Скорости и ускорения точек вращающегося тела

1. Скорости точек тела.

Точка М твердого тела (рис. 2.2), находящаяся на расстоянии h от оси вращения, при вращении описывает окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. За время dt тело совершает поворот на угол dφ, а точка М передвигается на , тогда или

.

(2.39)

Эта скорость V в отличие от угловой скорости тела называется линейной или окружной скорость точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние её до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярна плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела угловая скорость имеет в данный момент времени

одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их

расстояниям от оси вращения.

Поле скоростей точек вращающегося твердого тела показано на рис. 2.12.

Рисунок 2.12

2. Ускорение точек тела.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами (2.24), но ρ =h и , тогда , или

и .

(2.40)

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории в сторону углового ускорения; нормальное ускорение всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 2.13).

Рисунок 2.13

Полное ускорение точки М будет

.

(2.41)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле: . Подставляя значения и , получим

.

(2.42)

Так как ε и ω для всех точек тела в данный момент времени одно и тоже значение, то из формул и следует, что ускорения всех точек вращающегося тела пропорционально их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей.

Чтобы найти выражения непосредственно для векторов и проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис.2.14). Тогда и по формуле

или .

(2.43)

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,

,

(2.44)

т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Эту формулу называют формулой Эйлера.

Рисунок 2.14

Возьмём от обеих частей этого равенства производные по времени

(2.45)

или

.

(2.46)

Полученная формула определяет вектор ускорения любой точки вращающегося тела.

Вектор направлен, как и вектор , т.е. по касательной к траектории точки М, а . Вектор же направлен вдоль МС, т.е. по нормали к траектории точки М, а , так как . Учитывая все эти результаты, а также формулы , , заключаем, что и .

Дата добавления: 2014-11-25