Применение комбинаторных соединений

Классическое определение вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события: «вытягивание «легкого» и «вытягивание «трудного» билета на экзамене, «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из приобретенных билетов» денежно-вещевой лотереи – обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера. Эта мера и есть вероятность события. Ее принято выражать безразмерным числом.

Опр.: По классическому определению вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов опыта к числу всех элементарных исходов опыта:

Задача 2.9: Найти вероятность выпадения четного числа очков в результате подбрасывания игральной кости.

Решение: – выпадение четного числа очков:

I способ:

II способ:

Ответ:

В дальнейшем, приступая к решению задачи на применение классического определения вероятности, полезно руководствоваться следующим алгоритмом расчета классической вероятности:

1. Представить, в чем состоят условия опыта. Записать краткое условие задачи. Сформулировать событие вероятность которого нужно найти, поставить вопрос к задаче.

2. Установить пространство элементарных исходов опыта: в результате опыта должен произойти один и только один из равновозможных исходов. Сосчитать элементарные исходы в пространстве.

3. Выбрать среди элементарных исходов благоприятные для события и сосчитать их.

4. Вычислить вероятность события по формуле

Свойства вероятности:

Опр.: Событие, вероятность которого очень мала (то есть близка к нулю), называется практически невозможным; событие, вероятность которого очень велика (близка к единице), называется практически достоверным.

Замечание: Классическое определение вероятности не применимо, если: а) исходы опыта, составляющие полную группу, нельзя подобрать равновозможными; б) элементарные исходы опыта нельзя пересчитать.

Задача 2.10: Найти вероятность выпадения хотя бы одного «герба» в результате одного подбрасывания двух монет.

Решение:

Ответ:

Замечание: Широко распространенной ошибкой является отождествление второго и третьего элементарных исходов, так как выпадение разных поверхностей на двух монетах реализуется двумя способами в отличие от остальных исходов.

Задача 2.11: Найти вероятность выпадения в сумме трех очков в результате одного подбрасывания двух игральных костей.

Решение: Равновозможные вследствие симметричности костей результаты опыта, один и только один из которых наступит, состоят в выпадении какого-либо количества очков от 1 до 6 на одной из игральных костей и какого-либо количества от 1 до 6 на другой:

По определению это совокупность элементарных исходов опыта. Среди них лишь два исхода дают 3 очка в сумме. Аналогично предыдущей задаче, исходы и и им подобные различны (это легко увидеть, если представить, что кости разного цвета)

к вычислению вероятности события по классическому определению

Задача 2.12: Буквы «т», «е», «и», «я», «р», «о» написаны на отдельных карточках. Ребенок, не умеющий читать, берет карточки в случайном порядке по одной и выкладывает в ряд а) 3 карточки; б) все 6. Какова вероятность получить слово а) «тор»; б) «теория»?

Решение:

а) Элементарный исход опыта – составление трехбуквенного слова (пусть даже бессмысленного). Это комбинация из трех карточек, которые выбираются из 6 различных, причем трехбуквенные слова различаются не только составом входящих букв, но и порядком их следования. Поэтому элементарный исход – это размещение из 6 по 3. Всего элементарных исходов столько, сколько таких размещений, то есть Благоприятный для события исход один, так как только одна тройка букв образует слово «тор», т. е.

Т. о.,

б) Элементарный исход опыта – шестибуквенное слово – упорядоченная комбинация из шести карточек, причем слова–исходы отличаются друг от друга только порядком выкладывания одних и тех же карточек, поэтому один элементарный исход есть одна перестановка из 6 букв. Тогда всего элементарных исходов столько же, сколько перестановок из 6 букв, то есть Благоприятный для события исход один так как только одна шестерка букв образует слово «теория».

Т. о.,

Ответ: а) б)

Задача 2.13: Используя условие задачи 2.12, найти вероятность того, что получится слово «ананас», если на отдельных карточках написаны три буквы «а», две буквы «н» и одна буква «с».

Решение:

Пусть событие А – получение слова «ананас».

Т. к. буквы повторяются, то общее число случаев:

Благоприятный исход только один

Тогда

Ответ:

Задача 2.14: В библиотеке на полке 7 одинаковых с виду книг. В четырех из них вырваны страницы. Наудачу для проверки берутся 5 книг. Какова вероятность того, что в трех из них страницы вырваны?

Решение:

А – в трех из взятых книг вырваны страницы.

Элементарный исход опыта – выбор любых 5 книг из 7. Различные наборы отличаются друг от друга лишь составом отобранных книг, то есть один набор – одно сочетание из 7 по 5. Всего элементарных исходов столько, сколько сочетаний из 7 по 5, то есть Благоприятный для события исход – выбор таких 5 книг, в трех из которых вырваны страницы, а в двух – все целы. Выбрать 3 книги с вырванными страницами из четырех имеющихся можно способами. Выбрать 2 книги с целыми страницами из трех можно способами. Выбрать книги двух сортов можно способами по правилу произведения.

Т. о.,

Ответ:

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем отличается случайное событие от случайного явления?

2. Могут ли совместные события образовать полную группу?

3. Какие из следующих значений может принимать вероятность события: 0; ; ; –0,5; 1; ; 1,0001; ?

4. Назовите противоположные события для следующих событий:

А – произошло 3 попадания при трёх выстрелах;

В – в шахматной партии выиграл игрок с белыми фигурами;

С – произошло не более двух попаданий при пяти выстрелах;

D – покупатель купит товар хотя бы в одном из трёх магазинов;

Е – в семейной паре муж старше жены.

5. Образуют ли полную группу следующие события:

1) – попадание при одном выстреле, – промах при одном выстреле;

2) – хотя бы одно попадание при трех выстрелах, – два попадания при трех выстрелах, – три попадания при трех выстрелах;

3) – выпадение на игральной кости при одном броске очков, – выпадение на игральной кости при одном броске очков;

4)– в семейной паре муж старше жены, – в семейной паре жена старше мужа?

Дата добавления: 2014-10-23