Основные правила комбинаторики

ЛЕКЦИЯ № 1

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания по курсовому проектированию

Проектирование и эксплуатация нефтебаз

для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 130501 - «Проектирование и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ»

Составители: Земенков Ю.Д., профессор, д.т.н.

Маркова Л.М., доцент, к.т.н.

Бабичев Д.А., ассистент

Капитальчук Т.Г., ассистент

Трясцин Р.А., ассистент

Подписано к печати Бум. писч. №1

Заказ № Уч. изд. л.

Формат 60/90 1/16 Усл. изд. л.

Отпечатано на RISO GR 3750 Тираж экз.

издательство «Нефтегазовый университет»

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

625000, Тюмень, Володарского,38

Отдел оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет»

625039, г. Тюмень, ул. Киевская, 52

Предлагаемый конспект лекций содержит материал по части «Случайные события и случайные величины» раздела теории вероятностей и может быть использован студентами нематематических специальностей, изучающими элементы теории вероятностей в курсе высшей математики, в качестве дополнительного пособия к основным учебникам. Его содержание соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования и примерной программе курса высшей математике для технических институтов.

Издание предназначено студентам очной и заочной форм обучения как для самостоятельного изучения «Теории вероятностей», так и для работы на аудиторных занятиях, при решении задач, при подготовке к зачету или экзамену. Конспект лекций содержит материал, который может быть использован студентами и преподавателями.

В конспекте лекций изложение теоретического материала иллюстрируется примерами решения задач различных уровней сложности. Простые сюжеты, взятые из жизни при формулировании задач, позволяют продемонстрировать широкие возможности теории вероятностей.

ЧАСТЬ I: СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Тема: ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

План лекции:

1. Основные правила комбинаторики:

– правило суммы;

– правило произведения.

2. Виды комбинаций:

– перестановки;

– размещения;

– сочетания.

Опр.: Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются методы решения задач на подсчет числа различных соединений (комбинаций) из объектов, выбранных из некоторой совокупности.

Правило суммы: если один элемент можно выбрать из некоторого множества способами, а другой элемент можно выбрать способами, причем эти способы не пересекаются, то выбрать либо один элемент, либо другой можно способами.

Задача 1.1: Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Определить число способов, которыми можно взять кубик с хотя бы одной окрашенной гранью.

Решение: по условию задачи, чтобы взять кубик с хотя бы одной окрашенной гранью, нужно взять кубик либо с одной окрашенной гранью (это можно сделать способами по числу граней), либо с двумя (способами по числу ребер), либо с тремя (для этого существует способов по числу вершин). Выборы являются несовместными событиями, так как кубик не может иметь ровно одну окрашенную грань и в то же время две или три. Таким образом, по правилу суммы взять кубик с хотя бы одной окрашенной гранью можно способами.

Ответ: 98 способов.

Правило произведения: если один элемент можно выбрать из некоторого множества способами, а после этого другой элемент можно выбрать способами, то пару этих элементов в указанном порядке можно выбрать способами.

Задача 1.2: Сколькими способами можно получить различные количества очков на двух игральных костях в результате одного броска?

Решение: Сначала зафиксируем очки первой кости. Нас устроит любой результат, поэтому для его получения существует 6 способов. После того, как очки на первой кости зафиксированы, получить некоторое количество очков на второй кости можно пятью способами, чтобы выполнялось условие задачи, то есть очки отличались от выпавших на первой кости. По правилу произведения число способов получения пары различных очков на двух игральных костях равно

Ответ: 30 способов.

Замечание: Правила суммы и произведения можно распространить на любое конечное число элементов.

Задача 1.3: Слово «абракадабра» составлено из букв пластмассовой азбуки, причем повторяющиеся буквы различаются цветом. Сколькими способами из «абракадабра» можно составить слово «арка»?

Решение: Учитывая то, что одинаковые буквы имеют разные цвета, будем различать составляемые слова, если буквы в них отличаются цветами. Для получения первой буквы слова «арка» можно взять любую из пяти букв «а» различного цвета в слове «абракадабра», затем букву «р» можно выбрать двумя способами, для выбора буквы «к» есть только один способ, наконец, последняя буква «а» может быть выбрана четырьмя способами (поскольку одна из пяти «а» уже взята). Для составления слова требуется упорядоченная четверка отобранных выше букв, поэтому число способов, которыми можно составить слово «арка», по правилу произведения равно

Ответ: 40 способов.

Дата добавления: 2014-10-23