Законы сохранения импульса и энергии

Из общей формы второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем. В частности, это имеет место, когда система замкнута. Это положение называется законом сохранения импульса:

.

Работа силы на перемещении есть скалярное произведение

.

Кинетическая энергия материальной точки массы , движущейся со скоростью , равна

.

Потенциальная энергия тела или системы тел – это энергия, обусловленная взаимодействием тел друг с другом. Потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Потенциальная энергия тела массы в однородном поле тяжести, поднятого на высоту над нулевым уровнем, равна произведенной при подъеме работе:

.

Потенциальная энергия растянутой (или сжатой) пружины равна работе при ее деформации:

,

где – растяжение пружины, – жесткость пружины.

Полная механическая энергия тела или системы тел равна

.

Закон сохранения энергии:

,

то есть, если в системе действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила упругости) и нет действия неконсервативных сил (сил трения), то полная механическая энергия системы остается постоянной. Другими словами, могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Задача 3.1. Два одинаковых шарика налетают друг на друга со скоростями и под углом и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями и . Найти угол разлета частиц после соударения.

Дано: Решение:

	По закону сохранения импульса суммарный импульс двух частиц до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия (см. рисунок): .
	По условию задачи частицы одинаковые, то есть . Тогда можно записать: .

Используя теорему косинусов, получим:

. (1)

Запишем закон сохранения энергии:

. (2)

Тогда выражение (1) с учетом (2) запишем в виде:

,

или, окончательно, получим ответ:

.

Задача 3.2. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки повеса стержня м. Найти скорость пули, если известно, что стержень отклонился после удара пули на угол .

Дано: Решение:

м	Как видно из рисунка, угол отклонения стержня связан с высотой , на которую поднимется шар: . Потенциальная энергия шара, поднятого на высоту
	над его первоначальном положении (): .

Теперь возникает вопрос: равна ли эта энергия в конечном состоянии ее начальной энергии, то есть кинетической энергии пули ? Оказывается что нет, потому что при неупругом ударе часть механической энергии переходит во внутреннюю.

Рассмотрим еще одно, промежуточное состояние системы – сразу после окончания удара, когда пуля уже застряла в шаре, но стержень еще вертикален. Энергия системы в этом состоянии представляет собой просто кинетическую энергию шара с пулей:

,

где – их общая скорость.

После того как неупругий удар уже закончился, энергия больше теряться не будет, и можно записать закон сохранения энергии:

, или

.

Значение скорости определим из закона сохранения импульса:

.

Из последних двух уравнений, с учетом выражения для , имеем:

.

Или, с учетом условий задачи, получим:

.

Дата добавления: 2014-10-22