КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Движение точки по окружности
Уравнения равномерного и равноускоренного движений В случае равномерного прямолинейного движения материальной точки () функция имеет вид: , а для равнопеременного движения (): . Здесь – начальное положение точки, ; – начальная скорость. При решении задач часто удобно записывать функцию непосредственно в проекциях на оси координат. Тогда при постоянном ускорении функцию можно представить в виде двух уравнений: , . В частности, при движении материальной точки под действием силы тяжести удобно выбрать ось вертикально вверх. В этом случае вектор ускорения имеет лишь одну проекцию, отличную от нуля (, , где ): где – угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Часто удобно поместить начало координат в начальной точке траектории ().
Средняя угловая скорость за время равна отношению угла поворота радиус-вектора точки за время к этому времени : . Мгновенная угловая скорость равна первой производной угла поворота по времени: . Среднее угловое ускорение за время равно отношению приращения угловой скорости за время к этому времени: . Мгновенное угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной угла поворота по времени: . Связь между линейной и угловой скоростями материальной точки: , где – радиус окружности. Связь между линейным и угловым ускорениями материальной точки: . Бесконечно малое угловое перемещение материальной точки является вектором. Поэтому угловая скорость является векторной величиной: , а направление вектора определяется по правилу правого винта. Вектор линейной скорости материальной точки выражается через вектор угловой скорости через векторное произведение:
. Угловое ускорение также является векторной величиной: . При движении точки по окружности вектор меняется лишь по модулю, а по направлению совпадает с неизменной осью вращения. Задача 1.1. Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону (м). Найти скорость и ускорение точки, модуль скорости в момент , а также приближенное значение пути , пройденного точкой за 10-ю секунду движения, и среднюю скорость прохождения этого пути . Дано: Решение:
Получается, что вектор ускорения имеет только одну компоненту, не зависящую от времени , значит, движение вдоль оси является равноускоренным, а вдоль оси – равномерным. Найдем теперь модуль скорости. Так как , то и в момент времени . Для нахождения пути , пройденного точкой за 10-ю секунду движения, можно считать его приближенно равным перемещению, так как промежуток времени достаточно мал. Тогда найдем перемещение за время и за время и возьмем их разность. Учитывая , получим , , тогда путь за 10-ю секунду движения . Среднюю скорость прохождения пути нетрудно найти: . Следует заметить, что в строгом смысле для нахождения пути надо сначала установить зависимость длины пути от времени. Тогда можем найти точно путь за 9 и за 10 секунд. Функция нам известна, тогда: . Откуда найдем требуемый путь: . Получаем такой же результат. Ответ: , , , , .
Задача 1.2. Тело падает с высоты без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за -ую секунду своего падения, за последнюю секунду? За какое время тело пройдет -ый метр своего пути, последний метр? Дано: Решение:
.
В момент времени тело находится в точке , а в момент времени – в точке , где , – число секунд падения до точки . Координаты точек и соответственно равны: , . Решая совместно два последних уравнения с учетом того, что , имеем: . В момент времени, когда тело достигло Земли, , : . Тогда путь, пройденный телом за последнюю секунду: . Для нахождения времени прохождения -го метра своего пути, введем координаты начала и конца этого метра: , , где . Тогда можно написать: , . Решая совместно два последних уравнения: . Когда тело достигло Земли , тогда время прохождения последнего метра: . Можно выбрать другую систему координат, связанную с Землей: начало координат в точке падения, ось координат направлена вертикально вверх. Тогда уравнение движения примет вид: . Используя другие начальные () и конечные () условия, получим те же самые ответы. Можно выбрать систему координат и другим способом: с началом в точке бросания тела и осью, направленной вверх. Несложно проверить, что решение соответствующих уравнений приведут к тем же результатам.
Ответ: , ; , , ; .
Задача 1.3. Снаряд вылетает со скоростью из ствола орудия, стоящего у подножия горы, поверхность которой наклонена под углом к горизонту. Каким должен быть угол стрельбы по отношению к горизонту, чтобы имело место максимальная дальность полета снаряда. Найти также расстояние вдоль горизонта, куда попал снаряд при таком выстреле. Дано: Решение:
Заметим, что система уравнений , являются уравнениями движения снаряда в параметрическом виде. Исключая неизвестное время , приведем уравнение движения к виду: . Уравнение такого вида является уравнением движения в каноническом виде. Для прямой , где – точка приземления снаряда, можно записать уравнение . Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим:
. Наибольшую дальность полета снаряда найдем из условия , откуда находим: . С учетом того, что и, следовательно, , имеем: . Таким образом, наибольшая дальность полета снаряда будет иметь место при угле бросания, равном сумме и половине угла откоса . Подставляя в выражение для значение угла , получим максимальное расстояние, куда может попасть снаряд: . Ответ: , .
Задача 1.4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону , где и – положительные постоянные. В момент времени угол . Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости. Дано: Решение:
. Интегрируем обе части полученного выражения с учетом начальных условий задачи. Угол поворота меняется от 0 до , а время от 0 до : . После интегрирования имеем: , откуда получаем искомую зависимость угла поворота от времени: . Взяв от полученного выражения первую производную по времени, получим зависимость угловой скорости от времени: .
Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 1244; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |