КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ol — V2X 26 страница
a'k (H)-aw (Н) = a*ki (- H)-art (- Н). Еще одно соотношение дает формула Крамерса—Кронига (123,14), в силу которой имеет место связь вида аы = Ц (ак[), где J — вещественный линейный оператор. Сложив это равенство с эрми-тово-сопряженным равенством а'к =— U (а*1к), получим a*fe + <хщ= — iJ (a«—a<«) (все aik берутся здесь, разумеется, при одном и том же значении Н). Отсюда видно, что если разность a*ik—aki обладает каким-либо свойством симметрии, то тем же свойством обладает и сумма a*4-f-a«, а потому и сами величины aik. Таким образом, a/ft (со; Н) = а«(<о; -Н). (125,14) Пусть, наконец, среди величин х есть такие, которые меняют знак при обращении времени. Оператор такой величины чисто мнимый, и потому хпт = х*тп = — хтп. Если обе величины xh xk относятся к такому роду, то весь вывод и результат (125,13) остаются неизменными. Если же одна из двух величин меняет знак при обращении времени, то при перестановке индексов i, k правая сторона равенства (125,9) меняет знак. Соответственно вместо (125,13) получим ««И = — аи («О. (125,15) или для тела в магнитном поле а,* (со; Н) = —aw(co; — Н). (125,16) Все эти соотношения можно, разумеется, получить и из формулы (125,10) как следствие временной симметрии флуктуации. Так, если две величины xt и хк ведут себя одинаково по отношению к обращению времени, то в силу указанной симметрии величина (х,-**)© вещественна и симметрична по индексам i, k (см. § 122). Тогда и правая часть формулы (125,10) должна быть симметрична по тем же индексам, и мы снова приходим к результату (125,13). Такой вывод свойств симметрии обобщенных восприимчивостей аналогичен выводу принципа симметрии кинетических коэффициентов в § 120; мы увидим ниже, что формулы (125,13—16) можно рассматривать как обобщение этого принципа. Связь обобщенных восприимчивостей с кинетическими коэффициентами выясняется путем сопоставлений ФТД с теорией квазистационарных флуктуации нескольких величин. Выпишем соответствующие формулы, не повторяя заново всех рассуждений, подобных произведенным в конце предыдущего параграфа для случая одной величины. Статические значения восприимчивостей связаны с коэффициентами разложения энтропии prt равенствами
Поэтому смещение состояния равновесия при воздействии на систему статических сил fk определяется значениями */ = <*«(0) fk = UfkIT, Xi = = ЦТ. Макроскопические уравнения движения неравновесной системы, находящейся под действием квазистатических сил fk(t), можно представить в виде = (125,17) отличающемся от (120,5) заменой Xk на Хк—fk/T. Подставивв (125,17) xt(t) и /,.(/) ввиде периодических функций (125,6—7) (причем Хк записываются в виде линейных комбинаций Хк = ^к[х1), получим i-®aimfom = У!'*Р*/а/га/оя» "г"~f Т/да/оя» откуда ввиду произвольности f9m следуют соотношения между коэффициентами — «Юв/я +4ii$klalm = jr Vim, или ^* = -r(P«-W)-1- (125,18) Этим и устанавливается искомая связь между aik и кинетическими коэффициентами yik. Величины Р,А по определению симметричны по своим индексам (как производные —daS/dx(dx4). Поэтому из симметрии aik следует такая же симметрия yik, т. е. обычный принцип симметрии кинетических коэффициентов. Рассматривая fk в уравнениях (125,17) как случайные силы, получим для них (путем подстановки (125,18) в (125,12)) (///*)«. = i^(YS1+T«l)cth^. Если же определить случайные силы yt так, как это сделано в (122,20), то У1 = Уш!к1Т; для их спектрального распределения имеем to)e = (Yi* + Y*/) 2f cth 2? • 025,19) Это выражение отличается от (122,21) тем же множителем (124,19), обращающимся в единицу в классическом пределе. § 126. Операторное выражение обобщенной восприимчивости Флуктуационно-диссипационную теорему можно рассматривать также и в обратном аспекте, прочтя равенство (124,9) справа налево и записав (х2)т в явном виде как фурье-компо-ненту корреляционной функции: . °> a"(co) = ^-th-^- J eiat<x(0)x(t) + x(t)x(0)>dt. (126,1) — so В таком виде эта формула дает принципиальную возможность вычисления функции а" (со) по микроскопическим свойствам системы. Недостаток ее состоит, однако, в том, что ею прямо определяется лишь мнимая часть, а не вся функция а (со). Можно получить аналогичную формулу, лишенную этого недостатка. Для этого произведем прямое квантовомеханическое вычисление среднего значения х в возмущенной системе (с оператором возмущения (124,5))!). Пусть ¥^0> — волновые функции невозмущенной системы. Следуя общему методу (см. III, § 40), ищем волновые функции возмущенной системы в первом приближении в виде ^п = П0)+2айЛ', (126,2) т где коэффициенты атп удовлетворяют уравнениям
х) Такой путь прямее, чем использование соотношений Крамерса — Кронига для определения а' (со) (а затем и всей а (со)) по а" (со). При решении этого уравнения следует считать, что возмущение «адиабатически» включается к моменту времени t от времени t — — оо (ср. III, § 43); это значит, что в множителях е±ш надо заменить со—► соТг'О (где символ ДО означает i8 при 6—► + ()). Тогда 1, to___ t а"п-2%Хтпе т" L">*»-«a-»0"rffl-» +»-'°. (126,3) С помощью полученной таким образом функции Wn вычисляем среднее значение величины х как соответствующий диагональный матричный элемент оператора х. В том же приближении имеем
т = ~k[со^-со-Ю + co^+co + io] /ое-'^+к.с. т Сравнив этот результат с определением (123,9), найдем,
Вещественная и мнимая части в этом выражении разделяются с помощью формулы tho* (126'5> (см. III, (43,10)). Для а"(со) мы вернемся, разумеется, к прежнему результату (124,8). Легко видеть, что выражение (126,4) представляет собой фурье-образ функции
(i-<x(f)£(0)—х(0) *(*)>, *>0, t <0 (как и в случае корреляционной функции, это среднее значение зависит, конечно, только от разности моментов времени, в которые берутся два оператора x(t)). Действительно, вычисляя функцию (126,6) как диагональный матричный элемент по отношению к /г-му стационарному состоянию системы (невозмущенной), имеем при t > 0 «(0 = J £ {Хпт (0 *тп (0)~Хпт (0) Хтп (*)] = т где переход к не зависящим от времени матричным элементам произведен по обычному правилу: xnm(t) = xnme «». Поскольку функция а (г) отлична от нуля только при t > 0, ее фурье-образ вычисляется по формуле1) ОС ^dt = ^ (126,7) о и совпадает с (126,4). Таким образом, приходим окончательно к следующему результату: со а (со) = j (Vе" <x{t)x(0) —x(0)x(t)>dt (126,8) о (R. Kubo, 1956). Будучи справедливой при усреднении по всякому заданному стационарному состоянию системы, эта формула остается тем самым без изменений и после усреднения по распределению Гиббса. Для обобщенных восприимчивостей щк (со), определяющих отклик системы на возмущение, затрагивающее несколько величин Х[, аналогичная формула гласит: со «/* И = j \ еш <х, (t) хк (0) -хк (0) х,. (/)> dt. (126,9)
Задача Определить асимптотическое поведение ос (со) при со —>■ оо (полагая, что а(оо)=0). Решение. При со—> оо в (126,8) существенны малые значения t. Полагая х (/) я х (0) -4- tx (0), находим со а (со) к -j <хх—хх> J teimt dt о (одинаковый аргумент t = 0 в операторах опускаем). Интеграл вычисляется дифференцированием (126,7) по со и дает а(со)я—ТЦ- <хх — хх>; (1)
Лео2 эта формула справедлива, если стоящее в ней среднее значение коммутатора отлично от нуля. Будучи четной функцией со, выражение (1) вещественно, так что является асимптотикой функции а' (со). С другой стороны, из (123,15) имеем при ш—► оо о (здесь учтена нечетность функции а* (£)). Сравнив это выражение с (1), найдем следующее «правило сумм» для а." (<а): о § 127. Флуктуации изгиба длинных молекул В обычных молекулах сильное взаимодействие атомов сводит внутримолекулярное тепловое движение лишь к малым колебаниям атомов около их положений равновесия, практически не меняющим форму молекулы. Совсем иной характер имеет поведение молекул, представляющих собой очень длинные цепи атомов (например, длинные полимерные углеводородные цепи). Большая длина молекулы, а также сравнительная слабость сил, стремящихся удержать равновесную прямолинейную форму молекулы, приводит к тому, что флуктуационные изгибы молекулы могут стать весьма значительными, вплоть до скручивания молекулы. Большая длина молекулы позволяет рассматривать ее как своеобразную макроскопическую линейную систему, и для вычисления средних значений величин, характеризующих ее изгиб, можно применить статистические методы (С. Е. Бреслер, Я. И. Френкель, 1939) Будем рассматривать молекулы, имеющие вдоль своей длины однородное строение. Интересуясь лишь их формой, мы можем рассматривать такую молекулу как однородную сплошную нить. Форма этой нити определяется заданием в каждой ее точке вектора кривизны р, направленного вдоль главной нормали к кривой и по величине равного ее обратному радиусу кривизны.
Испытываемые молекулой изгибы являются, вообще говоря, слабыми в том смысле, что ее кривизна в каждой точке мала (ввиду большой длины молекулы это, разумеется, отнюдь не исключает того, что относительные смещения ее удаленных точек могут оказаться весьма значительными). Для малых значений вектора р свободная энергия изогнутой молекулы (отнесенная к единице ее длины) может быть разложена по степеням компонент этого вектора. Поскольку свободная энергия минимальна в положении равновесия (прямолинейная форма, р = 0 во всех точках), то линейные члены в разложении отсутствуют, и мы получим F^Fo+i^kPfik, (127,1) С, к где значения коэффициентов aik представляют собой характеристику свойств прямолинейной молекулы (ее сопротивления изгибу) и ввиду предполагаемой однородности молекулы постоянны вдоль ее длины. Вектор р расположен в нормальной (к линии молекулы в данной ее точке) плоскости и имеет в этой плоскости две независимые компоненты. Соответственно этому совокупность постоянных aik составляет двумерный симметричный тензор второго ранга в этой плоскости. Приведем его к главным осям и обозначим посредством ах и а2 главные значения этого тензора (нить, в виде которой мы представляем себе молекулу, отнюдь не должна быть аксиально-симметричной по своим свойствам; поэтому ах и а2 не должны быть равными). Выражение (127,1) примет в результате вид F=F0 + -j(a1ol + a2pl), где Pj и ра — компоненты р в направлении соответствующих главных осей. Наконец, интегрируя вдоль всей длины молекулы, найдем полное изменение ее свободной энергии в результате слабого изгиба: AFn = ^(alPl + a2pi)dl (127,2) (/—координата вдоль длины нити). Величины ах и а2, очевидно, непременно положительны. Пусть ta и tb—единичные векторы вдоль направления касательных к нити в двух ее точках (точки а и Ь), разделенных участком длины /. Обозначим посредством G == 0 (/) угол между этими касательными, т. е. t«tb = cos 0. Рассмотрим сначала случай такого слабого изгиба, при котором угол G мал даже для удаленных точек. Проведем две плоскости, проходящие через вектор \q и две главные оси тензора aik в нормальной (в точке а) плоскости. При малых значениях 0 квадрат угла 02 может быть представлен в виде О2 = 6?+ 91, (127,3) где 0t и 02—углы поворота вектора t6 относительно вектора t„ в указанных двух плоскостях. Компоненты вектора кривизны связаны с функциями д± (/) и 02 (I) соотношениями dQ, (/)d02 (Q Pi— dl ' Р*~ dl ' и изменение свободной энергии при изгибе молекулы принимает вид ^=ИЬШ'+°.(§)>- <|27-4> При вычислении вероятности флуктуации с заданными значениями Q1(l) = 0Х и Q2(0 = 92 ПРН некотором определенном / надо рассмотреть наиболее полное равновесие, возможное при этих значениях 0t и 02 (см. примечание на стр. 366). Другими словами, надо определить наименьшее значение свободной энергии, возможное при заданных в, и 02. Но интеграл вида JЫ)dl о при заданных значениях функции 0Х(/) на обоих пределах (9j(0) = 0, 01(/) = 01) имеет минимальное значение, если 0Х(/) меняется по линейному закону. При этом ар — uldl I 0262 г" 21 1 2/ ' и поскольку вероятность флуктуации w ~ ехр (--------- (см. (116,7)), то для средних квадратов обоих углов получаем <е2> = ^, <es> = £. Средний же квадрат интересующего нас угла 0(/) равен <»> = /г(1+±). (127|5) Как и следовало ожидать, в этом приближении он оказывается пропорциональным длине отрезка молекулы между двумя рассматриваемыми точками, Переход к изгибам с большими значениями углов в (/) можно произвести следующим образом. Углы между направлениями касательных ta, tb, tc в трех точках (а, Ь, с) нити связаны друг с другом тригонометрическим соотношением cos Qac = cos Qab cos Qbc—sin Qab sin Qbc cos cp, где ф—угол между плоскостями (te, t6) и (tb, tc). Усредняя это выражение и имея в виду, что флуктуации изгиба различных участков ab и be молекулы (при заданном направлении касательной tb в средней точке) в рассматриваемом приближении статистически независимы, получим <cos Qac> = <cos 9а6 cos %су = <cos 9e6> <cos 86с> (член же с соэф при усреднении вообще исчезает). Это соотношение означает, что среднее значение <cos6(/)> должно быть мультипликативной функцией от длины I участка молекулы между двумя заданными точками. С другой стороны, для малых значений 6(/) должно быть, согласно (127,5), <созв(0>» 1 —пг=1-~, где введено обозначение
Функция, удовлетворяющая обоим этим требованиям, есть <cos0> = exp (-/J)- (127,6) Это и есть искомая формула. Отметим, что при больших расстояниях I среднее значение <cos6>»0, что соответствует статистической независимости направлений достаточно удаленных участков молекулы. С помощью формулы (127,6) легко определить средний квадрат расстояния R (считаемого по прямой) между обоими концами молекулы. Если t(/) есть единичный вектор касательной в произвольной точке молекулы, то радиус-вектор между ее концами равен R = J t(l)dl о (L—полная длина молекулы). Написав квадрат интеграла в виде двойного интеграла и усредняя его, получим L L L L <R*> = j j t t (/,) dl, dl, = J J exp (-111,-121) dl, dl,. Вычисление интеграла приводит к окончательной формуле В случае низких температур (LT<^.a) эта формула дает <Я'>=^(1-1йг); (127,8) при Г—* О средний квадрат </?2> стремится, как и следовало, к квадрату L2 полной длины молекулы. Если же LT^>a (высокие температуры или достаточно большие длины L), то <R*> = ~. (127,9) При этом <#2> пропорционален первой степени длины молекулы, так что отношение </?a>/L* стремится при увеличении L к нулю. ГЛАВА XIII СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 128. Элементы симметрии кристаллической решетки Наиболее распространенные свойства симметрии макроскопических тел заключаются в симметрии расположения частиц в них. Движущиеся атомы и молекулы не занимают точно определенных мест в теле, и для строгого статистического описания их расположения нужно ввести функцию плотности р (х, у, z), определяющую вероятности различных положений частиц: pdV есть вероятность отдельной частице находиться в элементе объема dV. Свойства симметрии расположения частиц определяются теми преобразованиями координат (переносами, поворотами, отражениями), которые оставляют функцию р(х, у, z) неизменной. Совокупность всех таких преобразований симметрии данного тела составляет его группу симметрии. Если тело состоит из различных атомов, то функция р должна быть определена для каждого сорта атомов в отдельности; это обстоятельство, однако, для нас не имеет значения, так как все эти функции в реальном теле будут фактически иметь одинаковую симметрию. Для этой же цели могла бы служить также функция р, определенная как полная электронная плотность, создаваемая всеми атомами в каждой точке тела1). Наиболее высокой симметрией обладают изотропные тела — тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы; сюда относятся газы и жидкости (и аморфные твердые тела). Очевидно, у такого тела для каждой частицы все ее положения в пространстве во всяком случае должны быть равновероятными, т. е. должно быть р = const. Напротив, в анизотропных твердых кристаллах функция плотности отнюдь не сводится к постоянной. Она представляет собой в этом случае трояко-периодическую функцию (с перио-
г) Движущиеся электроны могут создавать не только среднюю плотность зарядов (ер), но и среднюю плотность тока j (х, у, г). Тела с отличными от нуля токами—это тела, обладающие «магнитной структурой», и симметрия векторной функции j (х, у, г) определяет симметрию этой структуры. Она рассмотрена в другом томе этого курса (VIII). дами, равными периодам кристаллической решетки) и имеет резкие максимумы в точках, соответствующих узлам решетки. Наряду с трансляционной симметрией решетка (т. е. функция р (х, у, г)) обладает, вообще говоря, симметрией также и по отношению к различным поворотам и отражениям. Узлы, которые могут быть совмещены друг с другом путем какого-либо преобразования симметрии, называют эквивалентными. Приступая к изучению симметрии кристаллической решетки, следует начать с выяснения того, из каких элементов эта симметрия может складываться. Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность—свойство совмещаться сама с собой при параллельных переносах (или, как говорят, трансляциях) на определенные расстояния в определенных направлениях *); о трансляционной симметрии подробно будет идти речь в следующем параграфе. Наряду с трансляционной симметрией решетка может обладать также и симметрией по отношению к различным поворотам и отражениям; соответствующие элементы симметрии (оси и плоскости симметрии, зеркально-поворотные оси)—те же, которыми могут обладать и симметричные тела конечных размеров (см. III, § 91). Сверх того, однако, кристаллическая решетка может обладать еще и особого рода элементами симметрии, представляющими собой комбинации параллельных переносов с поворотами и отражениями. Рассмотрим сначала комбинацию трансляций с осями симметрии. Комбинирование оси симметрии с параллельным переносом вдоль направления, перпендикулярного к оси, не приводит к новым типам элементов симметрии. Легко убедиться в том, что поворот на некоторый угол с последующим переносом в перпендикулярном к оси направлении равносилен простому повороту на тот же угол вокруг другой оси, параллельной первой. Комбинирование же поворота вокруг оси с параллельным переносом вдоль этой же оси приводит к элементам симметрии нового типа—винтовым осям. Решетка обладает винтовой осью n-го порядка, если она совмещается сама с собой при повороте вокруг оси на угол 2л/п и одновременном переносе на определенное расстояние d вдоль этой же оси. Производя п раз поворот с переносом вокруг винтовой оси п-то порядка, мы в результате просто сдвинем решетку вдоль оси на расстояние, равное nd. Таким образом, при наличии винтовой оси решетка во всяком случае должна обладать и простой периодичностью вдоль этой оси с периодом, не большим
х) Кристаллическую решетку надо при этом представлять как бесконечную, отвлекаясь от наличия у кристалла внешней огранки. чем nd. Это значит, что винтовая ось п-го порядка может быть связана только с переносами на расстояния d = Ya (/>= *> 2> • • •> О» где а—наименьший период решетки в направлении оси. Так, винтовая ось 2-го порядка может быть только одного типа — с переносом на половину периода; винтовые оси 3-го порядка могут быть связаны с переносом на 1/3 и 2/3 периода и т. д. Аналогично можно скомбинировать трансляции с плоскостью симметрии. Отражение в плоскости вместе с трансляцией вдоль направления, перпендикулярного к плоскости, не приводит к новым элементам симметрии, так как такое преобразование, как легко убедиться, равносильно простому отражению в другой плоскости, параллельной первой. Комбинирование же отражения с переносом вдоль направления, лежащего в самой плоскости отражения, приводит к новому типу элементов симметрии—так называемым плоскостям зеркального скольжения. Решетка обладает плоскостью зеркального скольжения, если она совмещается сама с собой при отражении в этой плоскости и одновременном переносе на определенное расстояние d в определенном направлении, лежащем в этой же плоскости. Двукратное отражение в плоскости зеркального скольжения приводит к простому переносу на расстояние 2d. Поэтому ясно, что решетка может обладать только такими плоскостями зеркального скольжения, в которых величина трансляции равна d = а/2, где а—длина наименьшего периода решетки в направлении этой трансляции. Что касается зеркально-поворотных осей, то их комбинирование с трансляциями не приводит к новым типам элементов симметрии. Действительно, всякий перенос в этом случае можно разложить на две части, из которых одна перпендикулярна к оси, а другая параллельна ей, т. е. перпендикулярна к плоскости отражения. Поэтому зеркально-поворотное преобразование с последующим переносом всегда эквивалентно такому же простому преобразованию вокруг другой зеркально-поворотной оси, параллельной первой. § 129. Решетка Бравэ Трансляционные периоды решетки можно изображать векторами а, направленными вдоль соответствующего параллельного переноса и по величине равными длине переноса. Кристаллическая решетка обладает бесконечным множеством различных трансляционных периодов. Однако не все эти периоды независимы друг от друга. Всегда можно выбрать в качестве основ- ных три (соответственно числу измерений пространства) периода, не лежащих в одной плоскости. Тогда всякий другой период можно будет представить в виде геометрической суммы трех векторов, из которых каждый является целым кратным одного из основных периодов. Если основные периоды обозначать посредством а1( а2, а3, то произвольный период а будет иметь вид а = и1а1 + п2а2+л3а3, (129,1) где nlt л2, п3—любые целые положительные или отрицательные числа, включая нуль. Выбор основных периодов отнюдь не однозначен. Напротив, их можно выбрать бесчисленным множеством способов. Пусть а1(а2, а3—основные периоды; введем вместо них другие периоды &i, а2, а3 согласно формулам а*' = 2««а* (», А=1, 2, 3), (129,2) к где a,-ft — некоторые целые числа. Если новые периоды а, также являются основными, то, в частности, прежние периоды а,- должны выражаться через а,- в виде линейных функций с целыми коэффициентами; тогда и всякий другой период решетки сможет быть выражен через а,'. Другими словами, если выразить из (129,2) а,- через а(', то мы должны получить формулы типа a, = 2p\ftafe опять с целыми B,ft. Но, как известно, определитель равен обратной величине определителя \aik\. Поскольку оба должны быть целыми, отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, чтобы л\ были основными периодами, является равенство К*| = ±1. (129,3) Выберем какой-нибудь из узлов решетки и отложим от него три основных периода. Построенный на этих трех векторах параллелепипед называется элементарной ячейкой решетки. Вся решетка может быть тогда представлена в виде совокупности таких правильно уложенных параллелепипедов. Все элементарные ячейки в точности одинаковы по своим свойствам; они имеют одинаковую форму и объем, и в каждой из них находится одинаковое число одинаково расположенных атомов каждого рода. Во всех вершинах элементарных ячеек находятся, очевидно, одинаковые атомы. Все эти вершины представляют собой, другими словами, эквивалентные узлы, причем каждый из них может быть совмещен с любым другим посредством параллельного переноса на один из периодов решетки. Совокупность всех таких эквивалентных узлов, которые могут быть совмещены друг с другом путем параллельного переноса, образует так называемую решетку Бравэ кристалла. Очевидно, что решетка Бравэ не включает в себя всех вообще узлов кристаллической решетки. Больше того, она даже не включает в себя, вообще говоря, всех эквивалентных узлов, так как в решетке могут существовать такие эквивалентные узлы, которые совмещаются друг с другом только при преобразованиях, содержащих повороты или отражения. Решетку Бравэ можно построить, выделив какой-нибудь из узлов кристаллической решетки и производя все возможные параллельные переносы. Выбрав в качестве исходного другой узел (не входящий в первую решетку Бравэ), мы получили бы решетку Бравэ, смещенную относительно первой. Поэтому ясно, что кристаллическая решетка представляет собой, вообще говоря, несколько решеток Бравэ, вдвинутых одна в другую; каждая из них соответствует определенному сорту и расположению атомов, причем все эти решетки, рассматриваемые как системы точек, т. е. чисто геометрически, совершенно тождественны. Вернемся снова к элементарным ячейкам. Соответственно произвольности в выборе основных периодов неоднозначным является также и выбор элементарной ячейки. Элементарная ячейка может быть построена на любых основных периодах. Получающиеся таким образом ячейки обладают, конечно, различной формой; объем же всех их оказывается одинаковым. В этом проще всего убедиться следующим образом. Из предыдущего ясно, что каждая элементарная ячейка содержит по одному из узлов, принадлежащих к каждой из решеток Бравэ, которые можно построить в данном кристалле. Следовательно, число элементарных ячеек в данном объеме всегда равно числу атомов какого-либо определенного сорта и расположения, т. е. не зависит от выбора ячейки. Поэтому не зависит от выбора ячейки и объем каждой из них, равный общему объему, деленному на число ячеек. § 130. Кристаллические системы
Дата добавления: 2014-11-07; Просмотров: 357; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |