"(co) = ^-th-^- J e^iat<x(0)x(t) + x(t)x(0)>dt. (126,1)

— so

В таком виде эта формула дает принципиальную возможность вычисления функции а" (со) по микроскопическим свойствам системы. Недостаток ее состоит, однако, в том, что ею прямо определяется лишь мнимая часть, а не вся функция а (со). Можно получить аналогичную формулу, лишенную этого недостатка. Для этого произведем прямое квантовомеханическое вычисление среднего значения х в возмущенной системе (с оператором воз­мущения (124,5))!).

Пусть ¥^^0> — волновые функции невозмущенной системы. Сле­дуя общему методу (см. III, § 40), ищем волновые функции возмущенной системы в первом приближении в виде

^_п = П⁰⁾+2а_йЛ', (126,2)

т

где коэффициенты а_тп удовлетворяют уравнениям

^х) Такой путь прямее, чем использование соотношений Крамерса — Кронига для определения а' (со) (а затем и всей а (со)) по а" (со).

При решении этого уравнения следует считать, что возмущение «адиабатически» включается к моменту времени t от времени t — — оо (ср. III, § 43); это значит, что в множителях е^±ш надо заменить со—► соТг'О (где символ ДО означает i8 при 6—► + ()). Тогда

1, to___ t

^а"п-₂%^{Хтпе т}" L">*»-«a-»0"^rffl-» +»-'°.

(126,3)

С помощью полученной таким образом функции W_n вычисляем среднее значение величины х как соответствующий диагональный матричный элемент оператора х. В том же приближении имеем

т

= ~k[со^-со-Ю + co^+co + io] /ое-'^+к.с.

т

Сравнив этот результат с определением (123,9), найдем,

Вещественная и мнимая части в этом выражении разделя­ются с помощью формулы

tho* (¹²⁶'⁵>

(см. III, (43,10)). Для а"(со) мы вернемся, разумеется, к преж­нему результату (124,8).

Легко видеть, что выражение (126,4) представляет собой фурье-образ функции

a(t)=\ * ^л"'^л^' "vi(126,6) I о.

(i-<x(f)£(0)—х(0) *(*)>, *>0,

t <0

(как и в случае корреляционной функции, это среднее значение зависит, конечно, только от разности моментов времени, в ко­торые берутся два оператора x(t)). Действительно, вычисляя функцию (126,6) как диагональный матричный элемент по отно­шению к /г-му стационарному состоянию системы (невозмущенной), имеем при t > 0

«(0 = J £ {Хпт (0 *тп (0)~Х_пт (0) Х_тп (*)] =

т где переход к не зависящим от времени матричным элементам произведен по обычному правилу:

x_nm(t) = x_nme «».

Поскольку функция а (г) отлична от нуля только при t > 0, ее фурье-образ вычисляется по формуле¹)

ОС

^dt = ^ (126,7)

о

и совпадает с (126,4).

Таким образом, приходим окончательно к следующему ре­зультату:

со

а (со) = j (V^е" <x{t)x(0) —x(0)x(t)>dt (126,8) о

(R. Kubo, 1956). Будучи справедливой при усреднении по вся­кому заданному стационарному состоянию системы, эта формула остается тем самым без изменений и после усреднения по рас­пределению Гиббса.

Для обобщенных восприимчивостей щ_к (со), определяющих отклик системы на возмущение, затрагивающее несколько вели­чин Х[, аналогичная формула гласит:

со

«/* И = j \ е^ш <х, (t) х_к (0) -х_к (0) х,. (/)> dt. (126,9)

Задача

Определить асимптотическое поведение ос (со) при со —>■ оо (полагая, что а(оо)=0).

Решение. При со—> оо в (126,8) существенны малые значения t. Пола­гая х (/) я х (0) -4- tx (0), находим

со

а (со) к -j <хх—хх> J te^imt dt о

(одинаковый аргумент t = 0 в операторах опускаем). Интеграл вычисляется дифференцированием (126,7) по со и дает

а(со)я—_ТЦ- <хх — хх>; (1)

²) Интеграл вычисляется путем наклона пути интегрирования (в плоскости комплексного t) вверх или вниз в зависимости от знака со, т. е. заменой t—► t (1 'б sign со), после чего полагаем б—►+().

Лео²

эта формула справедлива, если стоящее в ней среднее значение коммутатора отлично от нуля.

Будучи четной функцией со, выражение (1) вещественно, так что является асимптотикой функции а' (со). С другой стороны, из (123,15) имеем при ш—► оо

о

(здесь учтена нечетность функции а* (£)). Сравнив это выражение с (1), найдем следующее «правило сумм» для а." (<а):

о

§ 127. Флуктуации изгиба длинных молекул

В обычных молекулах сильное взаимодействие атомов сводит внутримолекулярное тепловое движение лишь к малым колеба­ниям атомов около их положений равновесия, практически не меняющим форму молекулы. Совсем иной характер имеет пове­дение молекул, представляющих собой очень длинные цепи ато­мов (например, длинные полимерные углеводородные цепи). Большая длина молекулы, а также сравнительная слабость сил, стремящихся удержать равновесную прямолинейную форму моле­кулы, приводит к тому, что флуктуационные изгибы молекулы могут стать весьма значительными, вплоть до скручивания моле­кулы. Большая длина молекулы позволяет рассматривать ее как своеобразную макроскопическую линейную систему, и для вычис­ления средних значений величин, характеризующих ее изгиб, можно применить статистические методы (С. Е. Бреслер, Я. И. Френкель, 1939)

Будем рассматривать молекулы, имеющие вдоль своей длины однородное строение. Интересуясь лишь их формой, мы можем рассматривать такую молекулу как однородную сплошную нить. Форма этой нити определяется заданием в каждой ее точке вектора кривизны р, направленного вдоль главной нормали к кривой и по величине равного ее обратному радиусу кривизны.

¹) В излагаемой теории молекула рассматривается как изолированная сис­тема, без учета ее взаимодействия с окружающими молекулами. Между тем в конденсированном веществе последнее может, разумеется, существенно влиять на форму молекул. Хотя применимость получающихся результатов к реальным веществам поэтому весьма ограничена, их вывод представляет заметный мето­дический интерес.

Испытываемые молекулой изгибы являются, вообще говоря, слабыми в том смысле, что ее кривизна в каждой точке мала (ввиду большой длины молекулы это, разумеется, отнюдь не исключает того, что относительные смещения ее удаленных точек могут оказаться весьма значительными). Для малых значений вектора р свободная энергия изогнутой молекулы (отнесенная к единице ее длины) может быть разложена по степеням ком­понент этого вектора. Поскольку свободная энергия минимальна в положении равновесия (прямолинейная форма, р = 0 во всех точках), то линейные члены в разложении отсутствуют, и мы получим

F^Fo+i^kPfik, (127,1)

С, к

где значения коэффициентов a_ik представляют собой характе­ристику свойств прямолинейной молекулы (ее сопротивления изгибу) и ввиду предполагаемой однородности молекулы по­стоянны вдоль ее длины.

Вектор р расположен в нормальной (к линии молекулы в данной ее точке) плоскости и имеет в этой плоскости две независимые компоненты. Соответственно этому совокупность постоянных a_ik составляет двумерный симметричный тензор вто­рого ранга в этой плоскости. Приведем его к главным осям и обозначим посредством а_х и а₂ главные значения этого тензора (нить, в виде которой мы представляем себе молекулу, отнюдь не должна быть аксиально-симметричной по своим свойствам; поэтому а_х и а₂ не должны быть равными). Выражение (127,1) примет в результате вид

F=F₀ + -j(a₁ol + a₂pl),

где Pj и р_а — компоненты р в направлении соответствующих главных осей.

Наконец, интегрируя вдоль всей длины молекулы, найдем полное изменение ее свободной энергии в результате слабого изгиба:

AF_n = ^(a_lPl + a₂pi)dl (127,2)

(/—координата вдоль длины нити). Величины а_х и а₂, очевидно, непременно положительны.

Пусть t_a и t_b—единичные векторы вдоль направления каса­тельных к нити в двух ее точках (точки а и Ь), разделенных участком длины /. Обозначим посредством G == 0 (/) угол между этими касательными, т. е.

t«t_b = cos 0.

Рассмотрим сначала случай такого слабого изгиба, при кото­ром угол G мал даже для удаленных точек. Проведем две плос­кости, проходящие через вектор \_q и две главные оси тензора a_ik в нормальной (в точке а) плоскости. При малых значениях 0 квадрат угла 0² может быть представлен в виде

О² = 6?+ 91, (127,3)

где 0_t и 0₂—углы поворота вектора t₆ относительно вектора t„ в указанных двух плоскостях. Компоненты вектора кривизны связаны с функциями д_± (/) и 0₂ (I) соотношениями

dQ, (/)d0₂ (Q

Pi— dl ' Р*~ dl '

и изменение свободной энергии при изгибе молекулы прини­мает вид

^=ИЬШ'+°.(§)>- <^|27-⁴>

При вычислении вероятности флуктуации с заданными зна­чениями Q₁(l) = 0_Х и Q₂(0 ⁼ 9₂ ^ПР^Н некотором определенном / надо рассмотреть наиболее полное равновесие, возможное при этих значениях 0_t и 0₂ (см. примечание на стр. 366). Другими словами, надо определить наименьшее значение свободной энер­гии, возможное при заданных в, и 0₂. Но интеграл вида

JЫ)^dl

о

при заданных значениях функции 0_Х(/) на обоих пределах (9j(0) = 0, 0₁(/) = 0₁) имеет минимальное значение, если 0_Х(/) меняется по линейному закону. При этом

ар — ^uldl I ^{0262 г}" 21 1 2/ '

и поскольку вероятность флуктуации

w ~ ехр (---------

(см. (116,7)), то для средних квадратов обоих углов получаем

<е²> = ^, <es> = £.

Средний же квадрат интересующего нас угла 0(/) равен

<»_{> =} /г(1+±). _(127|5)

Как и следовало ожидать, в этом приближении он оказывается пропорциональным длине отрезка молекулы между двумя рас­сматриваемыми точками,

Переход к изгибам с большими значениями углов в (/) можно произвести следующим образом. Углы между направлениями касательных t_a, t_b, t_c в трех точках (а, Ь, с) нити связаны друг с другом тригонометрическим соотношением

cos Q_ac = cos Q_ab cos Q_bc—sin Q_ab sin Q_bc cos cp,

где ф—угол между плоскостями (t_e, t₆) и (t_b, t_c). Усредняя это выражение и имея в виду, что флуктуации изгиба различных участков ab и be молекулы (при заданном направлении каса­тельной t_b в средней точке) в рассматриваемом приближении статистически независимы, получим

<cos Q_ac> = <cos 9_а6 cos %_су = <cos 9_e6> <cos 8_6с>

(член же с соэф при усреднении вообще исчезает).

Это соотношение означает, что среднее значение <cos6(/)> должно быть мультипликативной функцией от длины I участка молекулы между двумя заданными точками. С другой стороны, для малых значений 6(/) должно быть, согласно (127,5),

<созв(0>» 1 —пг=1-~, где введено обозначение

Функция, удовлетворяющая обоим этим требованиям, есть

<cos0> = exp (-/J)- (127,6)

Это и есть искомая формула. Отметим, что при больших рас­стояниях I среднее значение <cos6>»0, что соответствует ста­тистической независимости направлений достаточно удаленных участков молекулы.

С помощью формулы (127,6) легко определить средний квад­рат расстояния R (считаемого по прямой) между обоими кон­цами молекулы. Если t(/) есть единичный вектор касательной в произвольной точке молекулы, то радиус-вектор между ее концами равен

R = J t(l)dl

о

(L—полная длина молекулы). Написав квадрат интеграла в виде двойного интеграла и усредняя его, получим

L L L L

<R*> = j j t t (/,) dl, dl, = J J exp (-111,-1₂1) dl, dl,.

Вычисление интеграла приводит к окончательной формуле
</?«> = 2 (£Г_1 + е-"*»). (127,7)

В случае низких температур (LT<^.a) эта формула дает

<Я'>=^(1-1йг); (¹²7,8)

при Г—* О средний квадрат </?²> стремится, как и следовало, к квадрату L² полной длины молекулы. Если же LT^>a (высо­кие температуры или достаточно большие длины L), то

<R*> = ~. (127,9)

При этом <#²> пропорционален первой степени длины моле­кулы, так что отношение </?^a>/L* стремится при увеличении L к нулю.

ГЛАВА XIII

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

§ 128. Элементы симметрии кристаллической решетки

Наиболее распространенные свойства симметрии макроско­пических тел заключаются в симметрии расположения частиц в них.

Движущиеся атомы и молекулы не занимают точно опреде­ленных мест в теле, и для строгого статистического описания их расположения нужно ввести функцию плотности р (х, у, z), определяющую вероятности различных положений частиц: pdV есть вероятность отдельной частице находиться в элементе объема dV. Свойства симметрии расположения частиц опреде­ляются теми преобразованиями координат (переносами, пово­ротами, отражениями), которые оставляют функцию р(х, у, z) неизменной. Совокупность всех таких преобразований симметрии данного тела составляет его группу симметрии.

Если тело состоит из различных атомов, то функция р должна быть определена для каждого сорта атомов в отдель­ности; это обстоятельство, однако, для нас не имеет значения, так как все эти функции в реальном теле будут фактически иметь одинаковую симметрию. Для этой же цели могла бы слу­жить также функция р, определенная как полная электронная плотность, создаваемая всеми атомами в каждой точке тела¹).

Наиболее высокой симметрией обладают изотропные тела — тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы; сюда относятся газы и жидкости (и аморфные твердые тела). Оче­видно, у такого тела для каждой частицы все ее положения в пространстве во всяком случае должны быть равновероят­ными, т. е. должно быть р = const.

Напротив, в анизотропных твердых кристаллах функция плотности отнюдь не сводится к постоянной. Она представляет собой в этом случае трояко-периодическую функцию (с перио-

^г) Движущиеся электроны могут создавать не только среднюю плотность зарядов (ер), но и среднюю плотность тока j (х, у, г). Тела с отличными от нуля токами—это тела, обладающие «магнитной структурой», и симметрия век­торной функции j (х, у, г) определяет симметрию этой структуры. Она рассмот­рена в другом томе этого курса (VIII).

дами, равными периодам кристаллической решетки) и имеет резкие максимумы в точках, соответствующих узлам решетки. Наряду с трансляционной симметрией решетка (т. е. функция р (х, у, г)) обладает, вообще говоря, симметрией также и по отношению к различным поворотам и отражениям. Узлы, кото­рые могут быть совмещены друг с другом путем какого-либо преобразования симметрии, называют эквивалентными.

Приступая к изучению симметрии кристаллической решетки, следует начать с выяснения того, из каких элементов эта сим­метрия может складываться.

Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность—свойство совмещаться сама с собой при параллельных переносах (или, как говорят, транс­ляциях) на определенные расстояния в определенных направле­ниях *); о трансляционной симметрии подробно будет идти речь в следующем параграфе.

Наряду с трансляционной симметрией решетка может обла­дать также и симметрией по отношению к различным поворотам и отражениям; соответствующие элементы симметрии (оси и плоскости симметрии, зеркально-поворотные оси)—те же, кото­рыми могут обладать и симметричные тела конечных размеров (см. III, § 91).

Сверх того, однако, кристаллическая решетка может обла­дать еще и особого рода элементами симметрии, представляю­щими собой комбинации параллельных переносов с поворотами и отражениями. Рассмотрим сначала комбинацию трансляций с осями симметрии. Комбинирование оси симметрии с параллель­ным переносом вдоль направления, перпендикулярного к оси, не приводит к новым типам элементов симметрии. Легко убедиться в том, что поворот на некоторый угол с последующим переносом в перпендикулярном к оси направлении равносилен простому повороту на тот же угол вокруг другой оси, параллельной пер­вой. Комбинирование же поворота вокруг оси с параллельным переносом вдоль этой же оси приводит к элементам симметрии нового типа—винтовым осям. Решетка обладает винтовой осью n-го порядка, если она совмещается сама с собой при повороте вокруг оси на угол 2л/п и одновременном переносе на определен­ное расстояние d вдоль этой же оси.

Производя п раз поворот с переносом вокруг винтовой оси п-то порядка, мы в результате просто сдвинем решетку вдоль оси на расстояние, равное nd. Таким образом, при наличии винтовой оси решетка во всяком случае должна обладать и простой периодичностью вдоль этой оси с периодом, не большим

^х) Кристаллическую решетку надо при этом представлять как бесконеч­ную, отвлекаясь от наличия у кристалла внешней огранки.

чем nd. Это значит, что винтовая ось п-го порядка может быть связана только с переносами на расстояния

d = Y^a (/>= *> ²> • • •> О»

где а—наименьший период решетки в направлении оси. Так, винтовая ось 2-го порядка может быть только одного типа — с переносом на половину периода; винтовые оси 3-го порядка могут быть связаны с переносом на ¹/₃ и ²/₃ периода и т. д.

Аналогично можно скомбинировать трансляции с плоскостью симметрии. Отражение в плоскости вместе с трансляцией вдоль направления, перпендикулярного к плоскости, не приводит к новым элементам симметрии, так как такое преобразование, как легко убедиться, равносильно простому отражению в дру­гой плоскости, параллельной первой. Комбинирование же отра­жения с переносом вдоль направления, лежащего в самой плос­кости отражения, приводит к новому типу элементов сим­метрии—так называемым плоскостям зеркального скольжения. Решетка обладает плоскостью зеркального скольжения, если она совмещается сама с собой при отражении в этой плоскости и одновременном переносе на определенное расстояние d в опре­деленном направлении, лежащем в этой же плоскости. Дву­кратное отражение в плоскости зеркального скольжения приво­дит к простому переносу на расстояние 2d. Поэтому ясно, что решетка может обладать только такими плоскостями зеркаль­ного скольжения, в которых величина трансляции равна d = а/2, где а—длина наименьшего периода решетки в направлении этой трансляции.

Что касается зеркально-поворотных осей, то их комбиниро­вание с трансляциями не приводит к новым типам элементов симметрии. Действительно, всякий перенос в этом случае можно разложить на две части, из которых одна перпендикулярна к оси, а другая параллельна ей, т. е. перпендикулярна к плос­кости отражения. Поэтому зеркально-поворотное преобразование с последующим переносом всегда эквивалентно такому же прос­тому преобразованию вокруг другой зеркально-поворотной оси, параллельной первой.

§ 129. Решетка Бравэ

Трансляционные периоды решетки можно изображать векто­рами а, направленными вдоль соответствующего параллельного переноса и по величине равными длине переноса. Кристалли­ческая решетка обладает бесконечным множеством различных трансляционных периодов. Однако не все эти периоды незави­симы друг от друга. Всегда можно выбрать в качестве основ-

ных три (соответственно числу измерений пространства) периода, не лежащих в одной плоскости. Тогда всякий другой период можно будет представить в виде геометрической суммы трех векторов, из которых каждый является целым кратным одного из основных периодов. Если основные периоды обозначать по­средством а₁₍ а₂, а₃, то произвольный период а будет иметь вид

а = и₁а₁ + п₂а₂+л₃а₃, (129,1)

где n_lt л₂, п₃—любые целые положительные или отрицатель­ные числа, включая нуль.

Выбор основных периодов отнюдь не однозначен. Напротив, их можно выбрать бесчисленным множеством способов. Пусть а₁₍а₂, а₃—основные периоды; введем вместо них другие периоды &i, а₂, а₃ согласно формулам

а*' = 2««а* (», А=1, 2, 3), (129,2)

к

где a,-_ft — некоторые целые числа. Если новые периоды а, также являются основными, то, в частности, прежние периоды а,- должны выражаться через а,- в виде линейных функций с целыми коэф­фициентами; тогда и всякий другой период решетки сможет быть выражен через а,'. Другими словами, если выразить из (129,2) а,- через а₍', то мы должны получить формулы типа a, = 2p\_ftafe опять с целыми B,_ft. Но, как известно, определитель равен обратной величине определителя \a_ik\. Поскольку оба должны быть целыми, отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, чтобы л\ были основными периодами, является равенство

К*| = ±1. (129,3)

Выберем какой-нибудь из узлов решетки и отложим от него три основных периода. Построенный на этих трех векторах парал­лелепипед называется элементарной ячейкой решетки. Вся решетка может быть тогда представлена в виде совокупности таких пра­вильно уложенных параллелепипедов. Все элементарные ячейки в точности одинаковы по своим свойствам; они имеют одинако­вую форму и объем, и в каждой из них находится одинаковое число одинаково расположенных атомов каждого рода.

Во всех вершинах элементарных ячеек находятся, очевидно, одинаковые атомы. Все эти вершины представляют собой, другими словами, эквивалентные узлы, причем каждый из них может быть совмещен с любым другим посредством параллельного пере­носа на один из периодов решетки. Совокупность всех таких эквивалентных узлов, которые могут быть совмещены друг с другом путем параллельного переноса, образует так называемую решетку Бравэ кристалла. Очевидно, что решетка Бравэ не вклю­чает в себя всех вообще узлов кристаллической решетки. Больше того, она даже не включает в себя, вообще говоря, всех экви­валентных узлов, так как в решетке могут существовать такие эквивалентные узлы, которые совмещаются друг с другом только при преобразованиях, содержащих повороты или отражения.

Решетку Бравэ можно построить, выделив какой-нибудь из узлов кристаллической решетки и производя все возможные параллельные переносы. Выбрав в качестве исходного другой узел (не входящий в первую решетку Бравэ), мы получили бы решетку Бравэ, смещенную относительно первой. Поэтому ясно, что кристаллическая решетка представляет собой, вообще гово­ря, несколько решеток Бравэ, вдвинутых одна в другую; каждая из них соответствует определенному сорту и расположению атомов, причем все эти решетки, рассматриваемые как системы точек, т. е. чисто геометрически, совершенно тождественны.

Вернемся снова к элементарным ячейкам. Соответственно про­извольности в выборе основных периодов неоднозначным является также и выбор элементарной ячейки. Элементарная ячейка может быть построена на любых основных периодах. Получающиеся таким образом ячейки обладают, конечно, различной формой; объем же всех их оказывается одинаковым. В этом проще всего убедиться следующим образом. Из предыдущего ясно, что каждая элементарная ячейка содержит по одному из узлов, принадле­жащих к каждой из решеток Бравэ, которые можно построить в данном кристалле. Следовательно, число элементарных ячеек в данном объеме всегда равно числу атомов какого-либо опреде­ленного сорта и расположения, т. е. не зависит от выбора ячейки. Поэтому не зависит от выбора ячейки и объем каждой из них, равный общему объему, деленному на число ячеек.

§ 130. Кристаллические системы

Дата добавления: 2014-11-07