Ol — V2X 25 страница

Изменение состояния тела под влиянием «силы» / сопровож­дается поглощением (диссипацией) энергии; источником этой энергии служит внешнее воздействие, а после поглощения телом она превращается в нем в тепло. Эта диссипация тоже может быть выражена через величину а. Для этого воспользуемся ра­венством

dE _ Ш dt~ dt '

согласно которому производная по времени от средней энергии тела равна среднему значению частной производной по времени от гамильтониана тела (см. § 11). Поскольку в гамильтониане явно зависит от времени лишь возмущение V, то имеем

ТЕГ"**- 023,10)

Это соотношение играет важную роль в применениях излагаемой теории. Если нам известно выражение для изменения энергии в том или ином конкретном процессе, то, сравнивая его с (123,10), можно установить, какая величина играет роль «силы» / по от­ношению к интересующей нас переменной х.

Подставив х и / из (123,8—9) в (123,10) и усреднив по вре­мени, мы получим среднюю величину энергии, диссипируемой (в единицу времени) в системе под влиянием монохроматического возмущения; обозначим эту величину посредством Q. Члены, содержащие ехр (±;2Ш), обращаются при усреднении в нуль,

и мы находим^х)

Q=^,|(a*-a)|/_e|«= ^a'(o>)|/„

(123,11)

Отсюда видно, что мнимая часть восприимчивости определяет диссипацию энергии. Поскольку всякий реальный процесс всегда сопровождается некоторой диссипацией (Q > 0), то мы приходим к важному выводу о том, что для всех положительных значений переменной со функция а" отлична от нуля и положительна.

Оказывается возможным получить некоторые весьма общие соотношения для функции а (со) путем использования математи­ческого аппарата теории функций комплексного переменного. Будем рассматривать со как комплексную переменную (со = со'+г'со") и исследуем свойства функции а (со) в верхней полуплоскости этой переменной. Из определения (123,4) и из факта конечности a (t) при всех положительных / следует, что а (со) есть однознач­ная функция во всей верхней полуплоскости и нигде не обращается в ней в бесконечность, т. е. не имеет особых точек. Действительно, при со" > 0 в подынтегральном выражении в (123,4) имеется экспоненциально убывающий множитель ехр (—гсо"), а поскольку и функция а (г) конечна во всей области интегрирования, то ин­теграл сходится. Функция а (со) не имеет особенностей и на самой вещественной оси (со"=0), за исключением, возможно, лишь начала координат²). Полезно обратить внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции а (со) в верхней полу­плоскости является с физической точки зрения следствием прин­ципа причинности. Последний проявляется в том, что интегриро­вание в (123,2) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту t, в результате чего в формуле (123,4) область интегрирования и распространяется от0дооо(а не от—оодо+со).

Из определения (123,4) очевидно, далее, что

а(— со*) = а* (со).

(123,12)

Это есть обобщение соотношения (123,6), относящегося к ве­щественным значениям со. В частности, для чисто мнимых зна-

.,₂ da °> I 2л'

*) Если речь идет не о чисто монохроматической функции / (/), а о воз­мущении, действующем в течение ограниченного промежутка времени (/—«-О при | i | —>■ оо), то полная диссипация энергии за все время выражается через фурье-компоненты возмущения интегралом

J Qdt= - J_I-cua(co)|f_M|2g=₌j2coa"(co)|/,

²) В нижней же полуплоскости определение (123,4) неприменимо, так как интеграл расходится. Поэтому функция а (со) в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение выражения (123,4) из верхней полуплоскости. В этой области функция a (w) имеет, вообще говоря, особые точки, чений со имеем: a (t'co") = а* («о"), т. е. на мнимой оси функция а (со) вещественна.

Докажем следующую теорему: функция а (со) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней по­луплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на по­следней же ее (со) монотонно убывает от некоторого положитель­ного значения а₀ > 0 при со = Ю до нуля при со = iсо. Отсюда же, в частности, будет следовать, что функция а (со) не имеет нулей в верхней полуплоскости.

Рис. 53.

Для доказательства¹) воспользуемся известной теоремой теории функций комплексного переменного, согласно которой интеграл

/Г. (123ДЗ)

2т J аш а (со) —а \ > /

взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции а (со)—а в области, ограни­ченной контуром. Пусть а—вещественное число, а в качестве С выберем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (рис. 53). Предположим сначала, что а₀ конечно. Поскольку в верхней полуплоскости функция а (со), а потому а (со)—а, не имеет полюсов, то указанный интеграл дает просто число нулей разности а—а, т. е. число точек, в которых а (со) принимает вещественное зна­чение а.

Для вычисления интеграла пишем его в виде

1 г da

2m' J а—а ' с

причем интегрирование производится по контуру С в плоскости комплексной переменной а, являющемуся отображением контура С из плоскости со. Вся бесконечно удаленная полуокружность отображается в точку а = 0, а начало координат (со = 0) — в дру-

^J) Излагаемое ниже доказательство принадлежит Я. Н. Мейману.

гую, тоже вещественную точку а₀. Правая же и левая вещест-
венные полуоси со отображаются в плоскости а в некоторые
весьма сложные (вообще говоря, самопересекающиеся) кривые,
лежащие соответственно целиком в верхней и нижней полупло-
скостях. Существенно, что эти кривые нигде (кроме точек сс = 0
и ос = а₀) не пересекают ось абсцисс, так как а не, принимает
вещественных значений ни при каком (кроме со = 0) конечном ве-
щественном значении со. Ввиду этого свойства контура С полное
изменение аргумента комплексного числа а—а при обходе вдоль
него равно 2я (если число а лежит между 0 и а₀, как изобра-
жено на рис. 53) или нулю (если а ____ ' /£)>
лежит вне этого интервала) вне зави- ["""""^х.
симости от числа самопересечений кон-

тура. Отсюда следует, что выражение / \

(123,13) р'авно единице при 0 < а < а₀ I \

и нулю при всяком другом значении a. L--------------- > ^—О >,1

Таким образом, мы приходим к вы- ^{и а} *

воду, что функция а (со) в верхней полу- Рис 54.

плоскости со принимает всего по одному

разу всякое вещественное значение а, лежащее в указанном интер­вале (и ни разу—значения, лежащие вне этого интервала). Отсюда прежде всего можно заключить, что на мнимой оси, где функция ос (со) вещественна, она не может иметь ни максимума, ни мини­мума: в противном случае она принимала бы некоторые значения по крайней мере дважды. Следовательно, на мнимой оси функция се (со) меняется монотонно, пробегая здесь и только здесь по одному разу все вещественные значения от а₀ до нуля.

Если а₀ = оо (т. е. а (со) имеет полюс в точке со = 0), то изло­женное доказательство меняется лишь в том отношении, что при движении (в плоскости со) вдоль вещественной оси надо обойти начало координат сверху по бесконечно малой полуокружности. Изменение контура С на рис. 53 можно представлять себе при этом как результат отодвигания а„ на бесконечность. Функция а (со) на мнимой оси в этом случае монотонно убывает от + оо до 0.

Далее выведем формулу, связывающую мнимую и веществен­ную части функции а (со) друг с другом. Для этого выберем какое-либо положительное вещественное значение со = со₀ и проинте­грируем выражение а/(со — со₀) по контуру, изображенному на рис. 54. Этот контур идет вдоль всей вещественной оси, огибая сверху точку со = со_о>0 (а также точку со = 0, если последняя является полюсом функции а (со)). Контур замыкается бесконечно удаленной полуокружностью. На бесконечности а—*-0, и потому функция а/(со—со₀) стремится к нулю быстрее, чем 1/со. Поэтому

интеграл сходится; поскольку же а (со) не имеет особых точек в верхней полуплоскости, а точка co = to₀ исключена из области интегриро­вания, то функция «/(<»—щ) аналитична во всей области внутри контура С, и написанный интеграл равен нулю.

Интеграл по бесконечно удаленной полуокружности обра­щается в нуль сам по себе. Точку же со₀ обойдем по бесконечно малой полуокружности (радиуса р—»-0). Обход происходит по часовой стрелке и дает в интеграле вклад, равный —/па(со₀). Если а„ конечно, то обход начала координат излишен и интег­рирование вдоль всей вещественной оси дает, таким образом,

пт

)-* о

/ <о₀-р <ю ч

\ \ , ^а dto+ \ ———da) у — гяа(со„) = 0.

Первый член есть интеграл от —со до +оо, понимаемый в смысле главного значения. Отмечая это обстоятельство, как принято, перечеркнутым знаком интеграла, имеем

fna (<»,) = \ ~^ю. (123,14)

— СО

Переменная интегрирования со пробегает здесь лишь веществен­ные значения. Переобозначим ее буквой £, а посредством со обозна­чим заданное вещественное значение со„; напишем также функцию а (со) вещественного переменного со в виде a = a'-f-ia". Отделяя в (123,14) вещественную и мнимую части, найдем окончательно следующие две формулы:

со — со

да

^a'>) = -lHf^- 023,16)

— оо

¹) Что касается свойства a —>■ 0 при со —► оо, то оно не является сущест­венным: если бы предел ос» был отличен от 0, то надо было бы просто рас­сматривать разность a—а» вместо а с соответствующим очевидным видоизме­нением формул (123,15—16). См. также задачу к § 126.

Эти соотношения (которые называют дисперсионными) были впервые получены Крамерсом и Кронигом (Н. A. Kramers, R. L. Kronig, 1927). Подчеркнем, что единственным существенным свойством функции а (со), использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости¹). Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса—Кронига (как и указанное свойство функции а (со))являются прямым следствием принципа причинности.

Воспользовавшись нечетностью функции а" (£), можно перепи­сать (123,15) в виде

^V ' 31 J \ —ю ^{в 1} л Ji+ш ^в

или

«>) = |-$|&§^ (123,17)

о

Если функция а (со) имеет полюс в точке со = 0, вблизи кото­рой а=М/со, то обход этого полюса по полуокружности дает в интеграле дополнительный вещественный член — Л/со₀, который должен быть прибавлен к левой стороне равенства(123,14). Соот­ветственно такой же член появится и в формуле (123,16):

со

«•<«)=--Йг^+4- ⁽¹23,18)

— со

Формулы же (123,15) или (123,17) остаются без изменений.

i

Выведем еще формулу, выражающую значения а (со) на верх­ней мнимой полуоси через значения а" (со) на вещественной оси. Для этого рассмотрим интеграл

соа (со)

dco,

соЧ-Wo

взятый по контуру, состоящему из вещественной оси и беско­нечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (со„ — вещественное число). Этот интеграл выражается через вычет подынтегрального выражения относительно полюса со = г'со₀. С дру­гой стороны, интеграл по бесконечно удаленной полуокружности исчезает, так что получаем

СО

¹ асо = та (ш₀).

J U>² + C0jj — со

В левой стороне равенства вещественная часть интеграла обра­щается в нуль в силу нечетности интегрируемой функции. За­менив также обозначения со₀ и со на со и \, получим оконча­тельно:

«^^НЙЙИ- 023,19)

Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по dco, то получается

со со

$ а (ко) dco = $ а" (со) dco. (123,20)

о о

§ 124. Флуктуационно-диссипационная теорема

Приступим теперь к вычислениям, имеющим целью связать флуктуации величины х с введенной в предыдущем параграфе обобщенной восприимчивостью.

Пусть тело, к которому относится величина х, находится в некотором определенном (/г-м) стационарном состоянии. Сред­нее значение (122,8) вычисляется как соответствующий диаго­нальный матричный элемент оператора

~2 (^х<л^х(£>' ~Т~ ^xa>'^xtts)nn ~ ~2 ]S [(*е»)тв (^Х(Л')тп ~Ь (^ха')пт (^х<л)тп\> (124,1)

т

где суммирование распространяется по всему спектру уровней энергии (ввиду комплексности оператора х_а два члена в квадрат­ных скобках не совпадают друг с другом).

Зависимость оператора х (t) от времени означает, что вычис­ление его матричных элементов должно производиться с помощью зависящих от времени волновых функций. Поэтому имеем

со

(*»)».=Jх_пие'(^а»»^+ш)⁽^ = 2я^_тб(со_ли + о)), (124,2)

— со

где х_пт—обычный, не зависящий от времени матричный элемент оператора х, выраженного через координаты частиц тела, а (а_пт = (Е_п—Е_т)1%—частота перехода между состояниями пат. Таким образом,

~2 {^х<л^ха>' ~\~^х<л'^ха)пп ~

= 2я² £ | х_пт |» [б (co„_m + со) б (со_тп + «,') + б (со_п)В + со') б (со_и„ + со)]

т

(здесь учтено, что х_пт — х*_тп ввиду вещественности х). Произве­дения б-функций в квадратных скобках можно, очевидно, пере­писать в виде

б (со_пи + со) б (со + со') + б (со_ип + со) б (со + со').

Сравнивая после этого с (122,8), получим следующую формулу: (*²L = я 2 | х_пт |³ [S (со + со„_т) + 6 (со + со_и„)]. (124,3)

т

(124,4)

В связи с формой записи этого выражения сделаем следующее замечание. Хотя уровни энергии макроскопического тела, строго говоря, дискретны, но они расположены так густо, что факти­чески образуют непрерывный спектр. Формулу (124,3) можно написать без 6-функций, если усреднить ее по малым (но содер­жащим все же много уровней) интервалам частот. Если Т(Е) — число уровней энергии, меньших Е, то

(х% = л&К_и|*^{Г dT} ' ^dr

dE_m dE'„

где E_m^E_n + fto), Е'_т = Е_п—Аю.

Предположим теперь, что на тело действует периодическое (с частотой со) возмущение, описывающееся оператором

1? = _ fx = -1 (f_ae-'°* + Г<Р^Ш) х. (124,5)

Под влиянием возмущения система совершает переходы, причем вероятность перехода п—*т (в единицу времени) дается фор­мулой

а»-„ = ^|^„1М в («» + «>-»)+ «(«> + «>»-)}■ (124,6)

(см. III, § 42). Два члена в этой формуле возникают соответст­венно из двух членов в (124,5). При каждом переходе система поглощает (или отдает) квант 7гсо. Сумма

С0„

дает среднюю энергию, поглощаемую телом (в единицу времени); источником этой энергии является внешнее возмущение, а погло­щаясь телом, она диссипируется в нем. Подставив (124,6), по­лучим

Q = 4-1 /о |² 21 х_пт |^г {б (со + co_m„) + б (со + С0„_га)} со_ип
271 _т

или, учитывая, что б-функции отличны от нуля лишь при равном нулю аргументе,

^Q=lk^{Ы1/о |2} 21*««I² <^{6 to}+ *"«-) - ⁶ (со + «„„)}. (124,7)

т

Сравнивая (124,7) с (123,11), находим

а" И = т- £ I х_пт |М б (со + а>„ J - б (со + со_тп)}. (124,8)

Вычисленные таким образом величины (х^!)_миа" связаны между собой простым соотношением. Оно выявляется, однако, лишь после того, как эти величины будут выражены через темпера­туру тела. Для этого производим усреднение с помощью распре­деления Гиббса (ср. примечание на стр. 392). Для (х²)_а имеем

(%²)_ю=я 2 Рп\х_пт\² {о((х) + а_пт) + 8(ш + «>_тп)\,

я, т

где для краткости обозначено

р„ = ехр (^f^),

Е„—уровни энергии тела, F — его свободная энергия. Поскольку суммирование производится теперь по обоим индексам тип, то можно менять их пбозначение. Раскрыв фигурные скобки и заменив во втором члене тип друг на друга, получим

(г% = я 2 (Ря + р«) | х_пт |² б (со + со„_и) =

т, п

= я£ р_л(1+^^ю-/^Г)|^_т|^г6(со + со_ип)

т, п

или, ввиду наличия в суммируемом выражении 6-функции, (х»)_ш = я(1+е-*«>/Г) 2 р„|х_пи|²б(со + со_пт).

т, п

Совершенно аналогичным путем получим

а" = -г (1 - е-**'⁷-) £ Р„ | х_пт |² б (со + со_пи). Сравнивая друг с другом эти два выражения, найдем

<*-)_в = *а'с«ф^2W'{l+-^i—}. (124,9)

Полный же средний квадрат флуктуирующей величины дается интегралом

<х²> = |- ja"(co)cth^<Jco. (124,10)

о

Эти важные формулы составляют содержание флуктуационно-диссипаиионной теоремы (коротко ФДТ), установленной Калленом и Вельтоном (Н. В. Callen, Т. A. Welton, 1951). Они связывают флуктуации физических величин с диссипативными свойствами системы при внешнем воздействии на нее. Обратим внимание на то, что множитель в фигурных скобках в (124,9) представляет собой среднюю энергию (в единицах &со) осциллятора при тем­пературе Т; член 1/2 отвечает нулевым колебаниям.

Подобно тому, как это было сделано в конце § 118, получен­ные результаты можно представить в другом виде, рассматривая формальным образом самопроизвольные флуктуации величины х как результат воздействия некоторых фиктивных случайных сил. При этом удобно записывать формулы, вводя фурье-компоненты ^ха> ^и fa ^так> ^как если бы х было классической величиной. Связь между ними записывается в виде

х_и = а(со)/_и, (124,11)

подобном (123,3), после чего для средних квадратичных флук­туации пишем

<ХфХ_а- > = а (со) а (со') </<₀/v >,

или, переходя к спектральным плотностям флуктуации, согласно определению (122,4):

(х% = а (со) а (- со) (/% = | а (со) |² (/%.

Для спектральной плотности среднего квадрата случайной силы имеем, следовательно, из (124,9)

Такая трактовка может представить определенные преимущества в конкретных применениях теории.

Вывод ФДТ основан на рассмотрении, внешнего воздействия (124,5) как малого возмущения; с малостью воздействия связана также и линейность отклика системы—линейность связи между х и силой /. Подчеркнем, однако, что это обстоятельство отнюдь не приводит к появлению каких-либо физических ограничений на допустимые значения средней флуктуации самой величины х. Малость воздействия всегда может быть обеспечена сколь угодной малостью вспомогательной величины /, не фигурирующей в окон­чательной формулировке ФДТ. Таким образом, для рассматри­ваемой категории физических величин х свойства их флуктуации (в термодинамически равновесной системе) полностью определя­ются свойствами отклика системы на сколь угодно слабое внешнее воздействие.

При температурах Т^>7ш имеем cth(&co/27')«277&со, и фор­мула (124,9) принимает вид

(х²)_ш=^а"(со). (124,13)

Из нее выпадает квантовая постоянная в соответствии с тем, что в этих условиях флуктуации классичны.

Если неравенство T^>Jm справедливо при всех существенных частотах (частоты, для которых а" (со) существенно отлично от нуля), то к классическому пределу можно перейти и в интег­ральной формуле (124,10):

=

я J со о

Но согласно (123,17) этот интеграл выражается через статическое значение а'(0) = а(0), так что¹).

<х²> = Га(0). (124,14)

Остановимся, наконец, на связи изложенных результатов с теорией квазистационарных флуктуации (§ 118).

Прежде всего заметим, что если величина х такова, что ее флуктуации малы в подразумевавшемся в§ ПО смысле (т. е. допу­стимо разложение энтропии (110,3)), то средний квадрат <х²> = 1/8. Сравнение с (124,14) показывает, что для такой величины

a(0) = pL. (124,15)

Пусть далее х относится к категории величин, флуктуации которых квазистационарны. Предположим, что тело подвергается воздействию статической силы f. Это приводит к смещению со­стояния равновесия, в котором х уже отлично от нуля и равно х = а(0) / = //6Г. Макроскопическое уравнение, описывающее релаксацию далекой от равновесия системы, будет тогда иметь вид

* = -А.(*-^), (124,16)

отличающийся от уравнения х — — кх (118,5) тем, что скорость х обращается в нуль не при х = 0, а при x = f/$T.

^х) Это выражение можно получить также и прямо из распределения Гиббса в классической статистике. Пусть x = x(q, р)— некоторая классическая величина. Вводя в энергию систему член—xf (с постоянным f), для среднего значения х будем иметь 7=lx_{q,_p)ez_P{^F-^E«'f}_dqdp. По определению a(0)=dx/df при /—»-0; дифференцируя написанное выраже­ние, находим 1 f» (р f\ 1 а(0) = ^\ ^х* ^ехР (—f~U<ldP= y <*²> (свободная энергия F тоже зависит от /, но член с производной dF/df выпадает после того, как будет положено / = 0, т. е. х = 0).

Уравнение (124,16) можно считать применимым и в случае, когда тело подвержено воздействию зависящего от времени возмущения, если только период изменения силы / (г) велик по сравнению со временем установления.неполного равновесия (отвечающего каж­дому заданному значению х). Если f(t) — периодическая (с ча­стотой со) функция времени, то с той же частотой будет меняться и макроскопическое значение x(t). Подставив в уравнение (124,16) f (t) и x(t) в виде (123,8—9) и отделив в нем члены, содержащие ехр(— mt) и expicor, получим

— icoa (со) /о = — ка (со) fo + щ /о,

откуда

«(»)^вргга- 024,17)

Согласно ФДТ (124,9) находим теперь

^ = р1Г?Ь)1^сШ|- 024,18)

Этот результат обобщает формулу (122,9), относящуюся к флук­туациям классической величины. Выражение (124,18) отличается от (122,9) множителем

ff-cth|f, (124,19)

обращающимся в единицу в классическом пределе, когда &со<^7\ Уравнение (124,16) можно рассматривать и в другом аспекте: не как макроскопическое, уравнение движения далекой от равно­весия системы (находящейся под внешним воздействием), а как уравнение для флуктуации величины x(t) в равновесной замкну­той системе, происходящих под влиянием случайной силы f. В такой интерпретации оно отвечает уравнению (118,9), так что оба определения случайной силы отличаются лишь множителем: y = kf/T$. Для спектральной плотности (г/% найдем, подставив (124,17) в (124,12):

G,-)_e = f-^cth5-, (124,20)

что отличается от прежнего выражения (122,10) тем же множи­телем (124,19).

§ 125. Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин

ФДТ легко может быть обобщена на случай, когда рассма­триваются одновременно несколько флуктуирующих величин x_t.

Обобщенные восприимчивости определяются в таком случае по отклику системы на возмущение вида

V = -Xtft{t) (125,1)

и представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-компонентами средних значений х,- (t) и обобщенных

°^{ИЛ М}°^: x_to = a_tt(<o)/_to. (125,2)

Изменение энергии системы выражается через внешнее возмуще­ние согласно соотношению

£ = (125,3)

Эта формула, как и (123,10), обычно служит в конкретных при­менениях теории для установления фактического соответствия между величинами х₍ и

Спектральные плотности флуктуации вводятся по средним значениям симметризованных операторных произведений:

Y<XiJc_kli),+х_к1а.х_ш> = 2л (х,-л*)_т б (со + со'), (125,4)

обобщающих выражение (122,8). Вычисление этого среднего как диагонального (пп) матричного элемента, аналогичное выводу (124,3), приводит к результату

пт (X/i)mn

б (со + со,_ш) + {X_k)_nm {Xi)_mn б (со + со,_лп)}.

m

(125,5)

Пусть на систему действует периодическое возмущение, в ко-
тором.

//(0 = у(/.|-е-'^и' + /Ье"»0- (125,6)

Отклик системы на это возмущение:

xi (0 = у Ы И и#'^ш + «л И Я**"⁰']- (125,7)

Подставив (125,6—7) в (125,3) и усреднив по периоду возму­щения, получим вместо (123,11) следующее выражение для дис­сипации энергии:

Q=^(a?_ft-a_w)/„/;*. (125,8)

С другой стороны, вычисление, аналогичное выводу (124,7), дает

т

а сравнив с (125,8), получим a*_fe—a_w =

= —у £ [(**)*„ (**)««б (со + C0„J — (Xi)_nm (х_к)_тп б (со + ш_яя)]. т

(125,9)

Наконец усреднив (125,5) и (125,9) по распределению Гиббса, как это было сделано в предыдущем параграфе, найдем следую­щую формулу, обобщающую флуктуационно-диссипационную тео­рему (124,9):

= у ik (ali—^ik) cth. (125,10)

Аналогично формулам (124,11—12) можно выразить и формулу (125,10) через фиктивные случайные силы, действие которых дало бы результат, эквивалентный самопроизвольным флуктуа­циям величин х_{. Для этого пишем

Xie>~^alkfk<ui fi(0 = ^aTk^xk(0 (125,11)

и далее

Подставив сюда (125,10), получим

(Ш_в = 4 Ы~^а*П ^cth 2Т • 025,12)

Полученные результаты позволяют сделать определенные заключения о свойствах симметрии обобщенных восприимчиво-стей а,-_А(со) (Я. В. Callen, М. L. Barrash, J. L. Jackson, R. F. Green, 1952). Предположим сначала, что величины x_it x_k инвариантны относительно обращения времени; тогда их опера­торы x_h x_k вещественны. Кроме того, будем считать, что тело не обладает магнитной структурой (см. ниже примечание, стр. 436) и не находится во внешнем магнитном поле; тогда вещественны и волновые функции его стационарных состояний¹). Поэтому будут вещественны также и матричные элементы величин х, а учитывая эрмитовость матриц х_пт, имеем: х_пт = х*_тп = х_тп. Тогда правая, а потому и левая стороны равенства (125,9) сим­метричны по индексам i, k. Таким образом, а.%—«fef = a«—а# или a_ik + a*_k = а_ы + a*_ki, т. е. мы приходим к выводу о симме­тричности вещественной части a_ik.

^]) Точные уровни энергии системы взаимодействующих частиц могут быть вырождены только по направлениям полного момента системы. Этот источник вырождения можно исключить, предполагая тело заключенным в сосуд с не­подвижными стенками. После этого уровни энергии тела будут невырожден­ными, а потому соответствующие им точные волновые функции могут быть выбраны вещественными.

Но вещественная (a'_ik) и мнимая (a_ik) части каждой из вели­чин a_ik связаны друг с другом линейными интегральными соот­ношениями—формулами Крамерса — Кронига. Поэтому из сим­метричности <x'_lk следует симметричность также и a"_ik, а потому

и целиком a_ik. Таким образом, приходим к окончательному ре­зультату:

«/*(<») = ««N- (125,13)

Вид этих соотношений несколько меняется, если тело нахо­дится во внешнем магнитном поле Н. Волновые функции системы в магнитном поле не вещественны, а обладают свойством г))*(Н) = т])(—Н). Соответственно для матричных элементов вели­чин х имеем

Х_Пт(Щ = Х_тп (—Н),

и выражение в правой части (125,9) не меняется при переста­новке индексов i, k лишь при условии одновременного изменения знака Н. Поэтому мы приходим к соотношению

Дата добавления: 2014-11-07