Угловая скорость и угловое ускорение тела

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при получим

или .

(2.32)

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω> 0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω< 0.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, так как радиан – величина безразмерная, .

В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости , модуль которого равен и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Если за промежуток времени приращение угловой скорости равно , то отношение , т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за время .

При стремлении получаем величину углового ускорения в момент t:

или .

(2.33)

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, что тоже, .

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным. По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом

.

(2.34)

Если тело вращается ускоренно направление совпадает с , и противоположно при замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω=const), то вращение тела называется равномерным.

Из имеем . Отсюда, считая, что в начальный момент времени угол , и беря интегралы слева от до , а справа от 0 до t, получим окончательно

.

(2.35)

При равномерном вращении, когда =0, и .

Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и ω 1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а при n оборотах на 2π n; этот поворот делается за 1 мин, т.е. t= 1мин=60с. Из этого следует, что

.

(2.36)

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε =const), то вращение называется равнопеременным.

В начальный момент времени t =0 угол , а угловая скорость ( - начальная угловая скорость). ; =ε . Интегрируя левую часть от до , а правую от 0 до t, найдем

.

(2.37)

Если заменить , то = или , вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного вращения

.

(2.38)

Угловая скорость ω этого вращения . Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будет равноускоренным, а если разные – равнозамедленным.

Дата добавления: 2014-11-25