Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

5) угол между ребром и гранью ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение

А 4   А 2   В А 1 А 3 Рис. 2

1) Угол между ребрами и находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле , найдем координаты векторов тогда косинус угла между векторами .

2) Площадь грани находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора , тогда площадь треугольника находим по формуле

.

Найдем векторное произведение векторов

модуль векторного произведения равен

,

откуда находим площадь треугольника

3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

,

так как выше найдены координаты векторов

,

подставим координаты векторов в формулу, получим

.

4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины на грань применим формулу

,

откуда находим

5) Общее уравнение плоскости :

,

нормальный вектор плоскости .

Уравнение высоты : .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

В нашем случае , тогда уравнение высоты имеет вид

3.1. Вычислить предел

3.2. Вычислить предел .

3.3. Вычислить предел .

3.4. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва.

3.5. Найти производную функции .

3.6. Найти производную функции

3.7. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования.

3.8. Найти производную функции, заданной неявно: .

3.9. Найти производную функции, заданной параметрически: .

3.10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Дата добавления: 2014-11-16