Движение точки по окружности

Уравнения равномерного и равноускоренного движений

В случае равномерного прямолинейного движения материальной точки () функция имеет вид:

,

а для равнопеременного движения ():

.

Здесь – начальное положение точки, ; – начальная скорость.

При решении задач часто удобно записывать функцию непосредственно в проекциях на оси координат. Тогда при постоянном ускорении функцию можно представить в виде двух уравнений:

, .

В частности, при движении материальной точки под действием силы тяжести удобно выбрать ось вертикально вверх. В этом случае вектор ускорения имеет лишь одну проекцию, отличную от нуля (, , где ):

где – угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Часто удобно поместить начало координат в начальной точке траектории ().

Средняя угловая скорость за время равна отношению угла поворота радиус-вектора точки за время к этому времени :

.

Мгновенная угловая скорость равна первой производной угла поворота по времени:

.

Среднее угловое ускорение за время равно отношению приращения угловой скорости за время к этому времени:

.

Мгновенное угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной угла поворота по времени:

.

Связь между линейной и угловой скоростями материальной точки:

,

где – радиус окружности.

Связь между линейным и угловым ускорениями материальной точки:

.

Бесконечно малое угловое перемещение материальной точки является вектором. Поэтому угловая скорость является векторной величиной:

,

а направление вектора определяется по правилу правого винта.

Вектор линейной скорости материальной точки выражается через вектор угловой скорости через векторное произведение:

.

Угловое ускорение также является векторной величиной:

.

При движении точки по окружности вектор меняется лишь по модулю, а по направлению совпадает с неизменной осью вращения.

Задача 1.1. Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону (м). Найти скорость и ускорение точки, модуль скорости в момент , а также приближенное значение пути , пройденного точкой за 10-ю секунду движения, и среднюю скорость прохождения этого пути .

Дано: Решение:

(м)	Вектор скорости есть первая производная радиус-вектора по времени: .
	Отсюда видно, что вектор скорости имеет только две компоненты: и . Вектор ускорения есть первая производная от вектора скорости по времени: .

Получается, что вектор ускорения имеет только одну компоненту, не зависящую от времени , значит, движение вдоль оси является равноускоренным, а вдоль оси – равномерным.

Найдем теперь модуль скорости. Так как , то

и в момент времени

.

Для нахождения пути , пройденного точкой за 10-ю секунду движения, можно считать его приближенно равным перемещению, так как промежуток времени достаточно мал. Тогда найдем перемещение за время и за время и возьмем их разность. Учитывая

,

получим

, ,

тогда путь за 10-ю секунду движения

.

Среднюю скорость прохождения пути нетрудно найти:

.

Следует заметить, что в строгом смысле для нахождения пути надо сначала установить зависимость длины пути от времени. Тогда можем найти точно путь за 9 и за 10 секунд. Функция нам известна, тогда:

.

Откуда найдем требуемый путь:

.

Получаем такой же результат.

Ответ: , ,

, , .

Задача 1.2. Тело падает с высоты без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за -ую секунду своего падения, за последнюю секунду? За какое время тело пройдет -ый метр своего пути, последний метр?

Дано: Решение:

	На примере этой задачи продемонстрируем, как удачно выбранная система координат может значительно упростить
	решение. Выберем систему координат, начало которой совпадает с начальным положением тела, а ось координат направлена вертикально вниз (см. рис.). В этой системе координат уравнение движения имеет вид:

.

В момент времени тело находится в точке , а в момент времени – в точке , где , – число секунд падения до точки . Координаты точек и соответственно равны:

, .

Решая совместно два последних уравнения с учетом того, что , имеем:

.

В момент времени, когда тело достигло Земли, , :

.

Тогда путь, пройденный телом за последнюю секунду:

.

Для нахождения времени прохождения -го метра своего пути, введем координаты начала и конца этого метра: , , где . Тогда можно написать:

, .

Решая совместно два последних уравнения:

.

Когда тело достигло Земли , тогда время прохождения последнего метра:

.

Можно выбрать другую систему координат, связанную с Землей: начало координат в точке падения, ось координат направлена вертикально вверх. Тогда уравнение движения примет вид:

.

Используя другие начальные () и конечные () условия, получим те же самые ответы.

Можно выбрать систему координат и другим способом: с началом в точке бросания тела и осью, направленной вверх. Несложно проверить, что решение соответствующих уравнений приведут к тем же результатам.

Ответ: , ; ,

, ; .

Задача 1.3. Снаряд вылетает со скоростью из ствола орудия, стоящего у подножия горы, поверхность которой наклонена под углом к горизонту. Каким должен быть угол стрельбы по отношению к горизонту, чтобы имело место максимальная дальность полета снаряда. Найти также расстояние вдоль горизонта, куда попал снаряд при таком выстреле.

Дано: Решение:

	Выберем систему координат, начало которой находится у подножия горы (см. рис.).
	Запишем уравнения движения снаряда вдоль координатных осей: , .

Заметим, что система уравнений , являются уравнениями движения снаряда в параметрическом виде.

Исключая неизвестное время , приведем уравнение движения к виду:

.

Уравнение такого вида является уравнением движения в каноническом виде.

Для прямой , где – точка приземления снаряда, можно записать уравнение . Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим:

.

Наибольшую дальность полета снаряда найдем из условия

,

откуда находим:

.

С учетом того, что и, следовательно, , имеем:

.

Таким образом, наибольшая дальность полета снаряда будет иметь место при угле бросания, равном сумме и половине угла откоса .

Подставляя в выражение для значение угла , получим максимальное расстояние, куда может попасть снаряд:

.

Ответ: , .

Задача 1.4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону , где и – положительные постоянные. В момент времени угол . Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угло­вой скорости.

Дано: Решение:

,	Используя определение угловой скорости: , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно угла поворота :
	. Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируем обе части полученного выражения с учетом начальных условий задачи. Угол поворота меняется от 0 до , а время от 0 до :

.

После интегрирования имеем:

,

откуда получаем искомую зависимость угла поворота от времени:

.

Взяв от полученного выражения первую производную по времени, получим зависимость угловой скорости от времени:

.

Графический вид найденных функций и представлен на рисунке. Ответ: , .

Дата добавления: 2014-10-22