Ol — V2X 33 страница

В изложенных вычислениях не учитывалась специфика упру­гих свойств твердого тела, отличающего его от жидкости ^г). Не учитывался также эффект деформации тела, появляющийся в результате возникновения в нем порядка (этот эффект будем называть стрищией). В рамках теории Ландау эти эффекты не отражаются на выводах, изложенных в предыдущих пара­графах. Совместное действие обоих указанных факторов может, однако, существенно отразиться на флуктуациях параметра порядка, а тем самым—на характере фазового перехода. Ис­следование этого вопроса требует широкого применения теории упругости и потому выходит за рамки данного тома. Мы ограничимся здесь лишь указанием некоторых резуль­татов.

Стрикционная деформация может быть (в зависимости от симметрии кристалла) линейна или квадратична по параметру порядка. Характер влияния упругих свойств тела на фазовый переход в этих случаях различен.

В случае линейной стрикции обозначим посредством у поря­док величины коэффициентов пропорциональности между компо­нентами тензора деформации (u_ik) и параметром порядка: u_ik~yr\. Влияние этого эффекта на флуктуации проявляется в той окрест­ности точки перехода, где at^y^[24]/X. (X — порядок величины моду­лей упругости тела). Во многих случаях стрикция представляет собой слабый эффект, и в этом смысле величина у является малой. Тогда указанная область температур узка и лежит внутри флуктуационной области.

*) При этом существен не столько сам факт анизотропии этих свойств, сколько несводимость деформаций к одной только деформации всестороннего сжатия. В этом смысле сказанное ниже относилось бы и к изотропному твер­дому телу с отличным от нуля модулем сдвига.

Длинноволновые флуктуации (k^Vy^lXg) оказываются здесь подав ленным и, и корреляционный радиус, достигнув значения r_e~Vgh/y*, перестает возрастать. В результате теплоемкость в точке перехода испытывает лишь конечный скачок, как и в теории Ландау^[25]).

К Другим результатам приводит квадратичная стрикция^[26]). Этот эффект тоже подавляет флуктуации, но в более слабой степени. Если без учета стрикции в точке перехода теплоем­кость обращалась бы в бесконечность (см. § 148), то квадра­тичная стрикция приводит вместо этого к появлению небольшого скачка энтропии, т. е. фазовый переход становится переходом первого рода, близким к второму; теплоемкость остается при этом конечной, хотя и достигает аномально больших значений^[27]).

Задача

Определить корреляционный радиус флуктуации параметра порядка во внешнем поле h при Т = Т_С.

Решение. Равновесное значение т| дается выражением (144,9), а плот­ность термодинамического потенциала:

в-м-^+жф^-в+^^+.ф)'.

Для корреляционной функции получается прежний результат (146,11) с корре­ляционным радиусом

_ 2^1/8g^1/2

§ 147. Эффективный гамильтониан

Прежде чем перейти к описанию свойств фазового перехода вне области применимости теории Ландау (т. е. в непосредствен­ной окрестности точки перехода), покажем, каким образом могла бы быть поставлена статистическая задача об исследовании этих свойств^[28]).

Согласно (35,3) термодинамический потенциал Q определяется статистической суммой

Q= -Т In 2 e»^N'^T \ е-^Е*^{р'^q)/TdT_N, (147,1)

где интегрирование производится по всему фазовому простран­ству системы /V частиц. Если же распространить интегрирова­ние лишь по той части фазового пространства, которая отвечает некоторому заданному распределению параметра порядка п (г),

то определяемый формулой (147,1) функционал Q[r)(r)] можно рассматривать как потенциал, отвечающий этому распределению. Непрерывное распределение т)(г) удобно при этом заменить дискретным набором комплексных переменных т]_к = Ц_к + 1Ц_к— компонент фурье-разложения (146,7). Тогда определение Q[t)] запишется в виде

Q[r)(r)]=-rin£e^/^r jexp (—^ENf^?)) х

n

ХЛ^Ык— Ц_к(Р, Я\ W))°(ri'_k — ri'_k(p, q; N))-dY_N, (147,2)

k

где т)к(Р. Q'' Ю—величины % как функции точки р, q фазового пространства. Очевидно, что при таком определении

Q=—Tin Сехр (— П<4<4- (147,3

V 'к

В предыдущем параграфе было показано, что аномальному возрастанию вблизи точки перехода подвержены только флукту­ации с малыми волновыми векторами к; именно этими флукту­ациями определяется, следовательно, характер особенности тер­модинамических функций. В то же время такие количественные характеристики вещества, как сама температура перехода Т_с, определяются в основном атомными взаимодействиями в веществе на близких расстояниях, чему отвечают коротковолновые ком­поненты т)к ■ Это физически очевидное обстоятельство проявляется в статистическом интеграле тем, что большим значениям к отвечает большой фазовый объем.

Пусть k₀ (параметр обрезания) — некоторое значение k, малое по сравнению с характерным обратным атомным размером. Длин­новолновая часть распределения г, (г) дается суммой

Л(0= 2 %e^(kr, (147,4)

к < k„

а термодинамический потенциал й[ч], отвечающий этому рас­пределению, дается формулой (147,2), в которой произведение по к должно быть распространено только по значениям k < k_B. Соответственно и связь Й[п] с Q дается формулой (147,3) с ин­тегрированием ЛИШЬ ПО Г)к с £<й₀¹).

Вблизи точки перехода функционал Q[r\] может быть разло­жен по степеням функции т)(г), а поскольку эта функция — мед­ленно меняющаяся, то в разложении можно ограничиться чле­нами наиболее низкого порядка по производным этой функции. В то же время это разложение должно уже учитывать самый факт существования фазового перехода, поскольку значение Т_с определяется уже исключенными из г| коротковолновыми компо­нентами. Это значит, что разложение й[г|] должно прямо иметь вид (146,5)

Q[_M] = Q₀-r $[a^^e + &4*+g(VTi)*—audv.

Окончательно, опустив теперь значок ~, приходим к следующему выражению для термодинамического потенциала Q:

Q-Q₀ = -Tln jexp (_^Ё*)Д^л'к4т|к, (Н7.5)

где

#_ЭФФ=S Им² +b^+g(\₄)²~h₄]dV (147,6)

играет роль эффективного гамильтониана системы, испытываю­щей фазовый переход.

В области применимости теории Ландау флуктуации малы. Это значит, что в статистическом интеграле (147,5) сз'щественны значения г|, лежащие в узком интервале вокруг значения 4 = 4, минимизирующего эффективный гамильтониан. Взяв интеграл методом перевала (т. е. заменив показатель экспоненты его раз­ложением вблизи минимума), мы должны вернуться к термоди­намическому потенциалу теории Ландау; поэтому коэффициенты в эффективном гамильтониане и в термодинамическом потенциале теории Ландау должны совпадать буквально. При этом, однако, флуктуационные поправки приведут к некоторому сдвигу значе­ния температуры перехода Т_с по сравнению со значением Т£⁰⁾, фигурирующим в (147,6) в разности t = T — Tf\

Интеграл (147,5) берется по бесконечному множеству пере­менных r|k (после того, как эффективный гамильтониан подста­новкой Т|(г) из (147,4) выражен через эти переменные). Если бы этот (как говорят, континуальный) интеграл мог быть вычислен, тем самым был бы выяснен характер особенности функции Q(p, Т) вблизи точки перехода. Это, однако, оказывается невозможным.

В формировании особенности играют роль флуктуации с вол­новыми векторами k ~ 1/г_с. При t —>-0 радиус корреляции г_с—>-со, так что существенны сколь угодно малые значения k. Поэтому представляется весьма вероятным, что характер особенности не зависит от выбора величины параметра обрезания k₀. Если счи-

тать, что эта особенность состоит в появлении в термодинами­ческом потенциале членов с нецелыми степенями температуры t и поля п, то сделанное утверждение означает независимость от k_g показателей этих степеней (так называемых критических ин­дексов).

Отсюда в свою очередь должна следовать независимость этих показателей от конкретных значений коэффициентов Ь и g в эф­фективном гамильтониане (а тем самым — от р или Р, функциями которого они являются). Действительно, изменение k_a—*kjX эквивалентно изменению масштаба измерения координат (г—>-^г), и потому последнее не должно менять критических индексов. С другой стороны, преобразование г—>Лг меняет коэффициенту в эффективном гамильтониане, не меняя коэффициента Ь; поэтому критические индексы не должны зависеть от g. Аналогичным образом, заменив одновременно с преобразованием г—>-А,г также и переменную континуального интегрирования и—^Кц, мы изме­ним Ь, не изменив g, а потому критические индексы не зависят и от Ь (изменение же коэффициента а вообще несущественно, так как устраняется соответствующим изменением масштаба t, заведомо не отражающимся на показателе степени).

Таким образом, следует ожидать, что критические индексы будут одинаковы для всех систем с эффективным гамильтониа­ном вида (147,6). Они, однако, могут быть другими, если сим­метрия системы такова, что (по-прежнему при одном параметре порядка) квадратичный по производным член в эффективном гамильтониане имеет более общий вид (146,4).

Продолжая эту линию рассуждений, можно ожидать, что и в более общих случаях, когда изменение симметрии при пе­реходе описывается несколькими параметрами порядка, крити­ческие индексы зависят только от структуры эффективного га­мильтониана, но не от конкретных значений коэффициентов в нем. При этом в понятие структуры гамильтониана входит число и вид инвариантов четвертого порядка (а также знаки и соотношения типа неравенств между коэффициентами при них), и вид членов, квадратичных по производным от парамет­ров порядка. Возникающие в связи с этим вопросы, однако, в настоящее время еще почти вовсе не исследованы.

Наконец, скажем несколько слов о вычислении последова­тельных членов разложения статистической суммы (147,5—6) по степеням Ь. Пусть h — 0, t > О, так что т, = 0; при Ь = 0 эффек­тивный гамильтониан

я$_ф = У 2 Ы«; (147,7)

он распадается на сумму членов, каждый из которых зависит только от одного из х\ь\ статистический интеграл при этомлегко вычисляется (см. задачу). Дальнейшие члены разложения (отвечающие уже учету «взаимодействия» между флуктуациями с различными к) представляют собой произведения различных т|к, усредненные по гауссовому распределению [счэехр (—НЩф/Т_с)]. Для таких интегралов справедлива теорема, согласно которой среднее значение от произведения нескольких щ равно сумме произведений попарных средних значений от множителей, выб­ранных из числа имеющихся всеми возможными способами. Каждое такое среднее есть корреляционная функция флуктуа­ции (в k-представлении), и, таким образом, вычисление после­довательных членов разложения по Ь сводится к вычислению некоторых интегралов от произведений корреляционных функ­ций ^х). По мере приближения к точке перехода эти интегралы расходятся, но оказывается невозможным выделить среди них какую-либо совокупность «наиболее сильно» расходящихся, ко­торую можно было бы просуммировать^[29]).

В описанной постановке задачи подразумевается, что харак­тер особенности не зависит от наличия членов более высоких порядков в разложении эффективного гамильтониана по сте­пеням х]. Есть веские основания полагать, что это действи­тельно так, поскольку такие члены приводят к интегралам, расхо­дящимся слабее, чем интегралы, возникающие от члена ~ту*.

Задача

Найти первую флуктуанионную поправку к теплоемкости в области при­менимости теории Ландау (А. П. Леванюк, 1963).

Решение. Произведем вычисления для симметричной фазы в отсутствие поля. В первом приближении эффективный гамильтониан дается выражением (147,7). Вычисление статистического интеграла по формуле (147,5) дает

а-а₀=-г_су 1п--^=тАыХЩ1!й^

V(at-\-gk ^[30] ) ^с J лТ (2л.)^[31]

k < *„ о

¹)Указанная теорема играет здесь роль, аналогичную роли теоремы Вика в квантовой электродинамике, а отдельные члены ряда могут быть изобра- жены графиками, аналогичными диаграммам Фейнмана. Изложение построен- ной таким образом «диаграммной техники» вычисления статистической суммы можно найти в книге: А. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, Флуктуацион- ная теория фазовых переходов, «Наука», 1975.

(интегрирование производится по половине k-пространства, поскольку т]_к и r|__k не независимы). Представляя собой малую поправку в потенциале Q, это выра­жение дает поправку также и к потенциалу Ф. Двукратное дифференцирование

этого выражения по t дает поправку к теплоемкости

(1)

о

Потребовав малости этой поправки по сравнению со скачком теплоемкости (143,8), мы снова придем к условию применимости теории Ландау (146,15) в виде

о|<|>

32ji²g³'

Обратим внимание на большой численный коэффициент в знаменателе выражения в правой стороне неравенства.

§ 148. Критические индексы

Существующая теория фазовых переходов второго рода основа­на на некоторых хотя и не доказанных строго, но вполне правдо­подобных предположениях. Она опирается, конечно, и на под­тверждение этих предположений эмпирическими данными, а также результатами численных расчетов на определенных простых моделях.

Эти данные дают основание считать, что при Т—>Т_С всегда обращается в бесконечность производная дС_р/дТ, а во многих случаях — и сама теплоемкость С_р. Уже отсюда можно сделать ряд заключений о поведении некоторых других термодинамиче­ских величин. Сделаем это в предположении обращения в бес­конечность самой теплоемкости (А. В. Pippard, 1956).

Обращение С_р—Т(dS/dT)_p в бесконечность означает, что энтропия тела может быть представлена в виде

S = S(T, Р—Р_С(Т))

(где Р — Р_С(Т)—уравнение кривой точек фазового перехода в плоскости Р, Т), причем производная этой функции по ее второму аргументу стремится при Р — Р_с—^0 к бесконечности. Обозначив дифференцирование по этому аргументу штрихом и оставляя только расходящиеся члены, имеем

V. дТ Jp \ дР)т

S',

C_p*o\t\-

(148,4)

(где снова t = T—Т_с). Мы увидим ниже в этом параграфе, что существуют основания считать значения показателя а одинако­выми по обе стороны точки перехода (и то же самое относится к другим введенным ниже показателям). Коэффициенты же про­порциональности в законе (148,4) с двух сторон, конечно, раз­личны^[32]).

Закон стремления к нулю равновесного значения параметра порядка в несимметричной фазе запишем как

т,~(—р>0. (148,5)

По самому своему определению показатель 6 относится только к несимметричной фазе^[33]).

Для описания же свойств самих флуктуации параметра Г| вводятся показатель v, определяющий температурную зависи­мость корреляционного радиуса:

r_ec4s|/|-v, _v>o (148,6)

и показатель £, определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием при t = 0:

G(r)ccr-<^d-[34]⁺V, (148,7)

где d — размерность пространства (d — З для обычных тел). Запись (148,7) в таком виде имеет целью дать определение, удобное также и для фазовых переходов второго рода в дву­мерных системах (d = 2). Закон (148,7) относится и к отличным от нуля значениям \t\<^.T_c, но лишь для расстояний г<^.г_с.

Показатели степеней в законах (148,4—7) называют крити­ческими индексами. Следует подчеркнуть, что степень точности, с которой связан дальнейший вывод соотношений между крити­ческими индексами, не позволил бы различать логарифмические множители на фоне степенных. В этом смысле, например, нуле­вой показатель может отвечать как стремлению величины к по­стоянному пределу, так и ее логарифмическому возрастанию.

Еще ряд индексов вводится для описания свойств тела во флуктуационной области при наличии внешнего поля h. При этом следует различать области полей, являющихся «слабыми» или «сильными» в смысле, указанном в конце § 144: h<^.h_t или h^>h_t, где h_t— значение поля, при котором индуцированный полем параметр т)_инд -~ %h становится того же порядка, что и характерная величина параметра спонтанного порядка r\_cn(t)-К области слабых полей относится индекс у, определяющий закон изменения восприимчивости:

X~|f/-^V, Y>0. (148,8)

К этой же области можно отнести и введенные выше индексы: законы (148,4—6), определенные для нулевого поля, относятся, конечно, и к предельному случаю слабых полей.

Для обратного же случая сильных полей введем критиче­ские индексы, определяющие зависимость термодинамических величин и корреляционного радиуса от поля:

С_р оо /г^Е, (148,9)

Г|<х>/1"'⁶ (6>0), (148,10)

r_c<s>h-v (Р>0) (148,11)

(для определенности полагаем, что h > 0)^х).

Универсальность предельных законов поведения вещества во флуктуационной области вблизи точки фазового перехода вто­рого рода в том смысле, о котором шла речь в предыдущем параграфе, означает такую же универсальность критических индексов. Так, следует ожидать, что их значения одинаковы для всех переходов с изменением симметрии, описывающимся всего одним параметром порядка.

Критические индексы связаны друг с другом рядом точных соотношений. Часть из них является почти прямым следствием определений различных индексов; с вывода этих соотношений мы и начнем.

В § 144 было указано, что включение внешнего поля h раз­мывает фазовый переход по некоторому температурному интер­валу. Величину этого интервала t можно оценить по упомяну­тому выше условию г)_инд (h) ~ г\_сп (t), понимая его теперь как условие для t при заданном п. Согласно определениям (148,5) и (148,8) имеем

и приравнивание обеих величин дает

11 |^p+v счз h. (148,12)

С другой стороны, тот же интервал размытия можно оценить из требования, чтобы полевая часть термодинамического потен­циала (—Vr\h) совпадала по порядку величины с тепловым членом; последний: ~ t²C_p, поскольку С_р ——Тд²Ф/дТ². Отсюда находим: | г |^2_а_р оо й, и, выразив h через t из (148,12), прихо­дим к равенству

a + 2p+Y = 2 (148,13)

(J. W. Essam, M. E. Fisher, 1963).

Далее воспользуемся очевидным обстоятельством, что на краю области размытости перехода (т. е. при условии (148,12)) можно с равным правом выражать каждую термодинамическую величину через температуру t или через поле h. Поэтому,например, имеем здесь

П оо 11 |Р cv Л1/в,

а выразив h через t с помощью (148,12), находим равенство

66 = B+y (148,14)

(В. Widom, 1964). Таким же способом, исходя из двух пред­ставлений теплоемкости С_р, найдем

е(р-Н) = а. (148,15)

Равенства (148,14—15) связывают друг с другом индексы, опре­деляющие температурную зависимость термодинамических вели­чин в слабых полях и их зависимость от h в сильных полях.

Аналогичное равенство получается тем же способом для индексов, определяющих поведение корреляционного радиуса^[35]):

P(6+_T) = v. (148,16)

Наконец, еще одно соотношение можно получить путем оценки выражений, стоящих в обеих сторонахформулы(146,13). Согласно (146,2) и определению (148,8) средний квадрат флуктуации в заданном объеме V:

<(Ал)% = ^-~К|-^?.

Интеграл же от корреляционной функции определяется областью пространства ~ri, в которой эта функция существенно отлична от нуля и, согласно определению (148,7), ее порядок величины cv>/-~^(</~^2+S). Поэтому величина интеграла (в d-мерном пространстве)

оо ri-r'^-^ = г*"⁵ оо 11 j-v<^[36]-t>. Сравнение обоих выражений приводит к равенству

v(2-£) = _Y. (148,17)

Таким образом, мы получили пять соотношений, связывающих между собой восемь индексов. Эти соотношения позволяют, сле­довательно, выразить все индексы всего через три независимых.

Отсюда можно, в частности, сделать указывавшееся уже заключение об одинаковости значений «температурных» индек­сов а, у, v по обе стороны точки перехода. Действительно, если бы, например, у было различным для t > 0 и t < 0, то из (148,14) следовало бы, что и индекс б зависит от знака t. Между тем этот индекс относится к сильным полям п, удовле­творяющим лишь условию h^>h_u не зависящему от знака t, а потому и сам не может зависеть от этого знака (то же самое относится и к двум другим «полевым» индексам е и р). Из соот­ношений (148,13) и (148,16) следует затем независимость от знака * также и индексов а и v.

Полученные результаты позволяют сделать некоторые заклю­чения о термодинамических функциях системы при произвольном соотношении между t и Л. Продемонстрируем это на примере функции т] (t, h).

Представим эту функцию в виде

(при заданном Р). Выбор первого аргумента функции f дик­туется условием (148,12), разделяющим случаи слабых и сильных полей (причем, согласно (148,14), заменено 6 + 7 = 66); этот аргумент пробегает все значения от малых до больших. Аргу­мент же t вблизи точки перехода всегда мал, и для получения главного члена в функции т] (г, Л) надо положить его равным нулю. Таким образом, приходим к выражению

г, (г, h) = h^f{j^_my Л>0, (148,18)

где /—функция уже только одного аргумента x = t/h¹^⁸. Выра­жение (148,18) написано для Л > 0; ввиду симметрии системы по отношению к одновременному изменению знака Лит), фор­мула для Л<0 получается из (148,18) просто заменой Л—*—Л,

Т)—► — Т).

В сильных полях (х<^\) должен получаться предельный закон (148,10); это значит, что

/(*) = const при х-+0. (148,19)

Более того, при Л^О параметр порядка отличен от нуля как при t > 0, так и при t < 0, и точка г = 0 физически ничем не замечательна; это значит, что функция f (х) разлагается по целым степеням х.

В слабых полях при t < 0 параметр порядка следует закону (148,5), а при г>0 должно быть т) = %Л с % из (148,8); из этих требований находим, что

f(x)co (—х)^р при х—оо; f(x)»ix~^y при х—->-оо. (148,20)

Понятие слабого поля предполагает t=£Q. При заданном отлич­ном от нуля значении г нулевое значение поля не является особой точкой термодинамических функций. Поэтому функция r\(t, К) при t^0 разложима по целым степеням переменной Л (причем это разложение различно для t > 0 и t < 0). Естест-

венная формулировка этого свойства, однако, требовала бы записи r\(t, h) не в виде (148,18), а в терминах функции перемен­ной h/ft⁶.

Аналогичные соображения можно применить и к корреля­ционной функции флуктуации параметра порядка. Так, в отсут­ствие поля она зависит, помимо расстояния г, еще от пара­метра t. Вблизи точки перехода, однако, корреляционная функция G(r\ t) может быть представлена в виде

т.е. с помощью функции всего одной переменной x = rt^v. При х—->-0 эта функция стремится к постоянному пределу (в соот­ветствии с определением (148,7)), а при х—»оо экспоненциально затухает, причем корреляционный радиус в зависимости от тем­пературы следует закону (148,6).

Зада ча

Найти закон изменения с температурой при t —>• 0 для производной dC_v/dT, если С_р стремится к бесконечности согласно (148,4) с а > 0.

Решение. С большей точностью, чем в (148,1—2), напишем при t—>-0

^LP~'c _dT \_дТ)р+^а'

₌ (^dV \ ^dPc ^{Ь dT}c

дТ]р~ \дР ]т dT ~т~Т_с dP ' где а, Ъ — постоянные. Подставив эти выражения в (16,9), найдем

Если С_р возрастает как | t \~^а, то dC_v/dT ■» \ t\~^a~^a). При t = 0 функция C_v (t) имеет максимум в угловой точке с вертикальной касательной.

§ 149. Масштабная инвариантность

Соотношения (148,13—17) не связаны с какими-либо предпо­ложениями о характере флуктуационной картины вблизи точки перехода¹). Дальнейшие заключения о критических индексах требуют уже определенных предположений на этот счет.

Заметим, что в теорию входят, вообще говоря, два характер­ных размера, определяющих пространственное распределение флуктуации,—корреляционный радиус г_с и размер г₀ участ­ка тела, в котором средняя квадратичная флуктуация пара-

^г) Естественно поэтому, что все эти соотношения удовлетворяются и в теории Ландау.

vd = 2—а.

(149,2)

Присоединив это соотношение к полученным в § 148, мы можем выразить все критические индексы уже всего через два неза­висимых ^[37]).

Требование масштабной инвариантности позволяет получить единообразным образом все вообще соотношения между крити­ческими индексами. Для этого прежде всего дадим более фор­мальное определение этого требования.

Пусть масштаб всех пространственных расстояний меняется в одинаковое число раз: г—>г/и с некоторым постоянным и. Тогда масштабная инвариантность состоит в утверждении, что можно так изменить масштабы измерения величин t, h, tj, чтобы все соотношения теории остались неизменными. Другими словами, можно таким образом выбрать показатели A_t, A_h, А_ц (так называемые масштабные размерности) в преобразованиях

г—►ггЛ, h-^hu\ т|—».т₁и^Ач при г—►г/н, (149,3)

чтобы из всех соотношений множители и выпали.

Изменение пространственного масштаба должно, в частности, приводить к такому же изменению корреляционного радиуса флуктуации (г_с—*г_с/и); тем самым будет обеспечена инвариант­ность асимптотического выражения корреляционной функции (~ехр(—г/г_с)). Согласно определениям (148,6) и (148,11) при /г = 0 корреляционный радиус r_c = const t~^v, а при / = 0 г_с = = constПроизведя преобразование (149,3) и потребовав, чтобы коэффициенты в этих выражениях остались неизменными, получим

A_t = l, Д_й = 1. (149,4)

Далее рассмотрим изменение термодинамического потенциала при бесконечно малом изменении поля h. Согласно (144,2) имеем

d(p = — Ут] dh

(при £ = const и, как всегда, Р = const). При масштабном преоб­разовании объем V—>-V/u^d; потребовав, чтобы выражение d<D осталось прежним, т. е.

Vu-*-i\u*4-dhu*^h=Vt\dh,

получим

A_tI = d-A_ft=d—(149,5)

Таким образом, размерности A_t, A_ft, А_л выражены через два критических индекса ц и v. Требование масштабной инвариант­ности дальнейших соотношений приводит уже к выражению остальных критических индексов через эти два.

Потребуем инвариантности «уравнения состояния» системы, т. е. выражения параметра порядка через температуру и поле: г] = г)(г, h). Это значит, что должно быть

_ч(ги^Л', /ш^лй) = ы^дчг|(г, К). Решение этого функционального уравнения имеет вид

^/O-AV^-jjy, ₄(/.A) = fc--V(^). (149,6)

Аналогичные соображения можно применить и к термодина­мическому потенциалу Ф(г, К) (точнее—к его сингулярной части, которая и подразумевается ниже под Ф). Будучи аддитивной величиной, полный термодинамический потенциал тела пропор­

ционален его объему. Поэтому требование его инвариантности при масштабном преобразовании записывается как

-!-ФО"Ч hu^^ — OUu ^[38] ^, hu4») = Q>lt, h).

IX^й u^d

Отсюда

Ф(г, h) = h"^(j^.y (149,7)

Функции f и ф в (149,6—7), конечно, связаны друг с дру­гом, поскольку —дФ/дк = цУ. Выражения (149,6—7) написаны здесь для h > 0; ввиду симметрии эффективного гамильтониана по отношению к замене h—>■ — h, r\—>■—tj, формулы для h < 0 получаются из написанных этой же заменой ^[39]).

Дата добавления: 2014-11-07