Комбинации с повторениями

Треугольник Паскаля

Опр.: Если в размещениях (сочетаниях) из элементов по некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из элементов по

Число размещений с повторениями из элементов по равно а число сочетаний с повторениями из элементов по равно

Задача 1.7: В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

Решение: а) Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом фильмов, так и их порядком по номинациям (или и тем и другим), причем одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз (любой фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким (включая все пять) номинациям), т. е. представляет размещение с повторениями из 10 элементов по 5. Их число равно ;

б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования фильмов в комбинации 5 призеров значения не имеет, и число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5:

Ответ: а) 100000 вариантов; б) 2002 варианта.

Опр.: Если в перестановках из общего числа элементов есть различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется раз, 2-й – раз, …, -й – раз, причем , то такие перестановки называются перестановками с повторениями из элементов.

Число перестановок с повторениями из элементов равно:

Задача 1.8: Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?

Решение: Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр (причем а их сумма равна 7), т. е. является перестановкой с повторениями из 7 элементов. Их число:

Ответ: 210 чисел.

Решая задачи на подсчет числа соединений, удобно использовать

следующую схему способов выбора:

Порядок выбора элементов в них

важен не важен

выбираются

перестановки размещения сочетания

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем отличаются сочетания от размещений?

2. На какую особенность необходимо обратить внимание в первую очередь, чтобы определить вид комбинации?

3. Охарактеризуйте условия применения правила суммы и правила произведения.

4. Докажите формулу Паскаля:

5. С помощью треугольника Паскаля найдите

Дата добавления: 2014-10-23