Кинематика и динамика гармонических колебаний

Колебаниями называется такое движение, при котором система при своем движении многократно проходит через определенное положение, например, положение равновесия. Если повторения происходят через одинаковое время, то колебания являются периодическими, а интервал времени, в течение которого происходит повторение, называется периодом.

Свободными или собственными колебаниями называются такие колебания, которые совершает система, выведенная из положения равновесия, и предоставленная самой себе.

Простейший вид колебаний – гармонические, то есть такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса:

,

где – амплитуда (наибольшее отклонение системы от положения равновесия), – фаза колебаний (показывает состояние колеблющейся системы в данный момент времени), – начальная фаза колебаний, – круговая или циклическая частота собственных колебаний.

Скорость и ускорение точки, совершающей колебания, определяются соотношением:

,

.

Потенциальная и кинетическая энергии колеблющейся точки:

,

.

Кинетическая и потенциальная энергии в отдельности не остаются постоянными, а совершают гармонические колебания вокруг общего среднего значения с удвоенной круговой частотой .

Полная энергия точки, колеблющейся без затухания, остается величиной постоянной:

.

Период пружинного маятника (тело массой , прикрепленное к пружине жесткостью ) равен:

.

Период математического маятника (идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити длиной , на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке) равен:

,

где – ускорение свободного падения.

Период физического маятника (твердое тело произвольной формы, которое может колебаться вокруг точки подвеса, находящейся выше центра масс) равен:

,

где – момент инерции маятника относительно его оси вращения, – масса маятника, – расстояние от оси вращения до центра масс.

Задача 5.1. Материальная точка массой 10 г колеблется по закону (м). Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Дано: Решение:

г	Сравнивая уравнение, данное в задаче ,
	с уравнением гармонических колебаний в общем виде , находим:

м, рад/с, рад.

Модуль силы, вызывающей гармонические колебания, равен

,

откуда получаем

; НмкН.

Полная энергия колеблющейся точки

; ДжмкДж.

Ответ:

, .

Задача 5.2. Период колебаний математического маятника на уровне Земли равен . Насколько изменится период колебаний маятника, если его поднять на высоту над поверхностью Земли? Землю считать шаром радиуса .

Дано: Решение:

	Период колебаний математического маятника на поверхности Земли будет равен: ,
	где (– масса Земли, – радиус Земли), а на высоте над поверхностью Земли период будет

,

где .

Относительное изменение периода колебаний маятника составит величину:

,

откуда получаем ответ:

.

Дата добавления: 2014-10-22