Ускорение точки

Установлено, что ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоско-

сти Mτn. Следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю (). Найдем проекции на две другие оси. Проектируя обе части равенства на оси Мτ и Мn и обозначая символами и проекции вектора на эти оси получим:

(2.20)

Рисунок 2.8

Вектор представляет собой разность между скоростями в двух соседних точках М и (рис. 123,Т), т.е. . Отложим векторы и от общего начала (рис. 1.8), тогда , а фигуру АСВD при бесконечно малом угле можно рассматривать как прямоугольник. Отсюда , где dV – элементарное приращение числового значения скорости. Далее, поскольку предел отношения дуги к хорде равен единице, можно АD рассматривать как элементарную дугу радиуса МА, размер которой определяется произведением радиуса на центральный угол. Тогда . Подставляя найденные значения и в формулы проекций , получим:

.

(2.21)

Угол между касательными к кривой в двух ее точках называется углом смежности, тогда - элементарный угол смежности. Отношение к dS = , определяет кривизну кривой в точке М, а кривизна k является величиной, обратной радиусу кривизны в этой точке, т.е.

.

(2.22)

Введем эту величину в равенство и преобразуем его, учтя, что , к виду

.

(2.23)

В результате окончательно получим:

(2.24)

Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) S по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю.

Это одна из важных теорем кинематики. Величины и называют касательным и нормальным ускорениями точки.

При движении точки М в одной плоскости касательная Мτ поворачивается вокруг бинормали Mb с угловой скоростью . Тогда дает еще одну формулу для вычисления :

.

(2.25)

Это значит, что нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории.

Кроме числового значения полного ускорения и его составляющих и важно знать их направление. Отложим вдоль касательной Мτ и главной нормали Mn векторы и (рис.2.9). При этом составляющая всегда направлена в сторону вогнутости кривой, так как всегда >0, а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Мτ в зависимости от знака .

Рисунок 2.9

Вектор изображается диагональю параллелограмма, построенного на и . Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора и угол µ его отклонения от нормали Mn определяется формулами:

, ,

(2.26)

где - ; при µ >0 вектор отклонен от нормали Mn в сторону оси Мτ, а при µ <0 – в противоположную сторону.

Таким образом, если движение точки задано естественным способом, то, зная траекторию (а, следовательно, и ее радиус кривизны в любой точке) и закон движения, т.е. зависимость , можно определить модуль и направление векторов скорости и ускорения в любой момент времени.

Дата добавления: 2014-11-25