Вопрос 7.2. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

Определение 7.6. Линейной комбинацией векторов

называется выражение вида

Числа

называются коэффициентами линейной комбинации.

Определение 7.7. Вектора

называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулевому вектору только тогда, когда все ее коэффициенты одновременно равны 0.

Определение 7.8. Вектора

называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулевому вектору хотя бы при одном не равном нулю коэффициенте.

Лемма 7.1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то такие вектора являются линейно зависимыми.

Докажите лемму самостоятельно.

Определение 7.9. Базисом называются n линейно независимых векторов, таких, что любой вектор может быть представлен в виде их линейной комбинации. Коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами вектора относительно данного базиса.

Теорема 7.1. Координаты вектора относительно данного базиса единственны.

Доказательство. Пусть вектор разложен двумя способами по базису

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим

откуда, в силу линейной независимости базисных векторов, следуют равенства

Дата добавления: 2014-10-22