Фазовые портреты линейных систем 2-го порядка

Для систем 2-го порядка пространство состояний вырождается в плоскость.

(1)

Перепишем уравнение в канонической форме:

(2)

В системе (2) второе уравнение разделим на первое:

(3)

Уравнение (3) описывает интегральные кривые, т.е. кривые, которые могут совпадать с фазовыми траекториями, либо состоять из нескольких фазовых траекторий. Конкретный вид фазовых траекторий зависит от параметров , а также от состояния корней характеристического уравнения.

;

.

Возможны 6 случаев соотношения корней:

1. Чисто мнимые корни

(4)

; . Это идеальная система без трения, LC – цепь.

Решая (4), можно получить уравнение фазовых траекторий в виде:

.

Направление движения по фазовым траекториям всегда по часовой стрелке. В зависимости от начальных условий имеем портрет в виде вложенных друг в друга эллипсов, у которых сохраняется отношение величин полуосей. Начальная точка является вырожденным эллипсом. Она называется особой точкой типа “центр”. Особая точка типа “центр” и состояние равновесия, ей соответствующее являются устойчивыми.

Дата добавления: 2014-10-22