Комбинации без повторений

Виды комбинаций

Опр.: Перестановки из элементов – это всевозможные соединения из различных элементов, отличающиеся только порядком этих элементов.

Число всех перестановок из элементов вычисляется по формуле .

Замечание: Не следует путать сами перестановки (набор элементов) с их количеством (числом).

Задача 1.4: Сколькими способами можно рассадить Веру, Надежду и Любовь на скамейке, вмещающей трех человек?

Решение:

I способ: Девочек всего три, поэтому все варианты рассаживания можно сосчитать путем их непосредственного перебора:

II способ: Заметим, что способы рассаживания отличаются лишь порядком занятых мест для одних и тех же девочек, то есть один способ есть одна перестановка из трех элементов. Тогда всего способов столько же, сколько таких перестановок:

III способ: Можно применить правило произведения. Посадить на скамейку первую из девочек можно тремя способами, после этого вторую – уже двумя, для третьей останется одно место. По правилу произведения разместить всю тройку можно способами.

Ответ: 6 способов.

Опр.: Размещения из по – это всевозможные соединения, отличающиеся составом или порядком элементов, выбранных среди различных

Число всех возможных размещений из по вычисляется по формуле:

Замечание: Легко доказать, что

Задача 1.5: Среди Веры, Надежды, Любови и Татьяны проводится конкурс красоты. Сколько возможно троек призеров?

Решение:

I способ: Выполним снова непосредственный перебор вариантов распределения призовых мест:

II способ: тройка призеров – это выбор трех девочек из четырех. Учитывая заинтересованность конкурсанток, следует различать соединения, в которых одни и те же девочки меняются местами. Таким образом, тройки призеров различаются составом входящих в них девочек или порядком занятых мест, то есть одна тройка – это размещение из четырех по три. Тогда различных троек призеров столько, сколько таких размещений:

III способ: отдать первое место можно любой девочке из четырех, затем второе может получить любая из оставшихся трех, третье место можно отдать двумя способами; по правилу произведения существует способа распределить упорядоченную тройку призовых мест.

Ответ: 24 способа.

Опр.: Сочетания из по – это всевозможные соединения, отличающиеся только составом элементов, выбранных среди различных

Число всех возможных сочетаний из по вычисляется по формуле:

Задача 1.6: Сколькими способами можно распределить по одной три одинаковых тетради между Верой, Надеждой, Любовью и Татьяной?

Решение:

I способ: по смыслу условия задачи в отличие от распределения призовых мест (в предыдущей задаче для участниц принципиально важно занятое место) при распределении одинаковых тетрадей важно только то, кому они достанутся, поэтому непосредственный перебор вариантов распределения тетрадей имеет вид:

II способ решения: выбранные тройки – соединения, различающиеся лишь по составу трех девочек, которым достанутся тетради, но не по порядку распределения тетрадей внутри тройки. Если, например, две из счастливых обладательниц обменяются тетрадями, такой вариант распределения не будет принципиально отличаться от предыдущего. Таким образом, один способ распределения – это одно сочетание из четырех по три. Тогда всего таких способов столько, сколько сочетаний из четырех по три:

Ответ: 4 способа.

Свойства соединений:

1) Правило симметрии:

2)

3)

4) Формула Паскаля:

5)

6)

Первое и четвертое свойства можно применить для упрощенного подсчета числа сочетаний. Полученные значения удобно представить в виде треугольной таблицы – так называемого треугольника Паскаля.

Замечание: В треугольнике значение расположено в строке с номером (следует помнить, что существует нулевая строка из одного элемента) на месте (так как в строке есть еще элемент ).

Дата добавления: 2014-10-23